七年级上册数学培优讲义（角、角平分线）第十二讲

角、角平分线角、角平分线内容基本要求略高要求较高要求角.角分线会识别角并会表示；认识角.分.秒.并会进行简单换算；会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示会尺规作图：作一个角等于已知角.做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这个公共端点是角的顶点.这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关.而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.处于初始位置的那条射线叫做角的始边.终止位置的那条射线叫做角的终边.(1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到.这样的角叫平角.(2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到.这样的角叫周角.注意：由角的定义可知：角的组成部分为：两条边和一个顶点；顶点是这两条边的交点；角的两条边是射线.是无限延伸的.射线旋转时经过的平面部分称为角的内部.平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发.把这个角分成相等的两个角的射线.叫做这个角的平分线.角的表示方法利用三个大写字母来表示.如图1.1．注意：顶点一定要写在中间．也可记为.但不能写成或等．利用一个大写字母来表示.如图1.2．注意：用一个大写字母来表示角的时候.这个大写字母一定要表示角的顶点.而且以它为顶点的角有且只有一个．③用数字来表示角.如图2.1．用希腊字母来表示角.如图2.2．单位换算1度＝60分()1分=60秒()角的度量度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）.重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）.读数（读出角的另一边所在线的度数）角的度量单位及其换算角的度量单位是度.分.秒．把平角分成等份.每一份就是一度的角.记做．把一度的角等分.每一份叫做分的角.记做．把一分的角等分.每一份叫做秒的角.记做．角度之间的关系周角=平角＝直角＝周角＝平角平角＝直角角的分类：锐角（）.直角（）.钝角（）．两角的和.差.倍.分两角的和.差.倍.分的度数等于它们的度数的和.差.倍.分.（2）从一个角的顶点出发.把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以点为圆心.以任意长为半径.交角的两边于两点；（2）分别以A.B两点为圆心.以大于长为半径画弧.画弧交于点；（3）过C点作射线OC.所以.射线OC就是所求作的.余角.补角如果两个角的和是一个平角.那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.如果两个角的和是一个直角.那么这两个角叫做互为余角.简称“互余”.补角.余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.方位角方位角一般以正北.正南为基准.描述物体运动方向.即“北偏东度”.“北偏西度”.“南偏东度”.“南偏西度”.方位角的取值范围.“北偏东45度”为东北方向.“北偏西45度”西北方向.“南偏东45度”为东南方向.“南偏西45度”为西南方向.钟表角度问题时针12小时转动360度.每小时转动30度；分针60分钟转动360度.每分钟转动6度.秒针60秒钟转动360度.每秒钟转动6度.角的概念及表示角是由有的两条射线组成的图形.两条射线的是这个角的顶点.角也可以看成是由一条射线．【解题思路】略【题目答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形下列语句正确的是（）①角的大小与边的长短无关.②如果一个角能用一个大写字母表示.那么以为顶点的角只有一个③如果一个角能表示为.那么以顶点为顶点的角只有一个.④两条射线组成的图形叫做角A①.②B①.③C①.④D②.③【解题思路】略【题目答案】A如图.角的顶点是.边是.用三种方法表示该角分别为．【解题思路】略【题目答案】；.；..．在右图中.角的表示方法正确的是（）A．B．C．D．【解题思路】本题考查用一个大写英文字母表示角.本题选B．【题目答案】B如图.以为顶点的角共有几个?请把它们写出来.以为顶点的角呢?【解题思路】略【题目答案】以为顶点的角有3个：..以为顶点的角有4个：...下图中.以为顶点的角是_________.有一边与射线在同一条直线上的角有__________个.【解题思路】按照约定.我们讨论的角都是小于平角的角.【题目答案】以为顶点的角有：；一边与射线在同一条直线上的角有10个判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用倍的放大镜看的角.这个角就变成了．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．【解题思路】略【题目答案】×；×；×；×；×．角的分类下列语句正确的是（） A.平角就是一条直线 B.周角就是一条射线 C.小于平角的角是钝角 D.一周角等于四个直角【解题思路】答题时首先理解角的概念.然后对各选项进行判断．【题目答案】平角是一个点和两条射线组成.故A错误.角度和射线不是同一个概念.故B错误.小于平角的角不一定是钝角.故C错误.一周角等于360°.一直角等于90°.故D正确.故选D．【考点难点】本题主要考查角的概念.不是很难．如图.图中包含小于平角的角的个数有（） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【解题思路】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答．【题目答案】图中角除∠BDC为平角外.∠B.∠C.∠BAD.∠BAC.∠DAC.∠BDA.∠CDA均为小于180°的角．共七个．故选D．【考点难点】先利用三角形的性质.确定三角形的每个内角都小于180°.再根据角的定义数出角的个数即可．但要注意顶点为A的角有3个．如图.∠AOB是平角.则图中小于平角的角共有（） A.4个 B.7个 C.9个 D.10个【解题思路】当AO为角的一边时.有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角.依次类推得到所有小于平角的角．【题目答案】小于平角的角为：∠AOC.∠AOD.∠AOE.∠COD.∠COE.∠COB.∠DOE.∠DOB.∠EOB共9个.故选C．【考点难点】应有规律去寻找角的个数.注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．如图.必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（） A.10个 B.15个C.20个 D.25个【解题思路】找到以每一个字母为顶点的角.若该顶点处有多个角.则必须用三个大写字母表示．【题目答案】在该题中.以A.B.C.D.E为顶点的角有五个.且该顶点处只有一个小于180度的角.可用一个大写字母表示；以F.G.H.M.N为顶点的角各有四个.共计4×5=20个.而该顶点处只有三个小于180度角.只能用三个大写字母表示．故选C．【考点难点】此题不仅考查了对角的概念的掌握.还考查了数角的方法：找准角的顶点.统计出该顶点处的所有角.做到不漏数.不多数．如图.∠CAE=90°.锐角有（）个.钝角至少有（）个． A.4.3 B.3.2 C.6.3 D.4.2【解题思路】根据直角.锐角.钝角的概念来解．∠CAE=90°.通过角的运算.得出结果．【题目答案】∵∠CAE=90°.∴∠FAB+∠BAC=90°.∠CAD+∠DAE=90°.∴∠FAB＜90°.∠BAC＜90°.∠CAD＜90°.∠DAE＜90°.锐角有四个.∴∠FAD＞90°.∠BAE＞90°.故钝角至少有两个.∠BAD不能确定．故选D．【考点难点】本题关键是要做到不重复不遗漏的数出角的数量.同时一定要注意∠BAD不能确定.故不能计算在内．角度的换算及运算（1）（2）【解题思路】（1）首先在第一个空上填上.然后计算...（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式....．【题目答案】（1）；（2）（1）；（2）；（3）；（4）．【解题思路】（1）；（2）；（3）；（4）【题目答案】（1）；（2）；（3）；（4）（1）.（2）【解题思路】（1）原式（2）先将度.分.秒的量数都化成3的倍数：【题目答案】（1）；（2）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）【解题思路】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【题目答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）在小于平角的范围内.用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A．4个B．7个C．11个D．16个【解题思路】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为.而其它角都是的倍数．所以在小于平角的范围内.能画出确定度数的角有共11个.故选C．【题目答案】C如右图.是直线..求的度数．【解题思路】设...根据题意有..．【题目答案】余角和补角如图.于..平分.则图中与互余的角有______个；互补的角有_________对；【解题思路】3；2由题意可知.所以与互余的角必与相等.由题中条件可知=.所以余角有3个；的补角为所以与互补的角必与相等.【题目答案】3；2如图.是直线上的一点...平分.则图中彼此互补的角共有______对．【解题思路】根据题意可得：.等.互补的角只满足和为这个数量关系即可.与位置无关．所以共有6对：与.与.与.与.与.与．【题目答案】6如下图...在一条直线上.是锐角.则的余角是（）A．B．C．D．【解题思路】选C．【题目答案】一个角和它的余角的比是.则这个角的补角是【解题思路】设这个角为.则根据题意可知有解得.所以它的补角为.【题目答案】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角.求这个锐角的度数．【解题思路】设这个锐角为度.根据题意可列方程：.得．【题目答案】如果一个角的补角与余角的和.比它的补角与余角的差大.求这个角的余角度数．【解题思路】设这个角为.则它的补角和余角分别为和..所以.所以这个角的余角的度数为【题目答案】一个角与角之和的等于角的余角.求．【解题思路】.．【题目答案】已知的余角是的补角的.并且.试求的度数．【解题思路】根据题意可得：..且.（度）．【题目答案】已知两角互补.试说明：较小角的余角等于两角差的一半.【解题思路】略【题目答案】设两角分别为.则．∴较小角的余角∴原结论成立.角平分线从一个角的顶点出发.把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【解题思路】根据角平分线的定义可知.此话是错误的．【题目答案】根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发.把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线.答案为错误．【考点难点】主要考查了角平分线的定义．定义：从一个角的顶点出发.把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线．如图.已知直线AB.CD相交于点O.OE平分∠COB.若∠EOB=55°.则∠BOD的度数是（） A.35° B.55° C.70° D.110°【解题思路】利用角平分线的定义和补角的定义求解．【题目答案】OE平分∠COB.若∠EOB=55°.∴∠BOC=55+55=110°.∴∠BOD=180﹣110=70°．故选C．【考点难点】本题考查了角平分线和补角的定义．如图.直线AB.CD相交于点O.OE平分∠AOD.若∠BOC=80°.则∠AOE的度数是（） A.40° B.50° C.80° D.100°【解题思路】根据角平分线的定义计算．【题目答案】∵∠BOC=80°.∴∠AOD=∠BOC=80度．∵OE平分∠AOD.∴∠AOE=12∠AOD=1故填A．【考点难点】角的平分线是中考命题的热点.常与其他几何知识综合考查．如图所示.将一张长方形纸的一角斜折过去.使顶点A落在A′处.BC为折痕.如果BD为∠ABE的平分线.则∠CBD=（） A.80° B.90° C.100° D.70°【解题思路】利用角平分线的性质和平角的定义计算．【题目答案】因为将顶点A折叠落在A′处.所以∠ABC=∠A′BC.又因为BD为∠ABE的平分线.所以∠ABD=∠DBE.因为∠ABC+∠A′BC+∠ABD+∠DBE=180°.所以∠CBD=90°．故选B．【考点难点】本题是角平分线性质及平角的性质的应用．如图.BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.∠A=44°.那么∠BDC的度数为（） A.68° B.112° C.121° D.136°【解题思路】BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.且∠A=44°.根据三角形内角和定理结合角平分线定义.即可得出∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）.在△BDC中.根据三角形内角和定理即可得出∠【题目答案】根据题意.BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.∠A=44°.所以有∠CAD+∠DCA=12（∠ABC+∠ACB）=68°.在△BCD中.即有∠CAD+∠DCA=68°.所以∠BDC=180°﹣【考点难点】本题主要考查的是三角形的内角和定理和三角形的角平分线定理．下列说法正确的是（） A.两点之间直线最短 B.用一个放大镜能够把一个图形放大.也能够把一个角的度数放大 C.将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D.直线l经过点A.那么点A在直线l上【解题思路】分别判断每个选项的正确性.注意直线是没有长度的．【题目答案】（1）对于A选项.直线没长度.故A错误．（2）放大镜能够把一个图形放大.不能够把一个角的度数放大.故B错误．（3）对于C选项.没有提到所分角的相等.故C错误．（4）直线过A点.则A一定在直线上．综上可得只有D正确．故选D．【考点难点】本题考查线段和直线的知识.属于基础题.关键在于掌握直线和线段的定义．方位角下面图形中.表示北偏东的是（）【解题思路】略【题目答案】C下列说法不正确的是（）A．方向是北偏东B．方向是北偏西C．方向是南偏西D．方向是东南方向【解题思路】略【题目答案】A．如图.平面内有两点（1）分别画出点处北偏东的方向和点处北偏西的方向．（2）点位于的什么方向（精确到）【解题思路】略【题目答案】（1）如图.射线表示点处北偏东的方向.射线表示点处北偏西方向.（2）如图.连接.测得.所以点位于点南偏西方向．如图....是北京奥运会场馆分布图.请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置.以天安门为中心（即点的位置）建立了位置指示图.直线相交于..请按要求完成下列问题：①若在图上测得...则可知场馆的位置是北偏西.据中心.可简记为（.北偏西）．据此方法.场馆的位置可简记为（_________.________）．②可求得________；③在现有的图形中（不增加新的字母）.与_____________是互补的角．【解题思路】略【题目答案】①.北偏东；②；③.．共定点角的相关计算如图.在直线上取一点.在同侧引射线...使和互余.射线和分别平分和.求证：．【解题思路】略【题目答案】和互余.所以如图.直线.相交于点.作.平分.若.求．【解题思路】.．【题目答案】如图所示..是内部的任意一条射线.若平分.平分.试求的度数．【解题思路】因为是的平分线.所以.同理可得所以．【题目答案】如图.是一个平角.求的度数．【解题思路】设.则有：...．所以..【题目答案】已知：如图.是外的一条射线.平分．平分．①若..问：②若.求的度数并说明理由．【解题思路】略【题目答案】①∵平分.平分（已知）∴.（角平分线定义）∵.（已知）∴.（等量代换）∵（等量代换）②∵平分（已知）∴（角平分线定义）∵∴（等量代换）∵平分（已知）∴（角平分线定义）∵∴（等量代换）∵.（已知）∴（等量代换）即：为外的一个锐角.射线.分别平分.．（1）..求的度数；（2）..求的度数；（3）..还能否求出的度数吗？若能.求出其值.若不能.说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？【解题思路】略【题目答案】（1）；（2）；（3）；（4）.已知：..是从点引出的三条射线..求.【解题思路】注意分情况讨论.容易的到答案：或.【题目答案】或已知一条射线.若从点再引两条射线与.使..求的度数.【解题思路】注意分类讨论.为或.【题目答案】或已知都是钝角.计算.正确的结果只可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据题意.∴∴.∴选B【题目答案】B【巩固练习】..中有两个锐角和一个钝角.其数值已经给出.在计算的值时.有三位同学分别算出了..这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案.求的值．【解题思路】所以答案正确．【题目答案】在同一平面内有射线平分.的3倍比的2倍多..求的度数.【解题思路】因为的3倍比的2倍多.所以小于；（1）射线在的外部.如图（1）.设.根据题意有.解得：.即（2）射线在的内部.如图（2）.设.根据题意有.解得：.即【题目答案】或以的顶点为端点引射线.使得.且.均小于.若.求的度数.【解题思路】如图（1）.；如图（2）.如图（3）..舍去【题目答案】或钟表角度问题从3时到6时.钟表的时针旋转角的度数是（） A.30 B.60° C.90° D.120°【解题思路】时针1小时走1大格.1大格为30°．【题目答案】从3时到6时.钟表的时针旋转角的度数是（6﹣3）×30°=90°.故选C．【考点难点】解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数．下午2点30分时（如图）.时钟的分针与时针所成角的度数为（） A.90° B.105° C.120° D.135°【解题思路】钟表12个数字.每相邻两个数字之间的夹角为30度．【题目答案】∵1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°.∴3.5个小时的角度为30°×3.5=105°．故选B．【考点难点】本题主要考查角度的基本概念．在钟表问题中.常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°.由2点15分到2点30分.时钟的分针转过的角度是（） A.30° B.45° C.60° D.90°【解题思路】出图形.利用钟表表盘的特征解答．【题目答案】点15分.分针指在数字3上.分针水平.当2点30分时.分针指在数字6上.分针垂直于水平时的分针.故分针转的角度是90°；解法2：因为钟表上的刻度是把一个圆平