武ws-数列公式性质总结

PAGEPAGE3一定义(n≥2，n∈N+)01▶等差：eqa\s\do4(n)－eqa\s\do4(n-1)＝d01▷等比：eq\f(a\s\do4(n),a\s\do4(n-1))－q(q≠0)二通项公式01▶eqa\s\do4(n)＝eqa\s\do4(1)＋(n－1)d(推导方法：累加法)eqa\s\do4(n)＝eqa\s\do4(m)＋(n－m)d⇔d＝eq\f(a\s\do4(n)－a\s\do4(m),n－m)01▷eqa\s\do4(n)＝eqa\s\do4(1)(eqa\s\do4(1)·q≠0)(推导方法：累乘法)eqa\s\do4(n)＝eqa\s\do4(m)·eqq\s\up4(n－m)⇔eqq\s\up4(n－m)＝eq\f(a\s\do4(n),a\s\do4(m))三eq\b\bc\{(a\s\do4(n))性质01▶A是a与b的等差中项⇔a,A,b成等差数列⇒2A＝a＋b。01▷G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒eqG\s\up4(2)＝a·b02▶m＋n＝P＋q(m,n,p,q∈N+)，则eqa\s\do4(m)＋eqa\s\do4(n)＝eqa\s\do4(p)＋eqa\s\do4(q)；当n＋m＝2k时,得eqa\s\do4(m)＋eqa\s\do4(n)＝2eqa\s\do4(k)02▷m＋n＝P＋q(m,n,p,q∈N+)，则eqa\s\do4(m)·eqa\s\do4(n)＝eqa\s\do4(p)·eqa\s\do4(q)；当n＋m＝2k时,得eqa\s\do4(m)＋eqa\s\do4(n)＝eqa\s\do4(k)\s\up4(2)03▶eq\b\bc\{(a\s\do4(n)),eq\b\bc\{(b\s\do4(n))为等差数列,则{eqa\s\do4(n)＋k},{keqa\s\do4(n)},{Aeqa\s\do4(n)±Beqb\s\do4(n)}为等差数列.03▷eq\b\bc\{(a\s\do4(n)),eq\b\bc\{(b\s\do4(n))为等比数列,则{eq\f(1,a\s\do4(n))},{keqa\s\do4(n)},{eqa\s\do4(n)\s\up4(2)},{eqa\s\do4(2n－1)},{eqa\s\do4(n)eqb\s\do4(n)}{eq\f(b\s\do4(n),a\s\do4(n))}为等比数列.04▶等差eq\b\bc\{(a\s\do4(n))中，eqa\s\do4(n)，eqa\s\do4(n＋k)，eqa\s\do4(n＋2k)，eqa\s\do4(n＋3k)……为等差数列，公差为kd04▷等比eq\b\bc\{(a\s\do4(n))中，eqa\s\do4(n)，eqa\s\do4(n＋k)，eqa\s\do4(n＋2k)，eqa\s\do4(n＋3k)……为等比数列，公比为eqq\s\up4(k)05▶eq\b\bc\{(a\s\do4(n))为等差数列，则eqS\s\do4(k)、eqS\s\do4(2k)－eqS\s\do4(k)、eqS\s\do4(3k)－eqS\s\do4(2k)、eqS\s\do4(4k)－eqS\s\do4(3k)(k项的和)是等差数列.公差为eqk\s\up4(2)d05▷eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等比数列，则eqS\s\do4(k)、eqS\s\do4(2k)－eqS\s\do4(k)、eqS\s\do4(3k)－eqS\s\do4(2k)、eqS\s\do4(4k)－eqS\s\do4(3k)(k项的和)是等比数列.公比为eqq\s\up4(k).06▶eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等差数列06▷eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等比数列07▶3或4个数成等差数列，按对称性设，3个数：a-d,a,a+d；4个数:a-3d,a-d,a+d,a+3d07▷三个数成等比数列，设为eq\f(a,q),a,aq，也可设为a,aq,aeqq\s\up4(2)08▶eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等差数列⇔eqa\s\do4(n)=kn+b(k,b是常数)(n∈N+)⇔eqa\s\do4(n)关于n的一次函数eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等差数列⇔eqS\s\do4(n)＝neqa\s\do4(1)＋eq\f(n(n－1),2)d＝eq\f(d,2)eqn\s\up4(2)＋(eqa\s\do4(1)－eq\f(d,2))n＝Aeqn\s\up4(2)＋Bn⇔eqS\s\do4(n)关于n的二次函数若d>0，eqS\s\do4(n)有最小值。若d<0，eqS\s\do4(n)有最大值。08▷eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等比数列⇔eqa\s\do4(n)=eq\f(a\s\do4(1),q)eqq\s\up4(n)＝AeqB\s\up4(n)⇔eqa\s\do4(n)关于n的指数型函数。eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等比数列⇔eqS\s\do4(n)＝eqeq\f(－a\s\do4(1),1－q)eqq\s\up4(n)＋eq\f(a\s\do4(1),1－q)＝－Aeqq\s\up4(n)＋A⇔eqS\s\do4(n)关于n的指数型函数09▶eq\b\bc\{(a\s\do4(n))有穷等差数列，09▷eq\b\bc\{(a\s\do4(n))有穷等比数列，则10▶等差数列eq\b\bc\{(a\s\do4(n))中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d10▷等比数列eq\b\bc\{(a\s\do4(n))中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等比数列,且公比为eqq\s\up4(k＋1)11▶eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等差数列,公差为d，则倒序也是等差数列，其公差为－d.11▷eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等比数列,公比为q，则倒序也是等差数列也是等比数列，其公比为eq\f(1,q)12▶如果eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是各项均为正数的等比数列,则数列eq\b\bc\{(lga\s\do4(n))是公差为lgq的等差数列eqS\s\do4(n)常用的性质：(1)在等差数列eq\b\bc\{(a\s\do4(n))中,当项数为2n时,eqS\s\do4(偶)－eqS\s\do4(奇)＝nd；eq\f(S\s\do4(偶),S\s\do4(奇))＝eq\f(a\s\do4(n),a\s\do4(n＋1))(中间两项),当项数为2n-1时,eqS\s\do4(偶)－eqS\s\do4(奇)=eqa\s\do4(n)(中间项)；eq\f(S\s\do4(偶),S\s\do4(奇))＝eq\f(n,n－1)(2).若等差数列eq\b\bc\{(a\s\do4(n))，eq\b\bc\{(b\s\do4(n))的前n项和为eqS\s\do4(n),eqT\s\do4(n)(n为奇数),则eq\f(S\s\do4(n),T\s\do4(n))＝eq\f(a\s\do6(\f(n＋1,2)),b\s\do6(\f(n＋1,2)))或eq\f(a\s\do4(n),b\s\do4(n))＝eq\f(S\s\do4(2n－1),T\s\do4(2n－1n))(3)在等差数列eq\b\bc\{(a\s\do4(n))中,eqS\s\do4(n)＝a,eqS\s\do4(m)＝b,eqS\s\do4(n＋m)＝eq\f(n＋m,n－m)(a－b)特别地,当eqS\s\do4(n)=eqS\s\do4(m)时,eqS\s\do4(n＋m)＝0eqS\s\do4(n)=m，eqS\s\do4(m)＝n时,eqS\s\do4(n＋m)＝－(n＋m)(4)eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等差数列,则数列eq\b\bc\{(\f(S\s\do4(n),n))也为等差数列.(5)eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等差数列,=1\*GB3①若首正eqa\s\do4(1)>0,公差d<0,则当eqa\s\do4(n)>0且eqa\s\do4(n＋1)<0,则eqS\s\do4(n)最大,当eqa\s\do4(n)>0,eqa\s\do4(n＋1)<0,且eqa\s\do4(n＋2)<0，则eqS\s\do4(n)=eqS\s\do4(n＋1)最大.②若首负eqa\s\do4(1)<0,公差d>0,则当eqa\s\do4(n)<0且eqa\s\do4(n＋1)>0,则eqS\s\do4(n)最小，当eqa\s\do4(n)<0，eqa\s\do4(n＋1)＝0且eqa\s\do4(n＋2)>0,则eqS\s\do4(n)=eqS\s\do4(n＋1)最小。eq\b\bc\{(a\s\do4(n))是等比数列，当项数为2n(n∈N+)，则eqS\s\do4(偶)＝qeqS\s\do4(奇),当项数为2n－1(n∈N+)，则eq\f(S\s\do4(偶),S\s\do4(奇))＝eqa\s\do4(n)若eq\b\bc\{(a\s\do4(n))等比数列，则eqS\s\do4(n＋m)＝eqS\s\do4(n)＋eqq\s\up4(n)eqS\s\do4(m)四、通项公式的求法1利用eqS\s\do4(n)求通项公式：eqa\s\do4(n)＝eq\b\lc\{(\a\al(S\s\do4(1)(n＝1),S\s\do4(n)－S\s\do4(n－1)(n≥2)))2已知递推公式求通项公式。类型1：eqa\s\do4(n＋1)＝eqa\s\do4(n)＋f(n)转化为eqa\s\do4(n＋1)－eqa\s\do4(n)＝f(n)，累加法(逐差相加法)。类型2：eqa\s\do4(n＋1)＝f(n)eqa\s\do4(n)转化为eq\f(a\s\do4(n＋1),a\s\do4(n))＝f(n)，累乘法(逐商相乘法)。类型3：eqa\s\do4(n＋1)＝Aeqa\s\do4(n)＋B(A，B为常数，(AB(p－1)≠0)待定系数法：转化为eqa\s\do4(n＋1)＋t＝A(eqa\s\do4(n)＋t)，其中t＝eq\f(B,A－1)，转化为等比数列。五数列求和1公式法2、拆项法3、错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.4、裂项相消法①eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；eq\f(1,n(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))；eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))eq\f(1,n(n＋1)(n＋2))＝eq\f(1,2)[eq\f(1,n(n＋1))－eq\f(1,(n＋1)(n＋2))]②eq\f(1,k\s\up4(2))<eq\f(1,k\s\up4(2)－1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k＋1))；eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,k(k＋1))<eq\f(1,k\s\up4(2))<eq\f(1,(k－1)k)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)③.eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))④eq\f(1,(n＋1)!)＝eq\f(1,n!)－eq\f(1,(n＋1)!)；5、倒序相加法6．1＋2＋…＋n=eq\f(1,2)n(n＋1)，eq1\s\up4(2)＋eq2\s\up4(2)＋eq3\s\up4(2)…＋eqn\s\up4(2)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，eq1\s\up4(3)＋eq2\s\up4(3)＋eq3\s\up4(3)…＋eqn\s\up4(3)＝eq\f(1,4)eqn\s\up4(2)eq(n+1)\s\up4(2)六数列的分类①递增数列:对于任何n∈N+,均有eqa\s\do4(n＋1)>eqa\s\do4(n)②递减数列:对于任何n∈N+,均有eqa\s\do4(n＋1)<e