2023-2024学年山西省怀仁市第一中学校高三下学期第三次模拟考试数学试题（解析版）

山西省怀仁市第一中学校2023-2024学年高三下学期第三次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知为整数集，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用集合补集运算及一元二次不等式的解法即可得到答案.【详解】因为.故选：D．2．若，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得.【详解】，.故选：A．3．已知为单位向量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量数积量运算法则求得，再利用向量夹角余弦公式即可得解.【详解】因为为单位向量，，所以，则，所以.故选：D.4．若函数为偶函数，则实数（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】D【分析】根据给定的函数，利用偶函数的定义列式计算即得.【详解】函数的定义域为，由为偶函数，得，则，整理得，而不恒为0，于是，即，解得，所以实数.故选：D5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得.【详解】由，得，解得，又，所以.故选：B6．已知，则（

）A．8 B．5 C．2 D．4【答案】D【分析】取代入等式可得，分别取，代入等式，组成方程组，联立即可得，代入即可求得结果.【详解】解：因为，取代入可得：，取代入可得：①，取代入可得：②，①+②再除以2可得：，所以，①-②再除以2可得：，所以.故选：D7．设等比数列的公比为，且，设甲：；乙：，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】根据给定条件，利用等比数列的通项，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】等比数列的公比为，且，当时，，因此；当时，有，即，而，则，又，，于是，即，又，因此，所以甲是乙的充要条件.故选：C8．已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为和，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】先判断出两点关于原点对称，设出的坐标，根据，可知是中点，两点关于原点对称，直线的斜率列方程，求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】，设，则，则，，.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.二、多选题9．已知圆，圆，则下列结论正确的是（

）A．若和外离，则或B．若和外切，则C．当时，有且仅有一条直线与和均相切D．当时，和内含【答案】ABC【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，若和外离，则，解得或，故A正确；若和外切，则，解得，故B正确；当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确；当时，，则和相交，故D错误.故选：ABC．10．已知正实数满足，则（

）A． B．C．的最大值为0 D．的最小值为【答案】BC【分析】利用基本不等式与“1”的妙用，结合指数的运算法则逐一分析判断即可得解.【详解】对于A，，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误；对于B，由，可知，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；对于C，由，可知，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D，，当等号成文，由可知，，当且仅当时等号成立，因为前后两次不等式取等条件不一致，所以，故D错误.故选：BC.11．在三棱锥中，平面，，P为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．有且仅有一个点P，使得 D．所有满足条件的线段形成的曲面面积【答案】ACD【分析】确定A在平面的投影H，根据线面夹角的定义确定P点轨迹，由数形结合及圆中最值可判定A、B、C选项，利用圆锥的侧面积公式结合图形计算即可判定D选项.【详解】依题意，，取的中点M，则，所以平面，过A作于H，因为平面，所以，所以平面，易得，且H为等边的外心，由与平面所成角为，可知，所以点P轨迹是以H为圆心，为半径的圆在内部的一部分，如图所示，所以的最小值为，A选项正确；由于轨迹圆部分在平面外部，所以的最大值不等于，B选项错误；因为平面，若，则点P在线段上，有且仅有一个点P满足题意，C选项正确；动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分，因为，所以，因为，所以曲面面积为圆锥侧面的，圆锥侧面积为，所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，D选项正确.故选：ACD．【点睛】关键点睛：本题第4小题解决的关键是理解线段形成的曲面是哪一部分，利用直观想象能力与圆锥的侧面积公式即可得解.三、填空题12．已知函数，则.【答案】【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可.【详解】由题意知，令，得，解得，所以，所以.故答案为：13．设是公差不为0的等差数列的前项和，若，则．【答案】【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式及前项和公式计算即得.【详解】令等差数列的公差为，由，得，解得，所以.故答案为：14．已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为.【答案】/【分析】设，解三角形可得，，利用两点距离公式求的最小值，结合平方关系可求的最小值.【详解】设，由已知，由对称性可得,所以，则，，且，因为，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，所以，所以.所以的最小值为.故答案为：.四、解答题15．记的内角的对边分别为，面积为，且．(1)求的外接圆的半径；(2)若，且，求边上的高．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式求解即得.（2）结合（1）的信息，求出边a，再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得.【详解】（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圆的半径.（2）由（1）知，，由余弦定理得，则，令边上的高为，则，即，所以边上的高为.16．已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取100名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为100分，其中80分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有10名，成绩一般的学生中男生有40名，得到如下的列联表．性别考试成绩合计优秀一般男生1040女生合计(1)根据上述数据，完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与“性别”是否有关?(2)从考试成绩在中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在的学生数为，求的分布列与数学期望．参考公式：，（其中）0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列联表见解析，“考试成绩优秀”与“性别”无关(2)分布列见解析，【分析】（1）根据频率分布直方图结合已知可得列联表，计算的值，可得结论；（2）根据分层抽样的比例可得抽取的考试成绩在的学生人数，确定的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期望.【详解】（1）根据频率分布直方图可得考试成绩优秀的总人数为，其中女生的人数为18，考试成绩一般的人数为72，其中女生的人数为，则列联表为性别考试成绩合计优秀一般男生104050女生183250合计2872100零假设：考试成绩优秀与性别无关．，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为“考试成绩优秀”与“性别”无关．（2）根据频率分布直方图可得考试成绩在的学生人数分别为20，8，利用分层随机抽样抽取7名学生中的成绩在的人数分别为5，2，则的所有可能取值为0，1，2，则，则的分布列为012P∴．17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形．(1)若直线是平面和平面的交线，证明：；(2)若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，再由线面平行的性质证明即可；（2）过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，由锥体的体积公式求出，再由二面角得到，同理可得点到的距离为，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）∵正方形，，

平面，平面，平面，又平面，直线是平面和平面的交线，

；（2）如图，过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，因为二面角和二面角都是，可知点在正方形内，

四棱锥的体积为，即，可得，

因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以为二面角的平面角，可得，可得，同理可得点到的距离为，

以为坐标原点，向量，与平面垂直的方向分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，

可得．

设平面的法向量为有取，可得，

所以，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．18．已知函数．(1)若恰有两个零点，求a的取值范围；(2)若的两个零点分别为（），求证：．【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）构造，由于恰有两个零点，则有两个根，利用导数求出的性质即可借助图象求出a的取值范围.（2）由题意，将命题成立转化为成立，令，即证明，令，利用导数证明即可.【详解】（1）令，其定义域为，则，令，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；因为当时，，当时，，且，又恰有两个零点，即有两个根，故函数与有两个交点，所以，故a的取值范围为.（2）因为的两个零点分别为（），所以，，所以，，故，所以，所以要证成立，只需证明，即证，即证，令，即证明，令，又，，由于，令，所以，而，其对称轴为，所以在上单调递增，所以，于是在上恒成立，因此在上单调递增，所以，所以原命题得证.【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点是构造函数，进而证明，从而说明原命题成立.19．在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)16【分析】（1）设，则线段的中点坐标为，根据以为直径的圆与轴相切，列出方程，化简即可得解；（2）设，根据导数的几何意义求出切线方程，进而可求出点的坐标，从而可求出直线的方程，进而可求出的横坐标，再列出面积的表达式，即可得解.【详解】（1）设，则线段的中点坐标为，因为以为直径的圆与轴相切，所以，化简得