2023-2024学年山东省淄博市实验中学高二下学期第一次月考（3月）数学试卷（解析版）

山东省淄博市实验中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（3月）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等比数列满足，，则（

）A．30 B．62 C．126 D．254【答案】C【分析】由题意和等比数列的性质求得，进而，即可求解.【详解】由题意知，设等比数列的公比为，则，得，所以，所以.故选：C2．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（

）个．A．24 B．30 C．36 D．60【答案】B【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案.【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0，则组成各位数字不重复的三位偶数有个；若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位，则组成各位数字不重复的三位偶数有个；若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位，则组成各位数字不重复的三位偶数有个；故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有个，故选：B3．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误．故选：B．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可分析出数列是首项为2，公差为3的等差数列，利用等差数列的前项和公式化简，结合对勾函数的单调性可知最小值．【详解】解：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列，所以，所以，由对勾函数的性质可得：函数在上单调递减，在上单调递增，又为正整数，所以最小值为，故选：B5．若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件得到，，，构造函数，利用的单调性即可解决问题.【详解】令，则，令，得到，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以，又，，，所以，故选：A.6．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解.【详解】因为，所以.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，则由函数单调性的性质知，在上减函数，，即.所以实数的取值范围为。故选：A.7．已知正项数列满足对任意正整数n，均有，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列递推式推出，以及，由此即可求得答案.【详解】由题意知正项数列满足对任意正整数n，均有，，故，，故，故，故选：B8．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线下方，再借助导数探讨求解作答.【详解】令，，显然直线恒过点，则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，，当时，，而，即当时，不存在整数使得点在直线下方，当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，而切线过点，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点在直线下方，因此有，解得，所以的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.二、多选题9．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）

A．有三个极值点 B．为函数的极大值C．为的极小值 D．有两个极小值【答案】ABD【分析】根据函数的图象，得出的符号，进而求得函数的单调区间，以及函数的极值点，得到答案.【详解】由函数的图象，可得：当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当和时，函数取得个极小值点，当时，函数取得个极大值点.故选：ABD.10．已知函数，则（

）A．曲线在点处的切线方程是B．函数有极大值，且极大值点C．D．函数有两个零点【答案】AB【分析】对于A，求出即可验算；对于B，设，通过导数发现的单调性，进一步结合零点存在定理即可判断；对于C，由B选项结论即可判断；对于D，由零点的定义即可判断.【详解】对于A，，所以，所以在点处的切线方程是，即，故A正确；对于B，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，令，则，所以，而，由零点存在定理可知的零点，即函数有极大值，且极大值点，故B正确；对于C，由以上分析可知在单调递减，且，所以，故C错误；对于D，，所以只有唯一的一个零点即.故选：AB.【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是构造函数，通过求导来得出其函数性质，由此即可顺利得解.11．已知数列：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列，，且的所有项的和为，则以下判断正确的是（

）A．的项数为 B．C．中0的个数为203 D．【答案】ABC【分析】根据已知条件，分析出数列的项数成等比数列判断A，根据变换规则，得出数列中与个数的规律，结合数列项数，即可判断B、C、D三个选项.【详解】设数列的项数为一个数列，因为中有项，即，根据题意：在作用下，每个0都变为“”，每个2都变为“”，所以有，由此可知数列为首相，公比的等比数列，所以的项数为，故A正确；根据变换规则，若数列的各项中，与的个数相同，则与之相邻的下一个数列中与的个数也相同；若比多个，则与之相邻的下一个数列中比的个数少个，若比少个，则与之相邻的下一个数列中比的个数多个，因为中有项，其中个，个，比少个，所以的项中，比的个数多个，以此类推，若为奇数，则数列的各项中比少个，若为偶数，则数列的各项中比多个，中，项数为个，为偶数，所以2的个数为，所以，所以B正确；中共有项，其中为奇数，所以数列中有个，所以C正确；D选项，的值与的奇偶有关，所以D错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和.三、填空题12．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）【答案】【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种，则剩下的人全排列有种排法，故一共有种排法．故答案为：．13．若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求导，根据极值点的定义可判断定义域内时函数的极小值点，即可列出不等关系求解.【详解】函数的导函数为，令（其中舍去），当时，，当时，，所以原函数在时取得极小值，则有，所以取值范围为，故答案为:14．已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为．【答案】【分析】由题设易知是首项、公比都为2的等比数列，可得，进而得到，裂项相消法求，根据不等式恒成立求参数范围.【详解】由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列，所以，则，所以，则在上恒成立，要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为.故答案为：四、解答题15．已知函数在处取得极大值．(1)求的值；(2)求在区间上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可；（2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值.【详解】（1）由已知令得或，当时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；当，即时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；所以；（2）由（1）得，，令，得，函数单调递增，令，得，函数单调递减，所以.16．已知数列的首项，且满足．(1)判断数列是否为等比数列；(2)若，记数列的前n项和为，求．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据等比数列定义及构造法求通项可判断；（2）根据等比数列求和公式、等差数列求和公式，利用数列分组求和及错位相减法求和可得结果.【详解】（1）法一：若解得，则数列不是等比数列；若即，因为，所以，，所以当时，数列不是等比数列，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．法二：若解得，则数列不是等比数列；若即，因为，所以，，所以，，所以当时则数列不是等比数列当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，，所以，则．则，令，令

①所以

②①②相减得：，得．所以.17．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)无交点，理由见解析【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解；（2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论.【详解】（1）函数的定义域为R，且，当时恒成立，所以在R上单调递减，当时，令，解得，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，综上可得：当时在R上单调递减；当时的单调递减区间为，单调递增区间为．（2），则，令，即，令，则，令，则，所以当时，则单调递减，且，当时，则单调递增，又，，故当时，所以当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以，所以方程无实根，所以函数与的图象无交点.18．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，证明：．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）由已知可得，求导，令，再次求导，通过的单调性结合，判断的单调性，从而求得单调区间；（2）令，多次求导研究原函数的单调性，涉及参数时，需要分类讨论求得；（3）将不等式转化为，对x的范围分类讨论，当时，证得成立；当时，将不等式转化为，由（2）知，不等式成立；当时，也成立，即证得.【详解】解：（1）由已知可得，则，令，则，所以在R上单调递增，又，所以时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．所以，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由条件可得恒成立，令，则，又，所以时，，函数单调递增，所以，①当时，，所以函数单调递增，，不等式显然成立．②当时，函数单调递增，又，所以存在，使得成立，当时，，函数单调递减，又，显然不恒成立．所以综上所述．（3）证明：要证，即证．①当时，，而，所以不等式成立．②当时，，由（1）知：时，，所以，；所以只需证．令，则，所以在单调递减，所以，即．故只需证，即证：．由（2）知，上述不等式成立．③当时，不等式等号显然成立，综上，当时，．【点睛】方法点睛：（1）对复合函数求导后，导数较为复杂时，可以二次求导，来研究原函数的单调性；（2）当有指对数函数与三角函数复合时，可以利用适当的放缩，将不等式的证明转化为幂函数的单调性，分类讨论，证得不等式.19．已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.【答案】(1)或(2)(3)不能，理由见解析【分析】（1）根据和讨论，利用等比数列前n项和结合数列新定义求解即可；（2）结合数列定义，利用等差数列的前n项和及通项公式求解即可；（3）根据数列为“阶可控摇摆数列”求得，再利用数列的前项和得，然后推得与不能同时成立，即可判断.【详解】（1）若，则，解得，则，与题设矛盾，舍去；若，则，