复数的三角表示 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数的三角表示法国数学家棣莫弗（1667—1754）亚伯拉罕·棣莫弗，1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱。棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响。那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学。1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J·奥扎拉姆（Ozanam）。在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作。1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来。正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销。随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国。从此，棣莫弗一直生活在英国，开始了他数学传奇的一生……1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E·哈雷(Halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（OnNew-ton’sdoctrineoffluxions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意。1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员。恰巧，欧拉也是英国皇家学会会员。我们的故事就从这里开始……棣莫弗请按暂停键欧拉的一封信瑞士数学家欧拉（1707～1783）1的n次方根有怎样的形式呢？它们有什么样的性质？请按暂停键从特殊开始从特殊开始猜想11的n次方根是否可以用某个角来表示呢？猜想1：单位圆上任意一点对应的复数都可以用角来表示？猜想请按暂停键猜想思考：任意的复数是否都可以角来表示呢？其中请按暂停键结论三角表示式模辐角辐角三角形式代数表示式代数形式问题1：复数的模是多少？辐角是什么？结论1：任何一个不为0的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.请按暂停键这些辐角之间有怎样的关系呢？欧拉的规定复数的模为0，辐角任意.结论辐角的主值结论2：任何一个不为0的复数的辐角练习：写出下列复数的辐角主值.复数的辐角的主值是唯一的！请按暂停键例题例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.分析：只要确定复数的一个模和辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式。请按暂停键例题例2：将下列复数表示成代数形式.求出复数的模和一个辐角直接计算的值请按暂停键思考思考1：两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？结论3：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.请按暂停键思考思考2：如果复数，你能计算并将结果表示成三角形式吗？结论4：即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.请按暂停键思考思考3：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？结论5：表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.请按暂停键例题例3：已知，求并把结果化为代数形式，作出几何解释.请按暂停键几何意义：将向量绕点O逆时针旋转，再将长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量，即为积所对应的向量.例题例4：如图，向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.请按暂停键思考思考4：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？即，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.请按暂停键探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得到复数除法的几何意义吗？请大家课后探究完成.例题例5：计算