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文档简介
幂函数的定义一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数幂函数的图像幂函数的性质当时,幂函数在上是,当时,函数图像是向下凸的;当时,图像是向上凸的,恒过点;当时,幂函数在上是.恒过点.解析式y=xy=y=y=y=y=图像类型一:幂函数的定义函数为幂函数(为常数),且在上是减函数,则______幂函数的图像经过点,则满足的的值是______.类型二:幂函数的性质(1)(多选)设,则使函数为奇函数且定义域为的所有的值为()A.-1 B.1C.0.5D.3 (2)(多选)若幂函数f(x)=(m2+m-11)xA.m=3 B.f(-1)=1 C.m=-4 D.f(-1)=-1设,则的大小关系是______已知函数,给出下列命题:其中,所有正确命题的序号是_______.①若;②若,则;③若,则;④若,则已知函数,且,则的取值范围是_______.下列命题中正确的是()A.当时,函数的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.幂函数的图象不可能在第四象限内D.若幂函数为奇函数,则在定义域内是增函数补充练习:一、单选题:在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中,定义域与值域均为R的是
(
)A.y=lnx B.y=ex C.2.已知幂函数fx的图象过点2,2,则fA.2 B.22 C.23.已知幂函数fx的图象过点2,22,则函数y=f(A.-∞,-2 B.-∞,-1 C.0,+∞ D.1,+∞4.设a=log2 13,b=(A.c<b<a B.b<a5.已知函数f1(x)=ax,f2(x)=xa,fA. B.
C. D.二、多选题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。6.已知点A(x1,y1),B(x2A.x1+fx1<x2+fx7.下列有关命题的说法正确的是(
)A.“菱形都是轴对称图形”是全称量词命题
B.命题“任意一个幂函数的图象都经过原点”是真命题
C.命题“∃x∈R,x2-4x+3<0”是
真命题
D.若p是q
的
充分不必要条件,q是r的充要条件,则r8.已知幂函数fx的图象经过点2,4,则(
)A.函数fx为增函数
B.当x≥4时,fx≥64
C.函数fx为偶函数
三、填空题:9.写出一个幂函数f(x)的解析式,使之同时具有以下三个性质: ①f(x)定义域为{x|x≠0}; ②f(x)是偶函数; ③当x>1时,0<f(x)<1.则函数f(x)的解析式为
.10.幂函数f(x)满足下列性质:(1)对定义域中任意的x,有f(x)=f(-x);(2)对(0,+∞)中任意的x1,x2(x1≠x2四、解答题:本题共2小题,共24分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。11.已知幂函数fx=m2(1)求m的值及函数fx(2)设函数gx=fx-4x+5,求g12.已知函数f(x)=13(1)如果函数f(x)为幂函数,试求实数a、b、c的值;(2)如果a>0、b>0,且函数f(x)在区间12,3上单调递减,试求ab的最大值.补充练习答案1.【答案】C
【解答】
解:A.函数y=lnx的定义域为0,+∞,值域为R;
B.函数y=ex的定义域为R,值域为0,+∞;
C.函数y=x3的定义域为R,值域为R;
D.函数y=1x的定义域为2.【答案】B
【解答】解:设幂函数f(x)=xα,
由于函数fx所以2=2α,则α=12,所以故选:B.3.【答案】A
【解答】解:由题可设f(x)=xα,因为f(x)的图象过点所以2α=22故fx在(0,+∞)则函数y=f(x由x2+2x>0,解得x<-2或则函数y=x2+2x在-∞,-2所以函数y=fx2+2x故选:A.4.【答案】D
【解答】解:∵y=log∴a=log∵y=12x是减函数,b=∴故选:D.5.【答案】C
【解答】解:对于A,其中指数函数图象递增,其底数应大于1,而幂函数的指数应小于0,故A不对;
对于B,其中指数函数图象递增,其底数应大于1,而对数函数图象递减,其底数小于1,故B不对;
对于C,其中幂函数的图象递增,递增的越来越快,幂函数的指数大于1,而对数函数的底数也大于1,故C对;
对于D,其中幂函数的图象递增,递增的越来越快,指数函数的图象递减,故幂函数的指数应大于1,而指数函数的底数小于1,矛盾,故D不对.
故选C.6.【答案】AC
【解答】
解:A选项,设fx=xα,将点9,3代入可得9α=3,因为fx和函数y=x在(0,+∞)所以函数y=x+x12在0,+∞上单调递增,xB选项,函数y=x-x=x故x1-fx1与C选项,因为函数y=xf(x)=x32所以x1fxD选项,因为函数y=f(x)x=所以f(x1)x1故选:AC7.【答案】ACD
【解答】解:对于A中,“菱形都是轴对称图形”即“所有菱形都是轴对称图形”,含全称量词“所有”,则“菱形都是轴对称图形”是全称量词命题,故A正确;对于B中,由幂函数
y=1x
的图象不经过原点,所以对于C中,当
x=2
时,可得
x2-4x+3=-1<0
,所以对于D中,由
p
是
q
的充分不必要条件,即
p⇒q
,q⇏p,
又由
q
是
r
的充要条件,即
q⇔r
,所以
r
是
p
的必要不充分条件,所以D正确.故选:ACD.8.【答案】CD
【解答】
解:设幂函数的解析式为f(x)=xα因为幂函数
f(x)
的图象过点
2,4
,可得
2α=4
,
解得
α=2
,
即
f(x)=所以函数
f(x)
的定义域为R
,关于原点对称,
且f(-x)=-x2=x2=fx,
f(x)在[0,+∞)上单调递增,在-∞,0上单调递减,所以A错误;当
x⩾4时,
可得x2⩾4当
∀x1≠x2
时,
f(x所以
f(x1)+f(x2)2>f(9.【答案】f(x)=x-2(【解答】
解:取函数f(x)=x-2,定义域为{x|x≠0},
且f(-x)=x-2=f(x),故f(x)是偶函数,
当x>1时,满足0<f(x)<1,
故f(x)=x10.【答案】x-2(答案不唯一【解答】
解:对于幂函数f(x)=xα,
因为对定义域中任意的x,有f(x)=f(-x),
故f(x)是偶函数,故α可取偶数;
又对(0,+∞)中任意的x1,x2(x1≠x2),都有(x2-11.【答案】解:(1)因为fx所以m2+m-1=1,
解得m=1或当m=1时,fx=x2,当m=-2时,fx=x综上可得m=1,fx(2)因为gx=fx所以gx所以gx在1,2上单调递减,
在2,4又g2=1,g1=2,g4即gx在区间1,4上的值域为1,5
12.【答案】解:(1)由f(x)为幂函数知:
13(a-2)=1b-8=0c-1=0或13(a-2)=0b-8=1c-1=0.
解得:a=5,b=8,c=1,或a=2,b=9,c=1.
(2)①当a=2时,f(x)=(b-8)x+c-1(x∈R)
由题意
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