幂函数知识点及例题专练讲义 高三数学一轮复习

幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数幂函数的图像幂函数的性质当时，幂函数在上是，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是.恒过点.解析式y=xy=y=y=y=y=图像类型一：幂函数的定义函数为幂函数（为常数），且在上是减函数，则______幂函数的图像经过点，则满足的的值是______.类型二：幂函数的性质(1)（多选）设，则使函数为奇函数且定义域为的所有的值为（）A.-1 B.1C.0.5D.3 (2)（多选）若幂函数f(x)=(m2+m-11)xA.m=3 B.f(-1)=1 C.m=-4 D.f(-1)=-1设，则的大小关系是______已知函数，给出下列命题：其中，所有正确命题的序号是_______.①若；②若，则；③若，则；④若，则已知函数，且，则的取值范围是_______.下列命题中正确的是（）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的图象不可能在第四象限内D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数补充练习：一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，定义域与值域均为R的是

(

)A.y=lnx B.y=ex C.2.已知幂函数fx的图象过点2,2，则fA.2 B.22 C.23.已知幂函数fx的图象过点2,22，则函数y=f(A.-∞,-2 B.-∞,-1 C.0,+∞ D.1,+∞4.设a=log2 13，b=(A.c<b<a B.b<a5.已知函数f1(x)=ax，f2(x)=xa，fA. B.

C. D.二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。6.已知点A(x1,y1),B(x2A.x1+fx1<x2+fx7.下列有关命题的说法正确的是(

)A.“菱形都是轴对称图形”是全称量词命题

B.命题“任意一个幂函数的图象都经过原点”是真命题

C.命题“∃x∈R,x2-4x+3<0”是

真命题

D.若p是q

的

充分不必要条件，q是r的充要条件，则r8.已知幂函数fx的图象经过点2,4，则(

)A.函数fx为增函数

B.当x≥4时，fx≥64

C.函数fx为偶函数

三、填空题：9.写出一个幂函数f(x)的解析式，使之同时具有以下三个性质： ①f(x)定义域为{x|x≠0}; ②f(x)是偶函数; ③当x>1时，0<f(x)<1.则函数f(x)的解析式为

．10.幂函数f(x)满足下列性质：(1)对定义域中任意的x，有f(x)=f(-x);(2)对(0,+∞)中任意的x1，x2(x1≠x2四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.已知幂函数fx=m2(1)求m的值及函数fx(2)设函数gx=fx-4x+5，求g12.已知函数f(x)=13(1)如果函数f(x)为幂函数，试求实数a、b、c的值；(2)如果a>0、b>0，且函数f(x)在区间12,3上单调递减，试求ab的最大值．补充练习答案1.【答案】C

【解答】

解：A.函数y=lnx的定义域为0,+∞，值域为R；

B.函数y=ex的定义域为R，值域为0,+∞；

C.函数y=x3的定义域为R，值域为R；

D.函数y=1x的定义域为2.【答案】B

【解答】解：设幂函数f(x)=xα，

由于函数fx所以2=2α，则α=12，所以故选：B．3.【答案】A

【解答】解：由题可设f(x)=xα，因为f(x)的图象过点所以2α=22故fx在(0,+∞)则函数y=f(x由x2+2x>0，解得x<-2或则函数y=x2+2x在-∞,-2所以函数y=fx2+2x故选：A．4.【答案】D

【解答】解：∵y=log∴a=log∵y=12x是减函数，b=∴故选：D．5.【答案】C

【解答】解：对于A，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而幂函数的指数应小于0，故A不对；

对于B，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而对数函数图象递减，其底数小于1，故B不对；

对于C，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，幂函数的指数大于1，而对数函数的底数也大于1，故C对；

对于D，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，指数函数的图象递减，故幂函数的指数应大于1，而指数函数的底数小于1，矛盾，故D不对．

故选C．6.【答案】AC

【解答】

解：A选项，设fx=xα，将点9,3代入可得9α=3，因为fx和函数y=x在(0,+∞)所以函数y=x+x12在0,+∞上单调递增，xB选项，函数y=x-x=x故x1-fx1与C选项，因为函数y=xf(x)=x32所以x1fxD选项，因为函数y=f(x)x=所以f(x1)x1故选：AC7.【答案】ACD

【解答】解：对于A中，“菱形都是轴对称图形”即“所有菱形都是轴对称图形”，含全称量词“所有”，则“菱形都是轴对称图形”是全称量词命题，故A正确；对于B中，由幂函数

y=1x

的图象不经过原点，所以对于C中，当

x=2

时，可得

x2-4x+3=-1<0

，所以对于D中，由

p

是

q

的充分不必要条件，即

p⇒q

，q⇏p，

又由

q

是

r

的充要条件，即

q⇔r

，所以

r

是

p

的必要不充分条件，所以D正确．故选：ACD．8.【答案】CD

【解答】

解：设幂函数的解析式为f(x)=xα因为幂函数

f(x)

的图象过点

2,4

，可得

2α=4

，

解得

α=2

，

即

f(x)=所以函数

f(x)

的定义域为R

，关于原点对称，

且f(-x)=-x2=x2=fx，

f(x)在[0,+∞)上单调递增，在-∞,0上单调递减，所以A错误；当

x⩾4时，

可得x2⩾4当

∀x1≠x2

时，

f(x所以

f(x1)+f(x2)2>f(9.【答案】f(x)=x-2(【解答】

解：取函数f(x)=x-2，定义域为{x|x≠0}，

且f(-x)=x-2=f(x)，故f(x)是偶函数，

当x>1时，满足0<f(x)<1，

故f(x)=x10.【答案】x-2(答案不唯一【解答】

解：对于幂函数f(x)=xα，

因为对定义域中任意的x，有f(x)=f(-x)，

故f(x)是偶函数，故α可取偶数；

又对(0,+∞)中任意的x1，x2(x1≠x2)，都有(x2-11.【答案】解：(1)因为fx所以m2+m-1=1，

解得m=1或当m=1时，fx=x2，当m=-2时，fx=x综上可得m=1，fx(2)因为gx=fx所以gx所以gx在1,2上单调递减，

在2,4又g2=1，g1=2，g4即gx在区间1,4上的值域为1,5

12.【答案】解：(1)由f(x)为幂函数知：

13(a-2)=1b-8=0c-1=0或13(a-2)=0b-8=1c-1=0．

解得：a=5，b=8，c=1，或a=2，b=9，c=1．

(2)①当a=2时，f(x)=(b-8)x+c-1(x∈R)

由题意