2-8函数的图象 讲义教师版

第第页2-8函数的图象讲义高考要求1.能够判断指定函数的图象，也能根据图象判断适合的函数解析式；2.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．3.熟悉函数图象变换，能根据图象变换分析函数性质；知识总结函数图象变换(一).平移变换1.把函数y＝f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到函数y=f(x+a)(a>0)的图像；2.把函数y＝f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到函数y=f(x−a)(a>0)的图像；3.把函数y＝f(x)的图像沿y轴向上平移a个单位得到函数y=f(x)+a(a>0)的图像；4.把函数y＝f(x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到函数y=f(x)−a(a>0)的图像；(二).对称变换1.函数自身的对称(1)函数f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(2)若函数f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x=a(3)函数f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)+f(a－x)=0⇔f(x)+f(2a－x)=0⇔f(－x)+f(2a＋x)=0；(4)函数f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)+f(a－x)＝2b⇔f(2a－x)+f(x)＝2b2.两个函数之间的对称(1)函数y＝f(x)与函数g(x)=f(−x)的图像关于轴对称；(2)函数y＝f(x)与函数g(x)=−f(x)的图像关于轴对称；(3)函数y＝f(a＋x)与g(x)=f(b−x)的图象关于直线x=a(4)函数y＝f(x)与g(x)=f(2b−x)的图象关于直线x＝a对称；(5)函数f(x)与函数g(x)=−f(−x)的图像关于坐标原点对称；(6)函数y＝f(x)与g(x)=2b−f(−x)的图象关于点(0，b)对称；(7)函数y＝f(x)与g(x)=2b−f(2a−x)的图象关于点(a，(三).翻折变换(1)的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示(2)的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.(四).伸缩变换1.将y＝f(x)上每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到y＝Af(x)(A>0).2.将y＝f(x)上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1常用结论常用函数图象：课前自测1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(×)(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(×)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)2．函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.答案：e－x＋1；解析：由题意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的图象．【考点题型】考点一作函数的图象【方法总结】函数图象的作法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．[例1]作出下列函数的图象:(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝x2－2|x|－1；(3)y＝；(4)y＝|log2(x＋1)|．解析：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．(2)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图．(3)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．(4)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图中实线部分．考点二函数图象的识别【方法总结】识别函数图象的方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．(2)间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手：①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；③从函数的奇偶性判断图象的对称性；④从函数的周期性判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．(3)求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择．注意：应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高．[例2](1)（2024·全国甲卷理·真题T7）函数在区间的大致图像为（）A.B.C.D.答案B解析，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D；故选：B.(2)(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的图象大致为()答案B解析∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；当x＝1时，f(1)＝e－eq\f(1,e)>0，排除D选项；又e>2，∴eq\f(1,e)<eq\f(1,2)，∴e－eq\f(1,e)>1，排除C选项．故选B．(3)(2018·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析由y＝2|x|sin2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x．∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B．令f(x)＝2|x|sin2x＝0，解得x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝eq\f(π,2)，故排除C，选D．(4)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x)B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1D．f(x)＝x－eq\f(1,x)答案A解析由图象知f(x)为奇函数，排除B、C．若f(x)＝x－eq\f(1,x)，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D．(5)(多选).已知定义在−3,3上的函数y=f(x)的图像如图所示.下述四个结论:（

）A．函数y=f(x)的值域为−2,2B．函数y=f(x)的单调递减区间为−1,1C．函数y=f(x)仅有两个零点D．存在实数满足f(a)+f(−a)=0答案：BD；解析：对A，由图，y=f(x)的最大值大于2，最小值小于2，故值域不为−2,2，故错误；对B，函数y=f(x)的单调递减区间为−1,1，故正确；对C，函数y=f(x)有三个零点，故错误；对D，f(0)+f(−0)=0成立，故正确；故选：BD【对点训练1】1．(2019·全国Ⅲ)函数y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6，6]的图象大致为()答案：B；解析：∵y＝f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)，x∈[－6，6]，∴f(－x)＝eq\f(2（－x）3,2－x＋2x)＝－eq\f(2x3,2－x＋2x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除选项C．当x＝4时，y＝eq\f(2×43,24＋2－4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))∈(7，8)，排除选项A、D．故选B．2．(2018·全国Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()答案：D；解析：当x＝0时，y＝2，所以排除A，B项；当x＝eq\f(\r(2),2)时，y＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(9,4)>2，所以排除C项．故选D．3．函数y＝eq\f(x2,8)－ln|x|的图象大致为()答案：D；解析：令f(x)＝y＝eq\f(x2,8)－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除选项B；当x>0且x→0时，y→＋∞，排除选项A；当x＝2eq\r(2)时，y＝1－ln(2eq\r(2))<1－lne＝0，排除选项C．故选D．4(多选).已知二次函数的图象如下图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．答案：AD；解析：由图可得，f(0)=c>0，−b2a>0，，所以，故选：AD5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,\f(1,x)，x<0))，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是()答案：D；解析：法一：由题设得函数g(x)＝－f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象．故选D．法二：先画出函数f(x)的图象，如图1所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)，即g(x)的图象，如图2所示．故选D．8．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C；解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．考点三利用函数图象研究函数的性质【方法总结】利用图象研究函数性质问题的思路对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：[例3](1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．(2)设函数y＝eq\f(2x－1,x－2)，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称；④关于原点中心对称．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案B解析y＝eq\f(2x－1,x－2)＝eq\f(2(x－2)＋3,x－2)＝2＋eq\f(3,x－2)，图象如图所示，可知②③正确．(3)f(x)＝log2(−x2),x答案[－8，－1]解析作出f(x)的图象，当x≤－1时，f(x)＝log2(−x2)单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令log2(−x2)＝2，解得x＝－8；当x>－1时，函数f(x)＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上递减，则最大值为f(2)＝2，又f(4)＝eq\f(2,3)<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．考点四利用函数图象解决方程根的问题【方法总结】利用函数的图象解决方程根问题的思路当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．[例4](1)已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln2∈(1，2)，可知点(2，1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．(2)函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()A．0B．1C．2D．3答案：C；解析：由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝lnx的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．(3)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝eq\f(1,2)log2|x|在区间[－3，5]内解的个数是()A．5B．6C．7D．8答案A解析依题意画出y＝f(x)与y＝eq\f(1,2)log2|x|的图象如图所示，由图可知，解的个数为5．(4)(多选).函数f(x)=(x−2)(x−5)−1有两个零点x1,xA．f(2)>0 B．函数f(x)在2,5上有最小值C．函数y=f(x+3)+1的零点为5，8 D．x1<2答案：AC；解析：令g(x)=(x−2)(x−5)，则f(x)=g(x)−1，所以函数f(x)的零点就是函数g(x)=(x−2)(x−5)与y=1的图象交点的横坐标.如图，在同一坐标系中作出函数g(x)与y=1的图象，两图象交点的横坐标分别为.xA：，故A错误；B：因为在上有最小值，所以在上也有最小值，故B正确；C：函数，则零点为，2，故C错误；D：由图可知且，故D正确.故选：AC考点五利用函数图象解不等式【方法总结】利用函数图象求解不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[例5](1)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0的解集为()A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)答案D解析因为f(x)为奇函数，所以不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0可化为eq\f(f(x),x)<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．答案{x|－1<x≤1}解析令y＝log2(x＋1)，作出函数y＝log2(x＋1)图象如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2(x＋1)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．(3)若f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为()A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)答案C解析作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．(4)若不等式(x－1)2<logax(a>0，且a≠1)在x∈(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为()A．(1，2]B．(22,1)C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)答案A解析要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1，2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．当0<a<1时，显