第17讲 解直角三角形模型-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题17解直角三角形模型★知识点1：背靠背型如图，已知△ABC，过点C作CD⊥AB，得到Rt△ACD和Rt△CDB．【模型分析】已知三角形中的两角(∠A和∠B)及一边(AC或BC)，在三角形内作高CD，构造两个直角三角形求解，公共边CD是解题的关键．典例分析【例1】（2023·上海·一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：，，，，，）【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，）【即学即练】1．（2020·上海杨浦·统考一模）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）2.（2020秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为60m，求这栋高楼的高度．★知识点2：母子型已知△ABD，过点B作BC⊥AD交AD的延长线于点C，则得到Rt△BCD和Rt△ABC．已知三角形中的两角(∠1和∠2)及其中一边，在三角形外作高BC，构造两个直角三角形求解，公共边BC是解题的关键．典例分析【例1】（2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，）即学即练1．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，8．（2020·河南·模拟预测）二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）．★知识点3：拥抱型如图，已知Rt△ABC和Rt△BDE.【模型分析】单独解每个三角形再加减．典例分析【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）【例2】（2020秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°．（1）求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73）（2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．即学即练1（2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

2．（2018秋·四川眉山·九年级统考期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，）1．（2020·河南南阳·统考三模）今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，1.41，1.73）2．（2020·河南·统考二模）如图，一架无人机在距离地面高度为米的点处，测得地面上点的俯角为，这架无人机沿仰角为的方向飞行了米到达点，恰好在地面上点的正上方，，在同一水平线上．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，）3．（2020·天津和平·三模）学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度．如图，是高为的测角仪，在处测得塔顶端的仰角为40°，向塔方向前进在处测得塔顶端的仰角为63.4°，求纪念塔的高度(结果取整数)．参考数据：．4．（2022春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为100米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）．5．（2019·河南·统考中考真题）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，）6．（2023·全国·九年级专题练习）某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，）

专题17解直角三角形模型★知识点1：背靠背型如图，已知△ABC，过点C作CD⊥AB，得到Rt△ACD和Rt△CDB．【模型分析】已知三角形中的两角(∠A和∠B)及一边(AC或BC)，在三角形内作高CD，构造两个直角三角形求解，公共边CD是解题的关键．典例分析【例1】（2023·上海·一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：，，，，，）【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船C处【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，分别求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．【详解】解答：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵，，∴，，在Rt△ACH中，∵，∴，∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21，∵21÷25＜1，∴巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，）【答案】不会【分析】过点P作于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，从而做出判断．【详解】解：如图，过点P作于D．由题意得．∴在Rt△PMD中，，即在Rt△PND中，，即∵，即，∴．答：这条公路不会穿越这个住宅小区．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【即学即练】1．（2020·上海杨浦·统考一模）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）【答案】河宽约为33.6米【分析】过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的宽度．【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，∵∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°，∴CD=AD=x，∵∠B=64°，∴BD=，∵BC=50米，∴，解之得：x≈33.6，答：河宽约33.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键．2.（2020秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为60m，求这栋高楼的高度．【答案】80米【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD与Rt△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC＝BD＋CD即可求解．【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝60m，∴BD＝AD•tan30°＝60×＝20（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝60m，∴CD＝AD•tan60°＝60×＝60（m），∴BC＝BD＋CD＝20＋60＝80（m），即这栋高楼高度是80m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．★知识点2：母子型已知△ABD，过点B作BC⊥AD交AD的延长线于点C，则得到Rt△BCD和Rt△ABC．已知三角形中的两角(∠1和∠2)及其中一边，在三角形外作高BC，构造两个直角三角形求解，公共边BC是解题的关键．典例分析【例1】（2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD的总高度约为389m．【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解．【详解】解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，∠ABC=45°，∴BC=AC=x，∴CE=x+20，在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，即≈1.346，解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，）【答案】88米【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的长．【详解】解：，，，在Rt△APQ中，，，（米），在Rt△BPQ，，（米），（米），答：这条河的宽度约为88米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．即学即练1．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，【答案】宣传牌的高度为2米．【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【详解】解：过分别作、的垂线，设垂足为、，则，，在中，斜坡的坡度，米，设米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣传牌的高度为2米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．8．（2020·河南·模拟预测）二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）．【答案】二七纪念塔AB的高度约为62米【分析】由题意根据正切的定义分别用AG表示出，进而根据列出算式求出AG的长，计算即可．【详解】解：在中，，，在中，，，，，，．答：二七纪念塔AB的高度约为62米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．★知识点3：拥抱型如图，已知Rt△ABC和Rt△BDE.【模型分析】单独解每个三角形再加减．典例分析【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）【答案】64m【分析】利用直角三角形的边角关系，在两个直角三角形中设未知数列方程求解即可．【详解】解：由题意可得，EC＝54m，AB＝22m，∠DBC＝60°，∠EAC＝34°，设DE＝xm，则DC＝（x+54）m，在Rt△DCB中，∵tan∠DBC＝，即＝，∴BC＝，在Rt△ECA中，∵tanA＝，∴AC＝≈＝90（m），由题意得，90﹣（x+54）＝22，解得，x≈64，答：塑像DE的高度约为64m．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．【例2】（2020秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°．（1）求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73）（2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）64m；（2）误差为0.36，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【分析】（1）根据正切的定义用x表示出BC，再根据正切的定义求出AC，结合图形列出方程，解方程即可得到答案；（2）根据平均数的性质即可题出建议即多次测量，求平均值．【详解】（1）解：设DE=xm，则DC=（x+54）m．在Rt△DCB中，tan∠DBC，∴BC（x+54）．在Rt△ECA中，tanA，∴AC90，由题意得：90（x+54）=22，解得：x≈64，答：炎帝塑像DE的高度约为64m．（2）由（1）知，误差为减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．即学即练1（2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

【答案】塑像“夸父追日”DE的高度约为10.5米【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值．【详解】解：在Rt△ACD中，，则.设，则在Rt△BCD中，.∴∴

解得：.

在Rt△ACE中，.∴答：塑像“夸父追日”DE的高度约为10.5米.【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错．2．（2018秋·四川眉山·九年级统考期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，）【答案】宣传牌AB的高度为2米【分析】过点C作于G，设AB为x，根据可得，然后在中解直角三角形即可.【详解】解：过点C作于G，则，∵，∴，设AB为x，∵，∴，∴CG=4+18+x=22+x，在中，，则，即解得：，答：宣传牌AB的高度为2米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．1．（2020·河南南阳·统考三模）今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，1.41，1.73）【答案】10米【分析】作CH⊥AB于H，得到BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义和等腰直角三角形的性质分别用x表示出HC、ED，然后列出方程，解方程即可．【详解】解：作CH⊥AB于H，则四边形HBDC为矩形，∴BD=CH，由题意得，∠ACH=30°，∠CED=45°，设CD=x米，则AH=米，在Rt△AHC中，HC=则BD=CH=∴ED=在Rt△CDE中，CD=DE即解得：答：立柱CD的高为10米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．2．（2020·河南·统考二模）如图，一架无人机在距离地面高度为米的点处，测得地面上点的俯角为，这架无人机沿仰角为的方向飞行了米到达点，恰好在地面上点的正上方，，在同一水平线上．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，）【答案】35米【分析】过点A作AC⊥BN于C．过点M作MD⊥AC于D，在Rt△AMD中，通过解直角三角形可求出AD的长，在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AC的长，由AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN可得出四边形MDCN是矩形，再利用矩形的性质即可求出MN的长，此题得解．【详解】如图，过点作于点，过点作于点．在中，米，，∴米在中，米，，∴（米）．∵，，，∴四边形是矩形，∴（米）．答：，两点之间的距离约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形，求出AD，AC的长度是解题的关键．3．（2020·天津和平·三模）学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度．如图，是高为的测角仪，在处测得塔顶端的仰角为40°，向塔方向前进在处测得塔顶端的仰角为63.4°，求纪念塔的高度(结果取整数)．参考数据：．【答案】纪念塔的高度约为．【分析】根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG，再在中列出算式求出AG的长，计算即可．【详解】解：根