第06讲 反比例函数与一次函数-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题06反比例函数与一次函数★知识点1：一次函数与反比例函数图像综合判断根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同。典例分析【例1】（2023·河南信阳·统考一模）下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【例2】（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．

B．

C．D．【即学即练】1．（2023春·河南周口·八年级校联考阶段练习）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·全国·九年级专题练习）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可以是（

）A．B．C．D．★知识点2：一次函数与反比例函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．典例分析【例1】（山西省长治市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，它们的横坐标分别为，则关于的不等式的解为（

）

A．B．或C． D．或【例2】（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，函数和函数的图象相交于点，．若，则的取值范围是（

）

A．或 B．或C．或 D．或即学即练1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点，则当时，的取值范围是（）A．或 B．C．或 D．或2．（2023·河北保定·统考二模）在同一直角坐标系中，若正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，则（

）A． B． C． D．★知识点3：一次函数与反比例函数的实际应用反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。二元一次方程组的应用。平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．典例分析【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需．(1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：与时间（单位：的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明．【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．即学即练1．（2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．

(1)求、的值；(2)点在上．判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由；的面积是______．2．（2023春·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．

(1)求一次函数和反比例函数解析式；(2)过点作轴于点，连接，求四边形的面积；(3)根据图像直接写出使成立的的取值范围．★知识点4一次函数与反比例函数的其它综合应用典例分析【例1】（山西省长治市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．

(1)求直线的函数表达式；(2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标；(3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，连接，反比例函数的图象经过线段的中点D，与边分别交于点E，F，一次函数的图象经过E、F两点．

(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式；(3)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．即学即练1．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，已知点B是一个反比例函数的图象与正比例函数的图象的公共点，垂直于x轴，垂足A的坐标为．

(1)求这个反比例函数的解析式．(2)在x轴正半轴上截取，分别再过C、E、G作x轴的垂线，与反比例函数图象交于点D、F、H，联结、、，求的面积．(3)如果点M在这个反比例的图象上，且的面积为6，求点M的坐标．2.（2023秋·河北保定·九年级保定十三中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：的图象与反比例函数的图象交于点．(1)求m、k的值；(2)点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W．①当时，求出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有1个整点，直接写出的取值范围．1．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．D．

2．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，反比例函数在第二象限的图像上有两点，，它们的纵坐标分别为，，直线与轴交于点，则的面积为（

）

B． C． D．4．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，记的图像在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．若区域内恰有个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．

(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？6．（2023春·江苏镇江·八年级统考阶段练习）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为（包含和）的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间变化的函数图像，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当时，大棚内的温度是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为多少？7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

(1)求m的值和反比例函数解析式；(2)当时，求x的取值范围．8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知，，连接，以为边在第一象限内作正方形，直线与反比例函数相交于，两点，连接，交轴于点．

(1)求的值及直线的解析式；(2)求的面积．

专题06反比例函数与一次函数★知识点1：一次函数与反比例函数图像综合判断根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同。典例分析【例1】（2023·河南信阳·统考一模）下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可．【详解】解：当时，函数的图象在第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；当时，函数的图象在第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，选项B正确，符合题意.故选：B．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解答的关键．【例2】（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．

B．

C．D．

【答案】C【分析】根据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．【详解】A.由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，此选项不符合题意；B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，此选项不符合题意；C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，此选项符合题意；D、由函数的图象可知，，一次函数与轴交与负半轴，相矛盾，故错误，此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．【即学即练】1．（2023春·河南周口·八年级校联考阶段练习）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】假设法和排除法：若，则，根据反比例函数的图象所处的象限、一次函数图象的特征一一加以排除，剩下的一个则是正确的；若还不能一一加以排除，再假设，再逐一排除即可．【详解】若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，此时一次函数随自变量的增大而减小，且相交于y轴的正半轴上，A符合题意，B不符合题意；若时，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，此时一次函数随自变量的增大而增大，且相交于y轴的负半轴上，C、D均不符合题意；故选：A．【点睛】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质．2．（2023·全国·九年级专题练习）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可以是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象判断k和b的符号，然后进行比较求解即可．【详解】解：A、由一次函数图象y随x的增大而增大可得，由一次函数与y轴交于负半轴可得，即，由反比例函数的图象在第一三象限可得∴A选项符合题意；B、由一次函数图象y随x的增大而增大可得，由一次函数与y轴交于正半轴可得，即，即，由反比例函数的图象在第一三象限可得，∴B选项不符合题意；C、由一次函数图象y随x的增大而减小可得，由一次函数与y轴交于正半轴可得，即，即，由反比例函数的图象在第二四象限可得，∴C选项不符合题意；D、由一次函数图象经过原点可得，即，由反比例函数图象可得，∴D选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的图象综合题，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和系数的关系．★知识点2：一次函数与反比例函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．典例分析【例1】（山西省长治市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，它们的横坐标分别为，则关于的不等式的解为（

）

A．B．或C． D．或【答案】B【分析】观察图像，可知求不等式的解集可转化为一次函数的图像在反比例函数的图像的上方所对应的自变量的取值范围，即可解答．【详解】解：两点的横坐标分别为，故观察图像，可知的解集为，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图像的应用，利用数形结合思想是解题的关键．【例2】（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，函数和函数的图象相交于点，．若，则的取值范围是（

）

A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象的下方，即．【详解】解：由图象可得：当或时，．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．即学即练1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点，则当时，的取值范围是（）A．或 B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据图像可知两个函数的图像的交点是和，再由图像可以直接写出当时所对应的的取值范围即可．【详解】解：根据图像知，一次函数与反比例函数的交点是和点，当时，或．故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合、根据函数图像求不等式解集等知识点，正确理解函数图像和不等式解集的关系是解答本题的关键．2．（2023·河北保定·统考二模）在同一直角坐标系中，若正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象的性质即可求解．【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，∴同号，∴故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题的关键．★知识点3：一次函数与反比例函数的实际应用反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。二元一次方程组的应用。平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．典例分析【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需．(1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：与时间（单位：的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明．【答案】(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和(2)一班学生能安全进入教室，见解析【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，根据“完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需．”，列出方程组，即可求解；（2）由（1）可得一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要，从而得到点，进而得到反比函数解析式，再把代入，即可求解．【详解】（1）解：设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，则，解得，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；（2）解：一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要，当时，，∴点，设反比例函数表达式为：，将点的坐标代入，解得：，故反比例函数表达式为，当时，，故一班学生能安全进入教室．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解；（2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解．【详解】（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数，∴，解方程得，，∴，设反比例函数解析式为，∴，解方程得，，∴反比例函数解析式为．（2）解：设，设点到距离为，∵，，∴，∴，，∴，即，解方程得，，，∴，．【点睛】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．即学即练1．（2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．

(1)求、的值；(2)点在上．判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由；的面积是______．【答案】(1)，；(2)不在，理由见解析；．【分析】（1）根据点代入直线，求得的值，再根据平行四边形的性质，求出点的坐标，又根据点在反比例函数上，进而求得的值；（2）根据点代入直线，求得的值，求出点的坐标，再将点代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则不在图象上；设所在直线的解析式为，把、代入求得解析式，进而解得与轴交点，再根据面积和差即可求解．【详解】（1）当时，．∴．当时，．∴．∵四边形是平行四边形，∴，．∴点的坐标为．∴．∴．（2）不在，理由如下：∵点在上，当时，，∴点的坐标为．∵反比例函数为，当时，，∴点不在反比例函数的图像上，延长交轴于点，如图，

由得：，，设所在的直线为,将、代入得:，解得：，∴设所在的直线为，令，则，解得：，∴点，∴，，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解．2．（2023春·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．

(1)求一次函数和反比例函数解析式；(2)过点作轴于点，连接，求四边形的面积；(3)根据图像直接写出使成立的的取值范围．【答案】(1)，(2)5(3)【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点的坐标代入反比例函数解析式，求出值，再将点代入反比例函数解析式求出n值，然后将点坐标代入一次函数解析数即可．（2）四边形的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积．（3）结合图像确定的取值范围即可．【详解】（1）解：将点代入中，得，解得，故；将点代入，可得，将，代入，得，解得，故；（2）如图所示，

对于一次函数，令，则，即令，则，即，∴，，∵，轴，∴，，设的高为，由可知，；（3）结合图像可知，当时，的取值范围为．【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形放在大三角形中求解面积．★知识点4一次函数与反比例函数的其它综合应用典例分析【例1】（山西省长治市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．

(1)求直线的函数表达式；(2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标；(3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）由点先求反比例函数的解析式，然后求出点的坐标即可求解；（2）分类讨论在上和点在上，即可求解；（3）分类讨论作为平行四边形的边和对角线，画出对应图形即可求解．【详解】（1）解：将点代入中，得，；

令，解得，.

设直线的函数表达式为，将代入得：解得.（2）解：在中，令，得，令，得，，.

①当点在上时，设，则，，即，解得：，.

②当点在上时，设，则，，即，解得：，.（3）解：∵点是点关于轴的对称点，是点关于轴的对称点∴设点，①当作为平行四边形的一边时如图所示：

，解得故点为

，解得故点为②当作为平行四边形的对角线时如图所示：

，解得故点为综上：.【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题．掌握“分类讨论”的数学思想是解题关键．【例2】（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，连接，反比例函数的图象经过线段的中点D，与边分别交于点E，F，一次函数的图象经过E、F两点．

(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式；(3)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．【答案】(1)反比例函数表达式为(2)一次函数表达式(3)【分析】（1）根据中点求出，从而求出反比例函数表达式；（2）根据图像求出E，F两点坐标，代入即可求出一次函数表达式；（3）作点F关于轴对称点，连接，此时的值最小，即可求解．【详解】（1）解：∵，

∴，∵D为中点，∴，将点代入

∴反比例函数表达式为；（2）解：点E的纵坐标为2，当

∴，F横坐标为4，，∴，把E，F两点坐标代入中，，∴∴一次函数表达式；（3）解：作点F关于轴对称点，连接，如图所示，∴，设直线的表达式为，交轴于点P，此时的值最小，把E，F'坐标代入，∴

∴直线的表达式，当时，，∴；【点睛】本题考查了一次函数的图形与性质，涉及到待定系数法求解析式，灵活运用所学知识是关键．即学即练1．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，已知点B是一个反比例函数的图象与正比例函数的图象的公共点，垂直于x轴，垂足A的坐标为．

(1)求这个反比例函数的解析式．(2)在x轴正半轴上截取，分别再过C、E、G作x轴的垂线，与反比例函数图象交于点D、F、H，联结、、，求的面积．(3)如果点M在这个反比例的图象上，且的面积为6，求点M的坐标．【答案】(1)(2)1(3)或【分析】（1）由点A坐标得到点B的横坐标，代入正比例函数求得点B的坐标，再将点B代入反比例函数即可求解；（2）由题意可得，得到点G的横坐标，即可求得点G的坐标，根据三角形面积公式求解即可；（3）求出的长度，根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：设反比例函数解析式为∵A的坐标为，∴点B的横坐标为2，∴，点，将点B坐标代入，可得，∴；（2）解：∵A的坐标为，∴，∴，∴，当时，，∴点H的坐标为，，∴的面积为；（3）∵，，∴，在中，设边上的高为h，则，解得：则点M的横坐标为：或，当时，，当时，，∴点M的坐标为：或．【点睛】本题考查反比例函数综合问题以及正比例函数，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．2.（2023秋·河北保定·九年级保定十三中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：的图象与反比例函数的图象交于点．(1)求m、k的值；(2)点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W．①当时，求出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有1个整点，直接写出的取值范围．【答案】(1)2，6(2)①（4，2），（5，2），（5，3）②或【分析】（1）将点，代入，求出的值，利用横纵坐标之积，求出值；（2）①根据，求出的坐标，从而确定内的点的横纵坐标的取值范围，进行求解即可；②根据区域W内恰有1个整点，以及点的坐标，分点的横坐标在的左右两种情况，进行求解即可．【详解】（1）解：将将点，代入，得：，∴，∴；（2）①∵点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N，，∴的横坐标均为6，当时，，，∴，∵的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W，，∴内点的横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：，∴W内的整点的坐标为（4，2），（5，2），（5，3）；②∵，当点的横坐标在的左侧时：内的点的横坐标，∵区域W内恰有1个整点，∴该点的横坐标为：2，∴；当点的横坐标在的右侧时：内的点的横坐标，∵区域W内恰有1个整点，∴该点的横坐标为：4，∴；综上：当或时，区域W内恰有1个整点．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．1．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．D．

【答案】D【分析】分和两种情况，分别判断出一次函数图象和反比例函数图象所过的象限，结合选项可得答案．【详解】解：分类讨论：①当时，的图象过第一、二、四象限，的图象过第二、四象限，②当时，的图象过第一、三、四象限，的图象过经过第一、三象限．综上，符合题意的选项为D．故选：D．【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图象，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与系数的关系是解决此题的关键．2．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据二次函数图象确定、以及的符号，再根据符号来判断一次函数和反比例函数所经过的象限即可．【详解】解：由图可知，抛物线的开口向上，则；对称轴在轴的右侧，则，即与异号，则；抛物线与轴负半轴相交，则，故，则一次函数经过第一、第二和第四象限；由图可知，当时，，故反比例函数经过第二、四象限；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，熟练掌握图象与函数关系式中系数的关系是解题的关键．3．（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，反比例函数在第二象限的图像上有两点，，它们的纵坐标分别为，，直线与轴交于点，则的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知点横坐标得出其纵坐标，进而求出直线的解析式，求出直线与轴交点的横坐标，即可得出的面积．【详解】解：∵反比例函数在第二象限的图像上有两点，，它们的纵坐标分别为，，∴当时，得：；当时，得：，∴，，设直线的解析式为：，∴，解得：，∴直线的解析式是：，∴当时，，∴，∴，∴的面积为．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积．确定一次函数解析式是解题的关键．4．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，记的图像在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．若区域内恰有个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为．再画出图象，考虑两种极限状态当经过点，时和当刚经过点，时，即可得出答案．【详解】解：点在反比例函数的图象上，，解得：，反比例函数解析式为．如图，当经过点，时，即时，区域内有，，，，，三个点，当直线向上平移时，区域内出现第四个整点，，此时满足题意，．当直线再向上平移，经过点，时，即时，区域内还是四个整点，继续向上平移，即时，出现第五个整点，，此时已经不符合意义，．综上可知．故选B．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移．读懂题意，画出图象，找出两种极限状态是解题关键．5．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．

(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为．(2)15小时【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；（2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：，将代入得：，解得：，故直线解析式为：；当时，设反比例函数解析式为：，将代入得：，解得：a=32，故反比例函数解析式为：；所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为．（2）解：如图：由题意：，解得：；，，∴∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升