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文档简介
专题02二次函数的图像和性质★知识点1:y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 , 0y轴x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值0.a<0向下0 , 0y轴x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值0.典例分析【例1】(2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末)关于抛物线,下列说法错误的是(
)A.图象关于直线对称 B.抛物线开口向下C.随着的增大而减小 D.图象的顶点为原点【例2】(2022秋·天津宝坻·九年级校考期中)已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为(
)A. B. C. D.【即学即练】1.(2023·浙江·九年级假期作业)已知二次函数有最大值,则a的值为()A. B. C. D.02.(2023·全国·九年级假期作业)对于函数,下列说法正确的是()A.y的值总为正B.图像开口向下C.图像顶点在原点D.y随x的增大而增大★知识点2:y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 , cy轴x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值c.a<0向下0 , cy轴x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值c.典例分析【例1】(2023秋·浙江·九年级专题练习)关于二次函数的图象,下列说法中,正确的是().A.对称轴为直线B.顶点坐标为C.可以由二次函数的图象向左平移1个单位得到D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降【例2】(2022秋·安徽滁州·九年级校考期中)对于二次函数,下列说法,不正确的是()A.抛物线的开口向下 B.当时,随的增大而减小C.图象是轴对称图形 D.当时,有最大值即学即练1.(2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习)已知都在函数图象上,则的大小关系为(
).A. B. C. D.2.(2023·浙江·九年级假期作业)关于二次函数的图像,下列说法错误的是(
)A.抛物线开口向下B.对称轴为直线C.顶点坐标为D.当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大★知识点3:y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h , 0X=hx>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值0.a<0向下h , 0X=hx>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值0.典例分析【例1】(2023·浙江·九年级假期作业)二次函数的图像的对称轴是()A.直线 B.直线 C.直线 D.直线【例2】.(2023·浙江·九年级假期作业)设函数,,.直线的图象与函数,,的图象分别交于点,,,()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则即学即练1.(2023秋·安徽六安·九年级校考期末)将抛物线向右平移3个单位,再向上平移1个单位,则平移后的抛物线的解析式是(
)A.B.C.D.2.(2023·浙江·九年级假期作业)已知某二次函数,当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小,则该二次函数的解析式可以是(
)A. B. C. D.★知识点4y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h , kX=hx>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值k.a<0向下h , kX=hx>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值k.【例1】(2023秋·湖南长沙·九年级统考期末)关于抛物线的特征,下列说法错误的是(
)A.开口向上 B.对称轴为直线C.顶点坐标是 D.当时,随的增大而增大【例2】(2023·安徽·九年级专题练习)二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象经过(
)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限即学即练1.(2023·陕西·统考中考真题)在平面直角坐标系中,二次函数(为常数)的图像经过点,其对称轴在轴左侧,则该二次函数有(
)A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值2.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)抛物线的顶点坐标为(
)A. B. C. D.★知识点5二次函数y=ax2用配方法可化成:y=ax−h2+k二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.典例分析【例1】(2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模)关于二次函数的最值,说法正确的是(
)A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为【例2】(2021·浙江杭州·校考一模)已知函数,若使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为()A.0 B.1 C.2 D.3即学即练1.(2023·河南驻马店·统考一模)下列关于二次函数的图象和性质的叙述中,正确的是(
)A.点在函数图象上 B.开口方向向上C.对称轴是直线 D.当时,随的增大而减小2.(2023·全国·九年级专题练习)已知二次函数(其中,c为常数),则该函数的图象可能为(
)A.
B.
C.D.
★知识点6:二次函数的图像与各系数的符号关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4ac<0与x轴没有交点典例分析【例1】(2022秋·吉林松原·九年级校联考期中)二次函数的图象如图所示,下列说法正确的是(
)
A. B. C. D.【例2】(2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习)已知二次函数的图象如图所示,该函数对称轴为,且经过点下列结论中不正确的是(
)
A.B.函数最大值为C.当时, D..即学即练1.(2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习)已知二次函数的图象如图所示,有下列结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③;④时,.其中正确的个数为(
)
A.1 B.2 C.3 D.42.(2023·贵州·统考中考真题)已知,二次数的图象如图所示,则点所在的象限是(
)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限★知识点7:一次函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】.(2023秋·全国·九年级专题练习)下列图象中,当时,函数与的图象是()A.B.C.D.【例2】(2023·安徽·九年级专题练习)已知二次函数和一次函数的图象如图所示,则函数的图象可能是(
)A.B.C.D.即学即练1.(2023秋·浙江·九年级专题练习)同一坐标系中,二次函数与一次函数的图象可能是(
)A.
B.
C.
D.
2.(2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末)一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为()A.
B.
C.
D.
★知识点8:反比例函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】(2023·山东东营·统考二模)二次函数()的图象如图所示,则一次函数()与反比例函数()在同一平面直角坐标系中的图象大致是(
)A.B. C. D.【例2】(2023·辽宁朝阳·校考一模)二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是(
)A.B.C.D.即学即练1.(2023·贵州铜仁·校考一模)函数与在同一直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.2.(2022秋·新疆昌吉·九年级校考期末)二次函数的图象如图,反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(
).A.B.C.D.★知识点9:根据图像判断式子的符号常用公式及方法:二次函数三种表达式:表达式顶点坐标对称轴一般式顶点式交点式韦达定理:若二次函数图象与x轴有两个交点且交点坐标为(,0)和(,0),则,。赋值法:在二次函数中,令,则;令,则;令,则;令,则;利用图象上对应点的位置来判断含有、、的关系式的正确性。典例分析【例1】(2023·全国·九年级专题练习)某二次函数的部分图象如图所示,下列结论中一定成立的有(
)①;②;③;④.
A.个 B.个 C.个 D.个【例2】(2020秋·广东东莞·九年级校联考期中)二次函数图象如图,下列结论:①;②;③;④.其中正确的是()
A.②③④ B.①②④ C.②③ D.①②③④即学即练1(2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模)如图所示,点A,B,C是抛物线(为任意实数)上三点,则下列结论:①;②函数最大值大于4;③;其中正确的有(
)
A.②③ B.②③ C.①③ D.①②2(2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习)如图,二次函数的图象与轴的一个交点为,对称轴为直线,给出下列结论:;;;.其中正确的是(
)A. B. C. D.★知识点10:求对称轴典例分析【例1】(2023秋·全国·九年级专题练习)已知抛物线经过A,B两点,则它的对称轴是()A.直线 B.直线 C.直线 D.无法确定【例2】(2022秋·安徽安庆·九年级统考期末)已知二次函数的图像上有两点和,则当时,二次函数的值是(
)A.−1 B.0 C.1 D.2即学即练1.(2023·浙江杭州·统考一模)坐标平面上有一水平线与二次函数的图形,其中为一正数,且与二次函数图象相交于、两点,其位置如图所示.若::,则的长度为()A.17 B.19 C.21 D.242.(2023·湖南株洲·统考一模)已知抛物线(a,h是常数)与y轴的交点为A,点A与点B关于抛物线的对称轴对称,抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表:x…0134……6…下列结论正确的是(
)A.抛物线的对称轴是直线 B.当时,y随x的增大而增大C.将抛物线向上平移1个单位后经过原点D.点A的坐标是,点B的坐标是★知识点11:根据对称性求函数值典例分析【例1】(2023·浙江温州·校考三模)已知二次函数的图象过两点,下列选项正确的是(
)A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【例2】(2023秋·九年级单元测试)已知二次函数(a为常数,且)的图象上有三点,,,则,,的大小关系为(
)A. B. C. D.即学即练1.(2022春·浙江·九年级校考阶段练习)若点,,为二次函数的图像上的三点,则的大小关系是()A. B. C. D.2.(2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中)已知二次函数中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x…-10123y…105212…则当时,x的取值范围是(
)A. B. C.或 D.或★知识点12:y=ax典例分析【例1】(2023·河北保定·统考二模)在平面直角坐标系中,点,当线段最短时,的值为(
)A.2 B.3 C.4 D.0【例2】(2023秋·浙江·九年级专题练习)已知二次方程的两根为和5,则对于二次函数,下列叙述正确的是(
)A.当时,函数的最大值是9. B.当时,函数的最大值是9.C.当时,函数的最小值是. D.当时,函数的最小值是.即学即练1.(2023·江苏南通·统考二模)若实数a,b,c满足,则c的最小值是(
)A.6 B.7 C.8 D.92.(2022秋·九年级单元测试)二次函数有最小值,则的值为(
)A. B. C. D.★知识点13:根据对称性求最短路径典例分析【例1】(2022春·九年级课时练习)如图,直线yx+3分别与x轴,y轴交于点A、点B,抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C,点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,CE+EF的最小值是()A.4 B.4.6 C.5.2 D.5.6【例2】(2022秋·广西百色·九年级统考期中)如图,抛物线与轴交于点,与轴的负半轴交于点,点是对称轴上的一个动点,连接,,则的最小值为(
)A.2 B. C. D.即学即练1.(2022春·九年级课时练习)如图,在抛物线上有,两点,其横坐标分别为1,2;在轴上有一动点,当最小时,则点的坐标是(
)A.(0.0) B.(0,) C.(0,2) D.(0,)2.(2022春·九年级课时练习)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴分别于点A(﹣3,0),B(1,0),交y轴正半轴于点D,抛物线顶点为C.下列结论①2a﹣b=0;②a+b+c=0;③当m≠﹣1时,a﹣b>am2+bm;④当△ABC是等腰直角三角形时,a=;⑤若D(0,3),则抛物线的对称轴直线x=﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3,其中,正确的个数为()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个★知识点14:二次函数的平移典例分析【例1】(2023秋·浙江·九年级专题练习)抛物线是由抛物线平移得到的,下列平移正确的是()A.向上平移2个单位长度 B.向下平移2个单位长度C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度【例2】(2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是,则原抛物线的解析式不可能是(
)A. B.C. D.即学即练1.(2023秋·安徽滁州·九年级校考期末)抛物线经过平移得到,则平移方法是()A.向右平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度2.(2023秋·新疆和田·九年级统考期末)将抛物线向右平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线是(
)A.B. C. D.★知识点15:二次函数的综合典例分析【例1】(2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;(2)点是抛物线的顶点,连接、,求的面积.【例2】(2023·全国·九年级假期作业)如图,抛物线与x轴交于点,与y轴交于点.
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标;(2)若P是线段上一动点,过P作y轴的平行线交抛物线于点H,交于点N.设.的面积为S,求S关于t的函数解析式,若S有最大值,请求出S的最大值;若没有,请说明理由.即学即练1.(2023·全国·九年级假期作业)如图,已知抛物线的对称轴为直线,且与y轴的交点坐标为,直线l与x轴相交于点C.
(1)求该抛物线的表达式;(2)如图,点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点,过点P作轴,,垂足分别为A,B.设点P的横坐标为m.当四边形为正方形时,求m的值.2.(2023·浙江·九年级假期作业)如图,抛物线经过点,,点是直线上的动点,过点作轴的垂线交抛物线于点.设点的横坐标为.
(1)求抛物线的解析式;(2)若点在第一象限,连接,当线段最长时,求的面积;(3)是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.1.(2023·上海·九年级假期作业)抛物线,,共有的性质是(
)A.开口向上 B.对称轴都是y轴 C.都有最高点 D.顶点相同2.(2022秋·安徽六安·九年级校考期末)关于二次函数,下列说法错误的是(
)A.顶点坐标为 B.有最大值C.与轴无交点 D.对称轴是直线3.(2023秋·江苏淮安·九年级统考期末)对于二次函数,下列说法不正确的是(
)A.图像开口向下 B.图像的对称轴是直线C.函数最大值为0 D.y随x的增大而增大4.(2022秋·湖南益阳·九年级校考期中)抛物线上有三点,分别是;;那这三点中纵坐标的大小关系为(
)A. B. C. D.5.(2023·陕西西安·校考模拟预测)已知函数,当时,y有最大值a,最小值b,则的值为(
)A.13 B.5 C.11 D.146.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图,正方形是边长为6,点从点A出发以的速度沿运动,动点从点A出发以的速度沿向点运动,两点均到达点停止运动.设点的运动时间是,的面积是,则能正确反应关于的函数图象是(
)
A.
B.
C.
D.
7.(2022秋·湖北荆州·九年级校考期中)已知、、是二次函数图象上的三点,则、、的大小关系为(
)A. B. C. D.8.(2023·辽宁营口·统考中考真题)如图.抛物线与x轴交于点和点,与y轴交于点C.下列说法:①;②抛物线的对称轴为直线;③当时,;④当时,y随x的增大而增大;⑤(m为任意实数)其中正确的个数是(
)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.(2023·全国·九年级专题练习)如图是一次函数的图象,则二次函数的图象可能为()A. B. C. D.10.(2023·上海·九年级假期作业)如图,在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于,,三点,则满足的自变量x的取值范围是(
)
A.或 B.或C.或或 D.或或11.(2023·全国·九年级专题练习)已知二次函数和,,则下列说法正确的是(
)A.当时, B.当时,C.当时, D.当时12.(2023·全国·九年级专题练习)二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为.下列结论正确的是(
)
A. B.C. D.若是抛物线上两点,则13.(2023·新疆·统考一模)若二次函数的图象过不同的五点,,,,,则,,的大小关系是(
)A. B. C. D.14.(2023·浙江·九年级假期作业)已知二次函数的图像如图所示,下列四个命题:①;②;③若,是该抛物线上的两点,则;④若,是该抛物线上的两点,则;其中正确的结论有(
)A.个 B.个 C.个 D.个15.(2023·陕西咸阳·统考二模)已知二次函数,当时,函数的最小值为,则b的值为(
)A. B.2 C. D.116.(2023秋·浙江·九年级专题练习)把抛物线向左平移1个单位,再向上平移3个单位,则平移后抛物线为()A. B.C. D.17.(2023·河南驻马店·统考一模)如图,已知抛物线过点,,其对称轴为.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点是抛物线对称轴上的一点,且点在第一象限.①当的面积为15时,求点的坐标;②是抛物线上的动点,当取得最大值时,求点的坐标.18.(2022秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习)已知抛物线与x轴交于和B(3,0)两点,且与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线顶点M坐标及四边形ABMC的面积;(3)若点P是对称轴上一点,求当△APC周长最短时,求点P的坐标.19.(2023·江西·九年级专题练习)已知二次函数(m为常数).(1)二次函数的顶点坐标P(_______,______)(用含m的代数式表示);(2)m取不同的值,可以得到不同的点P,分别用,,,,表示.……P点横坐标…0123…P点纵坐标…0a0…①补全表格;②在图1中描出m取不同值时得到的,,,,各点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为.并求曲线的解析式.(3)若和x轴有两个交点,当这两个点与二次函数的顶点P构成等腰直角三角形时,求m的值.20.(2022春·九年级课时练习)如图,抛物线与轴交于两点(在的左侧),与轴交于点,过点的直线:与轴交于点,与抛物线的另一个交点为,已知点为抛物线上一动点(不与重合).(1)求抛物线的解析式;(2)当点在直线上方的抛物线上时,过点作PE∥x轴交直线于点,作PF∥y轴交直线于点,求的最大值;(3)设为直线上的动点,以为一边且顶点为的四边形是平行四边形,求所有符合条件的点坐标.
专题02二次函数的图像和性质★知识点1:y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 , 0y轴x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值0.a<0向下0 , 0y轴x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值0.典例分析【例1】(2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末)关于抛物线,下列说法错误的是(
)A.图象关于直线对称 B.抛物线开口向下C.随着的增大而减小 D.图象的顶点为原点【答案】C【分析】由抛物线解析式可得到开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标,可求得答案.【详解】解:∵,∴抛物线开口向下,对称轴为轴,顶点坐标是,∴、、选项说法正确,∵,对称轴为,∴当时,随的增大而减小,∴选项说法错误,故选:.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质,掌握二次函数的性质是解题的关键.【例2】(2022秋·天津宝坻·九年级校考期中)已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据开口判断a、b、c、d与0的关系,在根据张口的大小关系判断a、b、c、d绝对值的大小即可得到答案.【详解】解:由图像开口方向可得,,,,,根据张口大小可得,,,∴,故选A.【点睛】本题考查抛物线的性质:开口向上,开口向下,的绝对值越大张口越小.【即学即练】1.(2023·浙江·九年级假期作业)已知二次函数有最大值,则a的值为()A. B. C. D.0【答案】A【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解,再根据二次函数有最大值就说明图象开口向下,,分别解得即可.【详解】解:由二次函数定义可知,解得,∵二次函数有最大值,∴,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查二次函数的定义及二次函数的最值,熟知二次函数的性质是解题的关键.2.(2023·全国·九年级假期作业)对于函数,下列说法正确的是()A.y的值总为正B.图像开口向下C.图像顶点在原点D.y随x的增大而增大【答案】C【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向,顶点坐标,进而求解.【详解】解:∵,∴抛物线开口向上,顶点在原点上,,当时,y随x增大而减小,当时,y随x增大而增大,故选:C.【点睛】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.★知识点2:y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 , cy轴x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值c.a<0向下0 , cy轴x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值c.典例分析【例1】(2023秋·浙江·九年级专题练习)关于二次函数的图象,下列说法中,正确的是().A.对称轴为直线B.顶点坐标为C.可以由二次函数的图象向左平移1个单位得到D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降【答案】D【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可.【详解】解:A.二次函数的对称轴为直线,故A选项不符合题意;B.二次函数的顶点坐标,故B选项不符合题意;C.二次函数的图像可以由二次函数的图像向上平移1个单位得到,故C选项不符合题意;D.二次函数的图像开口向下,在对称轴左侧,图像上升,在对称轴右侧,图像下降,故D选项符合题意.故答案为:D.【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质,理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键.【例2】(2022秋·安徽滁州·九年级校考期中)对于二次函数,下列说法,不正确的是()A.抛物线的开口向下 B.当时,随的增大而减小C.图象是轴对称图形 D.当时,有最大值【答案】B【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A;利用对称性左侧的增减性可判断B;利用二次函数的对称轴可判断C,利用二次函数开口向下,函数有最大值可判断D.【详解】解:A、∵二次函数中,,∴此抛物线开口向下,故本选项正确,不符合题意;B、∵抛物线的对称轴,∴当时函数图象在对称轴左侧,y随x的增大而增大,故本选项错误,符合题意;C、二次函数的图象是轴对称图形,故本选项正确,不符合题意;D、∵抛物线开口向下,∴此函数有最大值,当时,y有最大值是3,故本选项正确,不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查二次函数的性质,开口方向,增减性,对称轴,最值,掌握二次函数的性质是解题的关键.即学即练1.(2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习)已知都在函数图象上,则的大小关系为(
).A. B. C. D.【答案】A【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征,把三个点的坐标分别代入二次函数解析式,计算出,,的值,然后比较它们的大小.【详解】解:当时,;当时,;当时,,所以.故选:A.【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征,解题关键在于把坐标代入解析式.2.(2023·浙江·九年级假期作业)关于二次函数的图像,下列说法错误的是(
)A.抛物线开口向下B.对称轴为直线C.顶点坐标为D.当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质依次判断.【详解】解:∵,∴抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为,当时,随的增大而增大,当时,随的增大而减小,∴A,B,C正确,D错误,故选:D.【点睛】此题考查了二次函数的性质,熟记二次函数的性质是解题的关键.★知识点3:y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h , 0X=hx>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值0.a<0向下h , 0X=hx>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值0.典例分析【例1】(2023·浙江·九年级假期作业)二次函数的图像的对称轴是()A.直线 B.直线 C.直线 D.直线【答案】C【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴.【详解】解:∵,∴抛物线对称轴为直线.故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式,掌握抛物线顶点式方程是解题的关键,即在中其顶点坐标为.【例2】.(2023·浙江·九年级假期作业)设函数,,.直线的图象与函数,,的图象分别交于点,,,()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】D【分析】按照题意,画出满足题意的图象,根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可.【详解】解:如图所示,A.由图象可知,若,当时,,故选项错误,不符合题意;B.由图象可知,若,,当时,不一定成立,故选项错误,不符合题意;C.由图象可知,若,当时,不一定成立,故选项错误,不符合题意;D.由图象可知,若,当时,,故选项正确,符合题意;故选:D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质,数形结合是解题的关键.即学即练1.(2023秋·安徽六安·九年级校考期末)将抛物线向右平移3个单位,再向上平移1个单位,则平移后的抛物线的解析式是(
)A.B.C.D.【答案】D【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值,根据点的平移规律“左移减,右移加,上移加,下移减”可知移动后的顶点坐标,再由顶点式可求移动后的函数表达式.【详解】解:的顶点坐标为,把点向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到的对应点的坐标为,所以平移后的抛物线的解析式是.故选:D.【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换,利用抛物线解析式的变化规律:“左移减,右移加,上移加,下移减”是解题的关键.2.(2023·浙江·九年级假期作业)已知某二次函数,当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小,则该二次函数的解析式可以是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下,对称轴为直线,然后对各选项进行判断.【详解】解:∵当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小,∴抛物线开口向下,对称轴为直线,∴符合条件,故选:D【点睛】本题考查了二次函数的性质,根据题意得到抛物线开口向下,对称轴为直线是解题的关键.★知识点4y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h , kX=hx>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值k.a<0向下h , kX=hx>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值k.【例1】(2023秋·湖南长沙·九年级统考期末)关于抛物线的特征,下列说法错误的是(
)A.开口向上 B.对称轴为直线C.顶点坐标是 D.当时,随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质,可得抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为,逐项分析判断即可求解.【详解】解:关于抛物线的特征,抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为,∴A,B,C选项正确,当时,随的增大而减小,故D选项错误,符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.【例2】(2023·安徽·九年级专题练习)二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象经过(
)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限【答案】B【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标,根据图形得到顶点在第四象限,求出m与n的正负,即可作出判断.【详解】解:由题意得抛物线顶点坐标为,由函数图象得抛物线的顶点在第四象限,∴,∴,∴一次函数的图象经过第一、二、四象限,故选B.【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键.即学即练1.(2023·陕西·统考中考真题)在平面直角坐标系中,二次函数(为常数)的图像经过点,其对称轴在轴左侧,则该二次函数有(
)A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值【答案】D【分析】将代入二次函数解析式,进而得出的值,再利用对称轴在轴左侧,得出,再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值.【详解】解:将代入二次函数解析式得:,解得:,,∵二次函数,对称轴在轴左侧,即,∴,∴,∴,∴当时,二次函数有最小值,最小值为,故选:.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值,正确得出的值是解题关键.2.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)抛物线的顶点坐标为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据二次函数的顶点式解析式的特点即可求解.【详解】解:∵抛物线的顶点坐标是,∴抛物线的顶点坐标是,故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的顶点式解析式,对抛物线的顶点坐标的理解是解题的关键.★知识点5二次函数y=ax2用配方法可化成:y=ax−h2+k二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.典例分析【例1】(2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模)关于二次函数的最值,说法正确的是(
)A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为【答案】C【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即,再根据二次函数的性质即可解答.【详解】解:∵二次函数的解析式为,∴,∵,∴有最大值为;故选.【点睛】本题考查了二次函数的顶点式,二次函数的性质,掌握二次函数的性质是解题的关键.【例2】(2021·浙江杭州·校考一模)已知函数,若使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象,利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值.【详解】解:函数的图象如图:根据图象知道当y=3时,对应成立的x值恰好有三个,∴k=3.故选:D.【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题,解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题.即学即练1.(2023·河南驻马店·统考一模)下列关于二次函数的图象和性质的叙述中,正确的是(
)A.点在函数图象上 B.开口方向向上C.对称轴是直线 D.当时,随的增大而减小【答案】D【分析】将代入解析式,得出在函数图象上,即可判断A选项,根据,可得抛物线开口向下,即可判断B选项,根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为,即可判断C,D选项.【详解】解:A.当时,,则点不在函数图象上,故该选项不正确,不符合题意;
B.∵,∴抛物线开口方向向下,故该选项不正确,不符合题意;C.∵的对称轴是直线,故该选项不正确,不符合题意;
D.∵抛物线对称轴为直线,开口向下,则当时,随的增大而减小,故该选项正确,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.2.(2023·全国·九年级专题练习)已知二次函数(其中,c为常数),则该函数的图象可能为(
)A.
B.
C.D.
【答案】D【分析】根据,,即可得出抛物线开口向下,对称轴再y轴的左侧,据此可得出答案.【详解】解:∵,,∴抛物线开口向下,对称轴,∴选项A、B、C不符合题意,D符合题意故选:D.【点睛】本题考查二次函数的图象的性质,熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键.★知识点6:二次函数的图像与各系数的符号关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4ac<0与x轴没有交点典例分析【例1】(2022秋·吉林松原·九年级校联考期中)二次函数的图象如图所示,下列说法正确的是(
)
A. B. C. D.【答案】D【分析】由抛物线对称轴位置,抛物线与y轴交点位置可判断b,c的符号.【详解】∵抛物线对称轴在y轴左侧,∴,∴,∵抛物线与y轴交点在x轴上方,∴当时,故选:D.【点睛】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,注意数形结合思想的运用.【例2】(2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习)已知二次函数的图象如图所示,该函数对称轴为,且经过点下列结论中不正确的是(
)
A.B.函数最大值为C.当时, D..【答案】A【分析】根据二次函数开口向下,与y轴交于正半轴,得到,再由二次函数对称轴为直线,得到,由此即可判断①;二次函数开口向下,对称轴为直线,则当时,函数有最大值,最大值为,由此即可判断②;求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为,根据函数图象即可判断③;根据当时,,即可判断④.【详解】解:∵二次函数开口向下,与y轴交于正半轴,∴,∵二次函数对称轴为直线,∴,∴,∴,故A结论错误,符合题意;∵二次函数开口向下,对称轴为直线,∴当时,函数有最大值,最大值为,故B结论正确,不符合题意;∵二次函数经过点,∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为,∴当时,,故C结论正确,不符合题意;∵当时,,∴,故D结论正确,不符合题意;故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数与不等式之间的关系,二次函数的性质等等,熟知二次函数的相关知识是解题的关键.即学即练1.(2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习)已知二次函数的图象如图所示,有下列结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③;④时,.其中正确的个数为(
)
A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根据抛物线开口向上,得到,再由抛物线对称轴为直线,可得当和时,函数值相等,,由此可判断①②;根据当时,,可得,即可判断③;求出当时,,即可判断④.【详解】解:∵抛物线开口向上,∴,∵抛物线对称轴为直线,∴,当和时,函数值相等,故②正确;∴,∴a,b异号,故①错误;∵当时,,∴,∴,∴,故③错误;∵抛物线对称轴为直线,当时,,∴当时,,∴时,,故④正确.故选:B.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数的对称轴,二次函数与不等式的关系等等,熟知二次函数的相关知识是解题的关键.2.(2023·贵州·统考中考真题)已知,二次数的图象如图所示,则点所在的象限是(
)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号,从而得出点所在象限.【详解】解:由图可知二次函数的图象开口向上,对称轴在y轴右侧,,,,在第四象限,故选D.【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系,以及判断点所在象限,解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号.★知识点7:一次函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】.(2023秋·全国·九年级专题练习)下列图象中,当时,函数与的图象是()A.B.C.D.【答案】D【分析】分别根据四个选项中一次函数和二次函数的图象判断出a和b的正负,然后通过比较求解即可.【详解】解:A、对于直线,得,,与矛盾,所以A选项错误;B、由抛物线开口向上得到,而由直线经过第二、四象限得到,所以B选项错误;C、由抛物线开口向下得到,而由直线经过第一、三象限得到,所以C选项错误;D、由抛物线开口向下得到,则直线经过第二、四象限,由于,则,所以直线与y轴的交点在x轴下方,所以D选项正确.故选:D.【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质,掌握函数关系式的系数与图像的位置之间的关系是解题的关键.【例2】(2023·安徽·九年级专题练习)已知二次函数和一次函数的图象如图所示,则函数的图象可能是(
)A.B.C.D.【答案】D【分析】根据题干中的函数图象,可知,然后即可得到函数的图象的开口方向,对称轴所在的位置和与y轴的交点位置,从而可以判断哪个选项符合题意.【详解】解:由图象得,二次函数图象开口向上,∴二次项系数,一次函数的图象过第一、二、四象限,∴,∴,∴函数的图象开口向上,对称轴在y轴右侧,与y轴交于负半轴,故选:D.【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,判断a、b、c的符号,利用一次函数和二次函数的性质解答.即学即练1.(2023秋·浙江·九年级专题练习)同一坐标系中,二次函数与一次函数的图象可能是(
)A.
B.
C.
D.
【答案】D【分析】可先根据一次函数的图象判断a,b的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.【详解】解:A、由一次函数的图象可得:两个a的符号不一致,故错误;B、由一次函数的图象可得:,此时二次函数的顶点,,矛盾,故错误;C、由一次函数的图象可得:,由其与y轴的交点可知,矛盾,故错误;D、由一次函数的图象可得:,此时二次函数的顶点,,故正确;故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象,应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.2.(2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末)一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为()A.
B.
C.
D.
【答案】B【分析】根据一次函数与二次函数的性质,分析解析式中的的符合,即可求解.【详解】解:A.一次函数中,二次函数中,,矛盾,不合题意;B.一次函数中,二次函数中,,符合题意;C.一次函数中,二次函数中,,矛盾,不合题意;D.一次函数中,二次函数中,,矛盾,不合题意;故选:B.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质,熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键.★知识点8:反比例函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】(2023·山东东营·统考二模)二次函数()的图象如图所示,则一次函数()与反比例函数()在同一平面直角坐标系中的图象大致是(
)A.B. C. D.【答案】A【分析】由二次函数的图象可得:,,,可得一次函数的图象经过一,三,四象限,的图象在二,四象限,从而可得答案.【详解】解:由二次函数的图象可得:,,,∴一次函数的图象经过一,三,四象限,的图象在二,四象限,∴B,C,D不符合题意,A符合题意;故选A【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号,一次函数与反比例函数的图象,熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键.【例2】(2023·辽宁朝阳·校考一模)二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是(
)A.B.C.D.【答案】A【分析】首先利用二次函数图象得出a,b,c的取值范围,进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案.【详解】解:由二次函数开口向上可得:,对称轴在y轴左侧,故a,b同号,则,与y轴的交点在原点下方,则,∴,,,故反比例函数的图象分布在第二、四象限,一次函数的图象经过第一、二、四象限.观察四个选项,只有选项A符合题意,故选:A.【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象,正确得出a,b,c的取值范围是解题的关键.即学即练1.(2023·贵州铜仁·校考一模)函数与在同一直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据,,结合两个函数的图象及其性质分类讨论.【详解】解:分两种情况讨论:①当时,反比例函数,在二、四象限,而二次函数开口向下,与y轴交点在原点上方,故选项B、C、D都不符合题意,选项A符合题意;②当时,反比例函数,在一、三象限,而二次函数开口向上,与y轴交点在原点下方,故选项A、B、C、D都不符合题意,故选:A.【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象,解决此类问题步骤一般为:(1)先根据图象的特点判断k取值是否矛盾;(2)根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求.2.(2022秋·新疆昌吉·九年级校考期末)二次函数的图象如图,反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(
).A.B.C.D.【答案】C【分析】根据函数图象的开口方向,对称轴,可得、的值,根据、的值,可得相应的函数图象.【详解】解:由的图象开口向下,得.由图象,得对称轴在y轴右侧,则.由不等式的性质,得.,则图象位于二、四象限,,则图象位于一、三象限,故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的性质,利用函数图象的开口方向,对称轴得出、的值是解题关键.★知识点9:根据图像判断式子的符号常用公式及方法:二次函数三种表达式:表达式顶点坐标对称轴一般式顶点式交点式韦达定理:若二次函数图象与x轴有两个交点且交点坐标为(,0)和(,0),则,。赋值法:在二次函数中,令,则;令,则;令,则;令,则;利用图象上对应点的位置来判断含有、、的关系式的正确性。典例分析【例1】(2023·全国·九年级专题练习)某二次函数的部分图象如图所示,下列结论中一定成立的有(
)①;②;③;④.
A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系,由抛物线与轴的交点判断与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【详解】解:①函数的对称轴在轴右侧,则,抛物线与轴交于负半轴,则,则,故①正确;②函数的对称轴为,函数和轴的一个交点是,则另外一个交点为,当时,,故②错误;③函数的对称轴为,即,故③错误;④由②③得,,,故,而抛物线开口向上,则,即,故,故④正确;故选:B.【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求与的关系,以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键.【例2】(2020秋·广东东莞·九年级校联考期中)二次函数图象如图,下列结论:①;②;③;④.其中正确的是()
A.②③④ B.①②④ C.②③ D.①②③④【答案】C【分析】由二次函数图象可知,,,即可判断①;由二次函数的对称轴为直线即可判断②;将代入即可判断③;将代入即可判断④.【详解】解:①∵开口向下,∴,∵对称轴为∴,∵二次函数图象与y轴交于正半轴∴∴,故①错误;∵对称轴为∴,即,故②正确;由图象可得,当时,,故③正确;由图象可得,当时,,故④错误.综上所述,正确的有②③.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.即学即练1(2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模)如图所示,点A,B,C是抛物线(为任意实数)上三点,则下列结论:①;②函数最大值大于4;③;其中正确的有(
)
A.②③ B.②③ C.①③ D.①②【答案】B【分析】由图可得:抛物线的开口方向向下,当,,即,可判断结论③正确;当与时,函数值不相等,可得抛物线的对称轴不是直线,即,函数最大值大于4,即可得出答案.【详解】解:由图可得:抛物线的开口方向向下,当时,,当,,即,结论③正确;∴当与时,函数值不相等,∴抛物线的对称轴不是直线,即,函数最大值大于4;故结论①错误,②正确;故选:B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的性质、数形结合是解题的关键.2(2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习)如图,二次函数的图象与轴的一个交点为,对称轴为直线,给出下列结论:;;;.其中正确的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向和与轴交于正半轴即可判断A,根据抛物线的对称轴即可判断B,根据当时,,即可判断C,由抛物线的交点,设抛物线为,从而得到,即可判断D.【详解】解:二次函数的图象开口向下,,二次函数的图象与轴交于正半轴,,,故①正确,抛物线的对称轴为直线,,,故②错误,由图象可知,当时,,即,故③错误,二次函数的图象与轴的一个交点为,对称轴为直线,另一个交点坐标是,设,,,故④正确,综上所述,其中正确的有,故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,的符号由抛物线的开口方向决定,的符号由抛物线与轴的交点决定,的符号由对称轴的位置和的符号决定,熟练掌握二次函数的图象与性质,采用数形结合的思想解题,是解此题的关键.★知识点10:求对称轴典例分析【例1】(2023秋·全国·九年级专题练习)已知抛物线经过A,B两点,则它的对称轴是()A.直线 B.直线 C.直线 D.无法确定【答案】B【分析】根据A、B两点的纵坐标相等即可求解.【详解】解:因为已知两点的纵坐标相同,都是9,所以对称轴是直线.故选:B.【点睛】本题考查了抛物线的对称性,正确得出A、B两点关于抛物线的对称轴对称是解题关键.【例2】(2022秋·安徽安庆·九年级统考期末)已知二次函数的图像上有两点和,则当时,二次函数的值是(
)A.−1 B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线,也可表示为直线,可得,代入函数的解析式即可求得二次函数的值.【详解】解:二次函数的图像上有两点和,∴,∴,当时,二次函数.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征,图像上的点坐标符合解析式是解题的关键.即学即练1.(2023·浙江杭州·统考一模)坐标平面上有一水平线与二次函数的图形,其中为一正数,且与二次函数图象相交于、两点,其位置如图所示.若::,则的长度为()A.17 B.19 C.21 D.24【答案】C【分析】根据对称轴,结合即可求解.【详解】解:设对称轴与交于点..,.对称轴,.,::.::::.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称,结合图形,找到线段的长度是解题的关键.2.(2023·湖南株洲·统考一模)已知抛物线(a,h是常数)与y轴的交点为A,点A与点B关于抛物线的对称轴对称,抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表:x…0134……6…下列结论正确的是(
)A.抛物线的对称轴是直线 B.当时,y随x的增大而增大C.将抛物线向上平移1个单位后经过原点D.点A的坐标是,点B的坐标是【答案】D【分析】利用当和时,,得出抛物线的对称轴是直线,根据表格求得解析式,判断B选项,根据平移的规律得出解析式,判断C选项,再利用时,,结合对称轴,即可得出、点坐标.【详解】解:当和时,,抛物线的对称轴是直线,故A选项错误;抛物线的解析式为将代入,得解得:,抛物线解析式为,时,随增大而减小;时,随增大而增大,故B选项错误;将抛物线向上平移1个单位后的解析式为,当时,,抛物线不经过原点,故C选项错误;对于抛物线,时,,则点,点与点关于抛物线的对称轴对称,点坐标,故D选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质,根据和时,求出抛物线的对称轴是解题的关键.★知识点11:根据对称性求函数值典例分析【例1】(2023·浙江温州·校考三模)已知二次函数的图象过两点,下列选项正确的是(
)A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线,再利用二次函数的性质对各项判断即可解答.【详解】解:∵二次函数的图象过两点,∴二次函数的顶点式为:,∴当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大;∵,∴,∴,∴,故错误;∵二次函数的顶点式为:,∴抛物线的对称轴为直线,若,∴解得:,∴当时,和关于对称,∴当时,;当时,,故错误,正确;当时,随的增大而增大,∵,∴,故错误;故选.【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数的对称轴,掌握二次函数的性质是解题的关键.【例2】(2023秋·九年级单元测试)已知二次函数(a为常数,且)的图象上有三点,,,则,,的大小关系为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先确定对称轴,根据把点A的对称点确定,转化为对称轴同侧的点,根据抛物线开口向上,对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可.【详解】解:因为二次函数(为常数,且)的图象上有三点,,,所以对称轴,设点A的对称点为,所以,解得,因为抛物线开口向上,所以对称轴的右侧y随x的增大而增大,因为,所以.故选D.【点睛】本题考查了抛物线的开口方向,增减性,对称性,熟练掌握增减性是解题的关键.即学即练1.(2022春·浙江·九年级校考阶段练习)若点,,为二次函数的图像上的三点,则的大小关系是()A. B. C. D.【答案】B【分析】计算各点到对称轴的距离,根据抛物线开口向上,距离越大,函数值越大计算判断即可.【详解】∵点,,为二次函数的图像上的三点,∴对称轴为直线,∴点到对称轴直线的距离,点到对称轴直线的距离,点到对称轴直线的距离,∴,∵二次函数开口向上,∴函数值随距离的增大而增大,∴,故选B.【点睛】本题考查了二次函数的增减性,熟练掌握二次函数增减性是解题的关键.2.(2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中)已知二次函数中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x…-10123y…105212…则当时,x的取值范围是(
)A. B. C.或 D.或【答案】C【分析】根据表格数据,利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴以及当y=5时,x的另一个取值;然后根据表格以及二次函数的性质即可求出当时,x的取值范围.【详解】由表可知,二次函数的对称轴为直线x=2,当x=0时,y=5;当x=4时,y=5,∴当时,x的取值范围为x<0或x>4故选:C.【点睛】本题考查了二次函数与不等式,掌握二次函数图象的对称性根据表格得出函数的对称轴是关键.★知识点12:y=ax典例分析【例1】(2023·河北保定·统考二模)在平面直角坐标系中,点,当线段最短时,的值为(
)A.2 B.3 C.4 D.0【答案】A【分析】根据两点之间的距离公式即可求得的值.【详解】解:根据两点之间的距离公式得:,当时,有最小值,最小值为4.因此当时,最短,故选A.【点睛】本题考查平面直角坐标系中动点问题、二次函数的最值,熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键.【例2】(2023秋·浙江·九年级专题练习)已知二次方程的两根为和5,则对于二次函数,下列叙述正确的是(
)A.当时,函数的最大值是9. B.当时,函数的最大值是9.C.当时,函数的最小值是. D.当时,函数的最小值是.【答案】C【分析】根据二次方程的两根为和5,求出,的值,从而得出函数解析式,再根据函数的性质求最值.【详解】解:二次方程的两根为和5,,解得,二次函数,,当时,有最小值,最小值为,故选:C.【点睛】本题考查抛物线与轴的交点,二次函数的最值,关键是求函数解析式.即学即练1.(2023·江苏南通·统考二模)若实数a,b,c满足,则c的最小值是(
)A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【分析】由得,由得,把代入,再根据二次函数的性质求出最小值即可.【详解】∵,∴.∵,∴.又∵∴当时,c取得最小值,最小值是.故选C.【点睛】本题主要考查了整式的运算和二次函数的性质,根据已知条件,将问题转化为利用二次函数的性质来求最值是解题的关键.2.(2022秋·九年级单元测试)二次函数有最小值,则的值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】把二次函数变成顶点式,根据二次函数的图象性质,得出结论.【详解】二次函数有最小值,故选:A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质,把二次函数的一般式变成顶点式,求二次函数的最值,熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键.★知识点13:根据对称性求最短路径典例分析【例1】(2022春·九年级课时练习)如图,直线yx+3分别与x轴,y轴交于点A、点B,抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C,点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,CE+EF的最小值是()A.4 B.4.6 C.5.2 D.5.6【答案】C【分析】C点关于对称轴对称的点C',过点C'作直线AB的垂线,交对称轴与点E,交直线AB于点F,则C'F即为所求最短距离.【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为,C(0,﹣2),∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2,﹣2),过点C'作直线AB的垂线,交对称轴与点E,交直线AB于点F,∴CE=C'E,则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值;∵直线yx+3,设直线C'F的解析式为,将C'(﹣2,﹣2)代入得:,解得:,∴C'F的解析式为yx,解方程组,得:,∴F(,),∴C'F.故选:C.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质;利用点的对称性,点到直线的垂线段最短,确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键.【例2】(2022秋·广西百色·九年级统考期中)如图,抛物线与轴交于点,与轴的负半轴交于点,点是对称轴上的一个动点,连接,,则的最小值为(
)A.2 B. C. D.【答案】D【分析】设抛物线与轴的另一个交点为,连接,,根据解析式求得的坐标,根据轴对称的性质得出,继而得出取得最小值,最小值为的长,勾股定理即可求解.【详解】解:如图所示,设抛物线与轴的另一个交点为,连接,,∵,令,即,解得:,∴,令,解得,∴,∵点是对称轴上的一个动点,∴,∵∴当三点共线时,取得最小值,最小值为的长,即,故选:D.【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值,掌握二次函数对称性是解题的关键.即学即练1.(2022春·九年级课时练习)如图,在抛物线上有,两点,其横坐标分别为1,2;在轴上有一动点,当最小时,则点的坐标是(
)A.(0.0) B.(0,) C.(0,2) D.(0,)【答案】D【详解】解:如图,点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1,连接A′B与y轴相交于点C,点C即为使AC+BC最短的点,当x=﹣1时,y=﹣1,当x=2时,y=﹣4,所以,点A′(﹣1,﹣1),B(2,﹣4),设直线A′B为当x=0时,y=-2即C(0,-2)故选D【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题,二次函数的性质,熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键.2.(2022春·九年级课时练习)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴分别于点A(﹣3,0),B(1,0),交y轴正半轴于点D,抛物线顶点为C.下列结论①2a﹣b=0;②a+b+c=0;③当m≠﹣1时,a﹣b>am2+bm;④当△ABC是等腰直角三角形时,a=;⑤若D(0,3),则抛物线的对称轴直线x=﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3,其中,正确的个数为()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】D【分析】把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②;根据抛物线的顶点和最值即可判断③;求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标,进而可求得此时a的值,于是可判断④;根据利用对称性求线段和的最小值的方法(将军饮马问题)求解即可判断⑤.【详解】解:把A(﹣3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx+c得到,消去c得到2a﹣b=0,故①②正确;∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,开口向下,∴x=﹣1时,y有最大值,最大值=a﹣b+c,∵m≠﹣1,∴a﹣b+c>am2+bm+c,∴a﹣b>am2+bm,故③正确;当△ABC是等腰直角三角形时,C(﹣1,2),可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2,把(1,0)代入解得a=﹣,故④正确,如图,连接AD交抛物线的对称轴于P,连接PB,则此时△BDP的周长最小,最小值=PD+PB+BD=PD+PA+BD=AD+BD,∵AD==3,BD==,∴△PBD周长最小值为3,故⑤正确.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.★知识点14:二次函数的平移典例分析【例1】(2023秋·浙江·九年级专题练习)抛物线是由抛物线平移得到的,下列平移正确的是()A.向上平移2个单位长度 B.向下平移2个单位长度C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度【答案】D【分析】直接根据抛物线平移法则判断即可.【详解】抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度平移得到的.故选:D【点睛】本题考查了二次函数图象的平移,其规律是:将二次函数解析式转化成顶点式(a,b,c为常数,),“左加右减括号内,上加下减括号外”,熟练掌握这一规律是解答本题的关键.【例2】(2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是,则原抛物线的解析式不可能是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据图象左移加,右移减,图象上移加,下移减,可得答案.【详解】解:A、,先向上平移1个单位得到,再向上平移1个单位可以得到,故此选项不符合题意;B、,右移3个单位,再上移5得到,故此选项符合题意;C、,先向右平移2个单位得到,再向上平移1个单位得到,故此选项不符合题意;D、,先向右平移2个单位得到,再向右平移2个单位得到,故此选项不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数图象平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式,注意由目标函数图象到原函数图象方向正好相反.即学即练1.(2023秋·安徽滁州·九年级校考期末)抛物线经过平移得到,则平移方法是()A.向右平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度【答案】D【分析】先将抛物线解析式化为顶点式,写出顶点坐标,再根据函数图象的平移法则:左平移横坐标加,右平移横坐标减,上平移纵坐标加,下平移纵坐标减,即可得到答案.【详解】解:,的顶点坐标为,向左平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度得到,故选:D.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移,熟练掌握平移的法则是解题的关键.2.(2023秋·新疆和田·九年级统考期末)将抛物线向右平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线是(
)A.B. C. D.【答案】B【分析】根据“左加右减,上加下减”进行解答即可.【详解】解:将抛物线向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得到的抛物线是,即故选:B.【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换,关键是掌握平移的规律:左加右减,上加下减.★知识点15:二次函数的综合典例分析【例1】(2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;(2)点是抛物线的顶点,连接、,求的面积.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点,求得,,代入抛物线解析式即可求解;(2)根据抛物线解析式求得顶点的坐标,勾股定理求得的长,勾股定理的逆定理可得是直角三角形,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)解:∵直线与轴交于点,与轴交于点,当时,;当时,∴,;∵抛物线经过、两点,∴解得:∴抛物线解析式为;(2)解:∵∴,∵,∴,∴,∴是直角三角形,∴.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,化为顶点式,勾股定理以及勾股定理的逆定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.【例2】(2023·全国·九年级假期作业)如图,抛物线与x轴交于点,与y轴交于点.
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标;(2)若P是线段上一动点,过P作y轴的平行线交抛物线于点H,交于点N.设.的面积为S,求S关于t的函数解析式,若S有最大值,请求出S的最大值;若没有,请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为:;顶点坐标为;(2),当时,有最大值,最大值是.【分析】(1)根据待定系数法即可求出抛物线的解析式,把一般式转化为顶点式即得顶点坐标;(2)如图1,先求出点B坐标,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,由,则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示,由即可得到S与t的函数关系式,进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值.【详解】(1)解:将,代入,得,解得:,∴抛物线的解析式为:;∴抛物线的顶点坐标为;(2)解:由,得或,则点,如图,连接、、,
设直线解析式为,代入,,得:,解得:,∴直线的解析式为;∵,∴,,∴,∵,∴当时,有最大值,最大值是.【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识,熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键.即学即练1.(2023·全国·九年级假期作业)如图,已知抛物线的对称轴为直线,且与y轴的交点坐标为,直线l与x轴相交于点C.
(1)求该抛物线的表达式;(2)如图,点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点,过点P作轴,,垂足分别为A,B.设点P的横坐标为m.当四边形为正方形时,求m的值.【答案】(1)(2)0或1【分析】(1)利用待定系数法解答,即可;(2)根据题意可得,再由正方形的性质可得,从而得到关于m的方程,即可求解.【详解】(1)解:根据题意得:,解得:,∴抛物线的解析式为;(2)解:∵直线与x轴相交于点C.∴点,∵轴,,垂足分别为A,B.点P的横坐标为m.∴,∴,,∵四边形为正方形,∴,∴,解得:(舍去)或或(舍去)或,综上所述,m的值为0或1.【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题,涉及了求二次函数的解析式,正方形的性质,利用数形结合思想解答是解题的关键.2.(2023·浙江·九年级假期作业)如图,抛物线经过点,,
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