第02讲 二次函数的图像和性质-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题02二次函数的图像和性质★知识点1：y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 ，  0y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下0 ，  0y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．典例分析【例1】（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．图象关于直线对称 B．抛物线开口向下C．随着的增大而减小 D．图象的顶点为原点【例2】（2022秋·天津宝坻·九年级校考期中）已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数有最大值，则a的值为（）A． B． C． D．02．（2023·全国·九年级假期作业）对于函数，下列说法正确的是（）A．y的值总为正B．图像开口向下C．图像顶点在原点D．y随x的增大而增大★知识点2：y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 ，  cy轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下0 ，  cy轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是（）．A．对称轴为直线B．顶点坐标为C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位得到D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降【例2】（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）对于二次函数，下列说法，不正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而减小C．图象是轴对称图形 D．当时，有最大值即学即练1．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知都在函数图象上，则的大小关系为（

）．A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大★知识点3：y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h ，  0X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．a<0向下h ，  0X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的图像的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【例2】．（2023·浙江·九年级假期作业）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则即学即练1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（

）A．B．C．D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（

）A． B． C． D．★知识点4y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h ，  kX=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．a<0向下h ，  kX=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．【例1】（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）关于抛物线的特征，下列说法错误的是（

）A．开口向上 B．对称轴为直线C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限即学即练1．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值2.（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．★知识点5二次函数y=ax2用配方法可化成：y=ax−h2+k二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．典例分析【例1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数的最值，说法正确的是（

）A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为【例2】（2021·浙江杭州·校考一模）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3即学即练1．（2023·河南驻马店·统考一模）下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（

）A．点在函数图象上 B．开口方向向上C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小2．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数（其中，c为常数），则该函数的图象可能为（

）A．

B．

C．D．

★知识点6:二次函数的图像与各系数的符号关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4ac<0与x轴没有交点典例分析【例1】（2022秋·吉林松原·九年级校联考期中）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A． B． C． D．【例2】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，该函数对称轴为，且经过点下列结论中不正确的是（

）

A．B．函数最大值为C．当时， D．．即学即练1.（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①a，b同号；②当和时，函数值相等；③；④时，．其中正确的个数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·贵州·统考中考真题）已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限★知识点7:一次函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列图象中，当时，函数与的图象是（）A．B．C．D．【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．即学即练1.（2023秋·浙江·九年级专题练习）同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（）A．

B．

C．

D．

★知识点8:反比例函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】（2023·山东东营·统考二模）二次函数（）的图象如图所示，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）A．B． C． D．【例2】（2023·辽宁朝阳·校考一模）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（

）A．B．C．D．即学即练1．（2023·贵州铜仁·校考一模）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．2．（2022秋·新疆昌吉·九年级校考期末）二次函数的图象如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（

）．A．B．C．D．★知识点9:根据图像判断式子的符号常用公式及方法：二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式顶点式交点式韦达定理：若二次函数图象与x轴有两个交点且交点坐标为（，0）和（，0），则，。赋值法：在二次函数中，令，则；令，则；令，则；令，则；利用图象上对应点的位置来判断含有、、的关系式的正确性。典例分析【例1】（2023·全国·九年级专题练习）某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（

）①；②；③；④．

A．个 B．个 C．个 D．个【例2】（2020秋·广东东莞·九年级校联考期中）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④即学即练1（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图所示，点A，B，C是抛物线（为任意实数）上三点，则下列结论：①；②函数最大值大于4；③；其中正确的有（

）

A．②③ B．②③ C．①③ D．①②2（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线，给出下列结论：；；；．其中正确的是（

）A． B． C． D．★知识点10:求对称轴典例分析【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过A，B两点，则它的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定【例2】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）已知二次函数的图像上有两点和，则当时，二次函数的值是（

）A．−1 B．0 C．1 D．2即学即练1.（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为()A．17 B．19 C．21 D．242.（2023·湖南株洲·统考一模）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…0134……6…下列结论正确的是（

）A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而增大C．将抛物线向上平移1个单位后经过原点D．点A的坐标是，点B的坐标是★知识点11:根据对称性求函数值典例分析【例1】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【例2】（2023秋·九年级单元测试）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．即学即练1.（2022春·浙江·九年级校考阶段练习）若点，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（）A． B． C． D．2.（2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…-10123y…105212…则当时，x的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或★知识点12:y=ax典例分析【例1】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．0【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（

）A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．即学即练1.（2023·江苏南通·统考二模）若实数a，b，c满足，则c的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．92.（2022秋·九年级单元测试）二次函数有最小值，则的值为（

）A． B． C． D．★知识点13:根据对称性求最短路径典例分析【例1】（2022春·九年级课时练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【例2】（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．即学即练1.（2022春·九年级课时练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（

）A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）2.（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个★知识点14:二次函数的平移典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移正确的是（）A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度【例2】（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是，则原抛物线的解析式不可能是（

）A． B．C． D．即学即练1.（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）抛物线经过平移得到，则平移方法是（）A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度2.（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（

）A．B． C． D．★知识点15:二次函数的综合典例分析【例1】（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．【例2】（2023·全国·九年级假期作业）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N．设．的面积为S，求S关于t的函数解析式，若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由．即学即练1.（2023·全国·九年级假期作业）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值．2.（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．1．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线，，共有的性质是（

）A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同2．（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）关于二次函数，下列说法错误的是（

）A．顶点坐标为 B．有最大值C．与轴无交点 D．对称轴是直线3．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）对于二次函数，下列说法不正确的是（

）A．图像开口向下 B．图像的对称轴是直线C．函数最大值为0 D．y随x的增大而增大4．（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）抛物线上有三点，分别是；；那这三点中纵坐标的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（

）A．13 B．5 C．11 D．146．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，正方形是边长为6，点从点A出发以的速度沿运动，动点从点A出发以的速度沿向点运动，两点均到达点停止运动．设点的运动时间是，的面积是，则能正确反应关于的函数图象是（

）

A．

B．

C．

D．

7．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）已知、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．8．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（）A． B． C． D．10．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（

）

A．或 B．或C．或或 D．或或11．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时12．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．若是抛物线上两点，则13．（2023·新疆·统考一模）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．14．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图像如图所示，下列四个命题：①；②；③若，是该抛物线上的两点，则；④若，是该抛物线上的两点，则；其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个15．（2023·陕西咸阳·统考二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（

）A． B．2 C． D．116．（2023秋·浙江·九年级专题练习）把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线为（）A． B．C． D．17．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，已知抛物线过点，，其对称轴为．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．①当的面积为15时，求点的坐标；②是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标．18．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）已知抛物线与x轴交于和B（3，0）两点，且与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线顶点M坐标及四边形ABMC的面积；(3)若点P是对称轴上一点，求当△APC周长最短时，求点P的坐标．19．（2023·江西·九年级专题练习）已知二次函数（m为常数）．(1)二次函数的顶点坐标P（_______，______）（用含m的代数式表示）；(2)m取不同的值，可以得到不同的点P，分别用，，，，表示．……P点横坐标…0123…P点纵坐标…0a0…①补全表格；②在图1中描出m取不同值时得到的，，，，各点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．并求曲线的解析式．(3)若和x轴有两个交点，当这两个点与二次函数的顶点P构成等腰直角三角形时，求m的值．20．（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在直线上方的抛物线上时，过点作PE∥x轴交直线于点，作PF∥y轴交直线于点，求的最大值；(3)设为直线上的动点，以为一边且顶点为的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点坐标．

专题02二次函数的图像和性质★知识点1：y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 ，  0y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下0 ，  0y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．典例分析【例1】（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．图象关于直线对称 B．抛物线开口向下C．随着的增大而减小 D．图象的顶点为原点【答案】C【分析】由抛物线解析式可得到开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标是，∴、、选项说法正确，∵，对称轴为，∴当时，随的增大而减小，∴选项说法错误，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．【例2】（2022秋·天津宝坻·九年级校考期中）已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据开口判断a、b、c、d与0的关系，在根据张口的大小关系判断a、b、c、d绝对值的大小即可得到答案．【详解】解：由图像开口方向可得，，，，，根据张口大小可得，，，∴，故选A．【点睛】本题考查抛物线的性质：开口向上，开口向下，的绝对值越大张口越小．【即学即练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数有最大值，则a的值为（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解，再根据二次函数有最大值就说明图象开口向下，，分别解得即可．【详解】解：由二次函数定义可知，解得，∵二次函数有最大值，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的定义及二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）对于函数，下列说法正确的是（）A．y的值总为正B．图像开口向下C．图像顶点在原点D．y随x的增大而增大【答案】C【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标，进而求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，顶点在原点上，，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．★知识点2：y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 ，  cy轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下0 ，  cy轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是（）．A．对称轴为直线B．顶点坐标为C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位得到D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降【答案】D【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．【详解】解：A.二次函数的对称轴为直线，故A选项不符合题意；B.二次函数的顶点坐标，故B选项不符合题意；C.二次函数的图像可以由二次函数的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意；D.二次函数的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意．故答案为：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键．【例2】（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）对于二次函数，下列说法，不正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而减小C．图象是轴对称图形 D．当时，有最大值【答案】B【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A；利用对称性左侧的增减性可判断B；利用二次函数的对称轴可判断C，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D．【详解】解：A、∵二次函数中，，∴此抛物线开口向下，故本选项正确，不符合题意；B、∵抛物线的对称轴，∴当时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；C、二次函数的图象是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意；D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，当时，y有最大值是3，故本选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．即学即练1．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知都在函数图象上，则的大小关系为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出，，的值，然后比较它们的大小．【详解】解：当时，；当时，；当时，，所以．故选：A．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．2．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质依次判断．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．★知识点3：y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h ，  0X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．a<0向下h ，  0X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的图像的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】C【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴．【详解】解：∵，∴抛物线对称轴为直线．故选C．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在中其顶点坐标为．【例2】．（2023·浙江·九年级假期作业）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．【详解】解：如图所示，A．由图象可知，若，当时，，故选项错误，不符合题意；B．由图象可知，若，，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；C．由图象可知，若，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；D．由图象可知，若，当时，，故选项正确，符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．即学即练1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左移减，右移加，上移加，下移减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【详解】解：的顶点坐标为，把点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的解析式是．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：“左移减，右移加，上移加，下移减”是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴符合条件，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线是解题的关键．★知识点4y=ax−h2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h ，  kX=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．a<0向下h ，  kX=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．【例1】（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）关于抛物线的特征，下列说法错误的是（

）A．开口向上 B．对称轴为直线C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，逐项分析判断即可求解．【详解】解：关于抛物线的特征，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，∴A，B，C选项正确，当时，随的增大而减小，故D选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】B【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．【详解】解：由题意得抛物线顶点坐标为，由函数图象得抛物线的顶点在第四象限，∴，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选B．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．即学即练1．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】D【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，∴，∴，∴，∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．2.（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的顶点式解析式的特点即可求解．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，∴抛物线的顶点坐标是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式解析式，对抛物线的顶点坐标的理解是解题的关键．★知识点5二次函数y=ax2用配方法可化成：y=ax−h2+k二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．典例分析【例1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数的最值，说法正确的是（

）A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为【答案】C【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即，再根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：∵二次函数的解析式为，∴，∵，∴有最大值为；故选．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．【例2】（2021·浙江杭州·校考一模）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有三个的k值．【详解】解：函数的图象如图：根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，∴k＝3．故选：D．【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．即学即练1．（2023·河南驻马店·统考一模）下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（

）A．点在函数图象上 B．开口方向向上C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小【答案】D【分析】将代入解析式，得出在函数图象上，即可判断A选项，根据，可得抛物线开口向下，即可判断B选项，根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为，即可判断C，D选项．【详解】解：A．当时，，则点不在函数图象上，故该选项不正确，不符合题意；

B．∵，∴抛物线开口方向向下，故该选项不正确，不符合题意；C．∵的对称轴是直线，故该选项不正确，不符合题意；

D．∵抛物线对称轴为直线，开口向下，则当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数（其中，c为常数），则该函数的图象可能为（

）A．

B．

C．D．

【答案】D【分析】根据，，即可得出抛物线开口向下，对称轴再y轴的左侧，据此可得出答案．【详解】解：∵，，∴抛物线开口向下，对称轴，∴选项A、B、C不符合题意，D符合题意故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．★知识点6:二次函数的图像与各系数的符号关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4ac<0与x轴没有交点典例分析【例1】（2022秋·吉林松原·九年级校联考期中）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断b，c的符号．【详解】∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴，∴，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴当时，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想的运用．【例2】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，该函数对称轴为，且经过点下列结论中不正确的是（

）

A．B．函数最大值为C．当时， D．．【答案】A【分析】根据二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，得到，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断①；二次函数开口向下，对称轴为直线，则当时，函数有最大值，最大值为，由此即可判断②；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，根据函数图象即可判断③；根据当时，，即可判断④．【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵二次函数对称轴为直线，∴，∴，∴，故A结论错误，符合题意；∵二次函数开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数有最大值，最大值为，故B结论正确，不符合题意；∵二次函数经过点，∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为，∴当时，，故C结论正确，不符合题意；∵当时，，∴，故D结论正确，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．即学即练1.（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①a，b同号；②当和时，函数值相等；③；④时，．其中正确的个数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据抛物线开口向上，得到，再由抛物线对称轴为直线，可得当和时，函数值相等，，由此可判断①②；根据当时，，可得，即可判断③；求出当时，，即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，当和时，函数值相等，故②正确；∴，∴a，b异号，故①错误；∵当时，，∴，∴，∴，故③错误；∵抛物线对称轴为直线，当时，，∴当时，，∴时，，故④正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称轴，二次函数与不等式的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．2．（2023·贵州·统考中考真题）已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限．【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，，，，在第四象限，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号．★知识点7:一次函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列图象中，当时，函数与的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别根据四个选项中一次函数和二次函数的图象判断出a和b的正负，然后通过比较求解即可．【详解】解：A、对于直线，得，，与矛盾，所以A选项错误；B、由抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，所以B选项错误；C、由抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，所以C选项错误；D、由抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，由于，则，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质，掌握函数关系式的系数与图像的位置之间的关系是解题的关键．【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题干中的函数图象，可知，然后即可得到函数的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意．【详解】解：由图象得，二次函数图象开口向上，∴二次项系数，一次函数的图象过第一、二、四象限，∴，∴，∴函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答．即学即练1.（2023秋·浙江·九年级专题练习）同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A、由一次函数的图象可得：两个a的符号不一致，故错误；B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；C、由一次函数的图象可得：，由其与y轴的交点可知，矛盾，故错误；D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．2．（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的的符合，即可求解．【详解】解：A.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；B.一次函数中，二次函数中，，符合题意；C.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；D.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．★知识点8:反比例函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】（2023·山东东营·统考二模）二次函数（）的图象如图所示，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，从而可得答案．【详解】解：由二次函数的图象可得：，，，∴一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，∴B，C，D不符合题意，A符合题意；故选A【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．【例2】（2023·辽宁朝阳·校考一模）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先利用二次函数图象得出a，b，c的取值范围，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案．【详解】解：由二次函数开口向上可得：，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则，与y轴的交点在原点下方，则，∴，，，故反比例函数的图象分布在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限．观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b，c的取值范围是解题的关键．即学即练1．（2023·贵州铜仁·校考一模）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项B、C、D都不符合题意，选项A符合题意；②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项A、B、C、D都不符合题意，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．2．（2022秋·新疆昌吉·九年级校考期末）二次函数的图象如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（

）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得、的值，根据、的值，可得相应的函数图象．【详解】解：由的图象开口向下，得．由图象，得对称轴在y轴右侧，则．由不等式的性质，得．，则图象位于二、四象限，，则图象位于一、三象限，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出、的值是解题关键．★知识点9:根据图像判断式子的符号常用公式及方法：二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式顶点式交点式韦达定理：若二次函数图象与x轴有两个交点且交点坐标为（，0）和（，0），则，。赋值法：在二次函数中，令，则；令，则；令，则；令，则；利用图象上对应点的位置来判断含有、、的关系式的正确性。典例分析【例1】（2023·全国·九年级专题练习）某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（

）①；②；③；④．

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①函数的对称轴在轴右侧，则，抛物线与轴交于负半轴，则，则，故①正确；②函数的对称轴为，函数和轴的一个交点是，则另外一个交点为，当时，，故②错误；③函数的对称轴为，即，故③错误；④由②③得，，，故，而抛物线开口向上，则，即，故，故④正确；故选：B．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．【例2】（2020秋·广东东莞·九年级校联考期中）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④【答案】C【分析】由二次函数图象可知，，，即可判断①；由二次函数的对称轴为直线即可判断②；将代入即可判断③；将代入即可判断④．【详解】解：①∵开口向下，∴，∵对称轴为∴，∵二次函数图象与y轴交于正半轴∴∴，故①错误；∵对称轴为∴，即，故②正确；由图象可得，当时，，故③正确；由图象可得，当时，，故④错误．综上所述，正确的有②③．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．即学即练1（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图所示，点A，B，C是抛物线（为任意实数）上三点，则下列结论：①；②函数最大值大于4；③；其中正确的有（

）

A．②③ B．②③ C．①③ D．①②【答案】B【分析】由图可得：抛物线的开口方向向下，当，，即，可判断结论③正确；当与时，函数值不相等，可得抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4，即可得出答案.【详解】解：由图可得：抛物线的开口方向向下，当时，，当，，即，结论③正确；∴当与时，函数值不相等，∴抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4；故结论①错误，②正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质、数形结合是解题的关键.2（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线，给出下列结论：；；；．其中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向和与轴交于正半轴即可判断A，根据抛物线的对称轴即可判断B，根据当时，，即可判断C，由抛物线的交点，设抛物线为，从而得到，即可判断D．【详解】解：二次函数的图象开口向下，，二次函数的图象与轴交于正半轴，，，故①正确，抛物线的对称轴为直线，，，故②错误，由图象可知，当时，，即，故③错误，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线，另一个交点坐标是，设，，，故④正确，综上所述，其中正确的有，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，的符号由抛物线的开口方向决定，的符号由抛物线与轴的交点决定，的符号由对称轴的位置和的符号决定，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．★知识点10:求对称轴典例分析【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过A，B两点，则它的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定【答案】B【分析】根据A、B两点的纵坐标相等即可求解．【详解】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，所以对称轴是直线．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，正确得出A、B两点关于抛物线的对称轴对称是解题关键．【例2】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）已知二次函数的图像上有两点和，则当时，二次函数的值是（

）A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线，也可表示为直线，可得，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．【详解】解：二次函数的图像上有两点和，∴，∴，当时，二次函数．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，图像上的点坐标符合解析式是解题的关键．即学即练1.（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根据对称轴，结合即可求解．【详解】解：设对称轴与交于点．.，．对称轴，．，：：．：：：：．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．2.（2023·湖南株洲·统考一模）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…0134……6…下列结论正确的是（

）A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而增大C．将抛物线向上平移1个单位后经过原点D．点A的坐标是，点B的坐标是【答案】D【分析】利用当和时，，得出抛物线的对称轴是直线，根据表格求得解析式，判断B选项，根据平移的规律得出解析式，判断C选项，再利用时，，结合对称轴，即可得出、点坐标．【详解】解：当和时，，抛物线的对称轴是直线，故A选项错误；抛物线的解析式为将代入，得解得：，抛物线解析式为，时，随增大而减小；时，随增大而增大，故B选项错误；将抛物线向上平移1个单位后的解析式为，当时，，抛物线不经过原点，故C选项错误；对于抛物线，时，，则点，点与点关于抛物线的对称轴对称，点坐标，故D选项正确．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据和时，求出抛物线的对称轴是解题的关键．★知识点11:根据对称性求函数值典例分析【例1】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数的图象过两点，∴二次函数的顶点式为：，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；∵，∴，∴，∴，故错误；∵二次函数的顶点式为：，∴抛物线的对称轴为直线，若，∴解得：，∴当时，和关于对称，∴当时，；当时，，故错误，正确；当时，随的增大而增大，∵，∴，故错误；故选．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【例2】（2023秋·九年级单元测试）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先确定对称轴，根据把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向上，对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可．【详解】解：因为二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，所以对称轴，设点A的对称点为，所以，解得，因为抛物线开口向上，所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为，所以．故选D．【点睛】本题考查了抛物线的开口方向，增减性，对称性，熟练掌握增减性是解题的关键．即学即练1.（2022春·浙江·九年级校考阶段练习）若点，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算各点到对称轴的距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值越大计算判断即可．【详解】∵点，，为二次函数的图像上的三点，∴对称轴为直线，∴点到对称轴直线的距离，点到对称轴直线的距离，点到对称轴直线的距离，∴，∵二次函数开口向上，∴函数值随距离的增大而增大，∴，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数增减性是解题的关键．2.（2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…-10123y…105212…则当时，x的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴以及当y=5时，x的另一个取值；然后根据表格以及二次函数的性质即可求出当时，x的取值范围．【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，当x=0时，y=5；当x=4时，y=5，∴当时，x的取值范围为x<0或x>4故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握二次函数图象的对称性根据表格得出函数的对称轴是关键．★知识点12:y=ax典例分析【例1】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．0【答案】A【分析】根据两点之间的距离公式即可求得的值．【详解】解：根据两点之间的距离公式得：，当时，有最小值，最小值为4．因此当时，最短，故选A．【点睛】本题考查平面直角坐标系中动点问题、二次函数的最值，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（

）A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．【答案】C【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【详解】解：二次方程的两根为和5，，解得，二次函数，，当时，有最小值，最小值为，故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．即学即练1.（2023·江苏南通·统考二模）若实数a，b，c满足，则c的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由得，由得，把代入，再根据二次函数的性质求出最小值即可．【详解】∵，∴．∵，∴．又∵∴当时，c取得最小值，最小值是．故选C．【点睛】本题主要考查了整式的运算和二次函数的性质，根据已知条件，将问题转化为利用二次函数的性质来求最值是解题的关键．2.（2022秋·九年级单元测试）二次函数有最小值，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把二次函数变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】二次函数有最小值,故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．★知识点13:根据对称性求最短路径典例分析【例1】（2022春·九年级课时练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【答案】C【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)，∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE=C'E，则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；∵直线yx+3，设直线C'F的解析式为，将C'(﹣2，﹣2)代入得：，解得：，∴C'F的解析式为yx，解方程组，得：，∴F(，)，∴C'F．故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键．【例2】（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，∵，令，即，解得：，∴,令，解得，∴，∵点是对称轴上的一个动点，∴，∵∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，故选：D．【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．即学即练1.（2022春·九年级课时练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（

）A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）【答案】D【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，当x＝﹣1时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝﹣4，所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），设直线A′B为当x=0时，y=-2即C（0，-2）故选D【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．2.（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；根据抛物线的顶点和最值即可判断③；求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.【详解】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正确，如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，∵AD＝＝3，BD＝＝，∴△PBD周长最小值为3，故⑤正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.★知识点14:二次函数的平移典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移正确的是（）A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度【答案】D【分析】直接根据抛物线平移法则判断即可．【详解】抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度平移得到的.故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．【例2】（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是，则原抛物线的解析式不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据图象左移加，右移减，图象上移加，下移减，可得答案．【详解】解：A、，先向上平移1个单位得到，再向上平移1个单位可以得到，故此选项不符合题意；B、，右移3个单位，再上移5得到，故此选项符合题意；C、，先向右平移2个单位得到，再向上平移1个单位得到，故此选项不符合题意；D、，先向右平移2个单位得到，再向右平移2个单位得到，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式，注意由目标函数图象到原函数图象方向正好相反．即学即练1.（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）抛物线经过平移得到，则平移方法是（）A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度【答案】D【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，写出顶点坐标，再根据函数图象的平移法则：左平移横坐标加，右平移横坐标减，上平移纵坐标加，下平移纵坐标减，即可得到答案．【详解】解：，的顶点坐标为，向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的法则是解题的关键．2.（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根据“左加右减，上加下减”进行解答即可．【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是，即故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．★知识点15:二次函数的综合典例分析【例1】（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，求得，，代入抛物线解析式即可求解；（2）根据抛物线解析式求得顶点的坐标，勾股定理求得的长，勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，当时，；当时，∴，；∵抛物线经过、两点，∴解得：∴抛物线解析式为；（2）解：∵∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【例2】（2023·全国·九年级假期作业）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N．设．的面积为S，求S关于t的函数解析式，若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：；顶点坐标为；(2)，当时，有最大值，最大值是．【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把一般式转化为顶点式即得顶点坐标；（2）如图1，先求出点B坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，由，则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示，由即可得到S与t的函数关系式，进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值．【详解】（1）解：将，代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：由，得或，则点，如图，连接、、，

设直线解析式为，代入，，得：，解得：，∴直线的解析式为；∵，∴，，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值是．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．即学即练1.（2023·全国·九年级假期作业）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值．【答案】(1)(2)0或1【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；（2）根据题意可得，再由正方形的性质可得，从而得到关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵直线与x轴相交于点C．∴点，∵轴，，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m．∴，∴，，∵四边形为正方形，∴，∴，解得：（舍去）或或（舍去）或，综上所述，m的值为0或1．【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．2.（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线经过点，，