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文档简介
二次函数与几何综合题类型一
线段问题满分技法微技能一阶例1如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线第一象限内一动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交直线BC于点Q.例1题图(2)设点P的横坐标为t,则点P的坐标可表示为________________,点Q的坐标可表示为____________,点H的坐标可表示为________;(t,-t2+2t+3)(t,-t+3)(t,0)(1)点A的坐标为__________,点B的坐标为___________,点C的坐标为__________;(-1,0)(3,0)(0,3)例1题图(3)设点P的横坐标为t,用含t的代数式表示下面的距离:①点P到x轴的距离为_____________;②点P到y轴的距离为______________;③点P到对称轴的距离为____________;④点P到原点O的距离为__________________;⑤PQ的长为___________;
⑥点P到直线BC的距离为______________.-t2+2t+3t|t-1|-t2+3t
例1题图满分技法1.与x轴垂直的线段的长:纵坐标相减(上减下);2.与y轴垂直的线段的长:横坐标相减(右减左);3.斜线段时,可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形,利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解.设问突破二阶例2如图,已知二次函数y=-
x2+
x+3的图象与x轴交于A、B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C,对称轴为直线l,顶点为M,连接BC.(1)若点P是抛物线在第一象限内一点,过点P作PQ∥y轴交线段BC于点Q,求线段PQ的最大值;【思维教练】设出点P的横坐标,根据垂直于x轴的直线的坐标特征,表示出PQ的长度,利用二次函数性质求线段PQ的最大值.例2题图①
解:(1)设点P的横坐标为p,则点P的坐标为(p,-
p2+
p+3),∵PQ∥y轴,∴点Q的横坐标与点P相同.在函数y=-
x2+
x+3中,令x=0,得y=3,∴C(0,3).令y=0,得-
x2+
x+3=0,解得x=-2或x=4,∴A(-2,0),B(4,0),例2题图①设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(4,0),C(0,3)代入,
得
解得∴直线BC的解析式为y=-
x+3.∴点Q的坐标为(p,-
p+3),∴PQ=-
p2+
p+3-(-
p+3)=-
p2+
p=-(p-2)2+例2题图①∵-
<0,0<p<4,∴当p=2时,PQ有最大值,此时的最大值为
;例2题图①(2)如解图,连接PC,PB,由(1)知,PQ=-(p-2)2+
,∴S△PCB=
PQ·OB
=×[-(p-2)2+]×4
=-(p-2)2+3,(2)若点P是线段BC上方抛物线上一点,过点P作PH⊥BC于点H,求线段PH的最大值;【思维教练】方法一:利用△PCB的面积求出线段PH的最大值;方法二:利用相似三角形求出线段PH的最大值.例2题解图例2题图②∵-
<0,0<p<4,∴当p=2时,S△PCB最大=3.∵S△PCB=
BC·PH,且BC=
=5,∴×5×PH=3,解得PH=
,∴线段PH的最大值为
;例2题解图(3)若点P是对称轴l上一点,是否存在点P,使得PC+PA最小,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;【思维教练】将军饮马问题,将两定点同侧转化异侧问题,即可作点A关于对称轴l的对称点,恰好与点B重合,直线BC与对称轴l的交点即为要求的点P.例2题图③(3)存在.由(1)知A(-2,0),B(4,0),C(0,3),∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴点A关于对称轴l的对称点的坐标为(4,0),恰好与点B重合,∴直线BC与对称轴的交点即为使得PC+PA最小时点P的位置.由(1)知,直线BC的解析式为y=-
x+3,∴当x=1时,y=
,
∴点P的坐标为(1,);例2题图③(4)要使△BMP的周长最小,由于BM为定值,即使PM+PB最小即可.如解图,作点M关于y轴的对称点M′,连接BM′交y轴与点P,此时点P满足△BMP的周长最小.(4)若点P是y轴上一点,当以B、M、P为顶点的三角形周长最小时,求点P的坐标;【思维教练】将军饮马问题,当△BMP的周长最小时,由于BM是定值,即求PM+BM的最小值.例2题解图例2题图④例2题解图二次函数解析式可化为y=-
(x-1)2+
,∴M(1,
),
∴M′(-1,
).
∵B(4,0),∴设直线BM′的解析式为y=kx+b,将M′(-1,
),B(4,0)代入,例2题解图得
解得
∴直线BM′的解析式为y=-
x+
,当x=0时,y=
,∴此时点P的坐标为(0,).(5)对称轴l上是否存在点P,使点P到直线BC的距离等于点P到点A的距离?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【思维教练】用(2)中的方法表示出点P到直线BC的长,再用勾股定理表示出PA的长,列关系式求解.例2题解图(5)存在.如解图,设直线BC与对称轴l交于点E,过点P作PQ⊥BC于点Q,由(1)知,A(-2,0),直线BC的解析式为y=-
x+3,例2题图⑤由(4)知,M(1,),∴当x=1时,y=-
x+3=
,∴E(1,).由(1)知,A(-2,0),B(4,0),C(0,3),∴CO=3,BO=4,∴BC=5.在Rt△COB中,sin∠OCB=
,例2题解图例2题解图∴sin∠PEQ=设点P的坐标为(1,t),
∴,解得PQ=
∵点P到直线BC的距离等于点P到点A的距离,∴PQ=PA,
∴,解得t=-4.
∴点P的坐标为(1,-4).对接中考已知:抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式;解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点代入抛物线y=ax2+bx+c,
得
解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;(2)如图①,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连接PC、PB、PO,PO交直线BC于点E,设
=k,求当k取最大值时点P的坐标,并求此时k的值;(2)如解图,过点P作PF∥y轴交BC于点F,题图①F设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,3)代入,
得
解得∴直线BC的解析式为y=-x+3.设点P的坐标为(x,-x2+2x+3),则点F的坐标为(x,-x+3),∵PF∥y轴,∴△PFE∽△OCE,
∴
∴
∵-1<0,∴当x=
时,k取得最大值
,此时点P的坐标为(,);题图①F(3)如图②,点Q为抛物线对称轴与x轴的交点,点C关于x轴的对称点为点D.求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值.解图(3)如解图,过点Q作QT⊥BD于点T,则∠BTQ=∠DTQ=90°,∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线对称轴为直线x=1,∴Q(1,0),∴OQ=1,BQ=OB-OQ=3-1=2.∵点C关于x轴的对称点为点D,∴D(0,-3).题图解图∵B(3,0),∴OB=OD=3.∵∠BOD=90°,∴DQ=
,BD=
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