2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型三 特殊三角形存在性问题（课件）

二次函数与几何综合题类型三特殊三角形存在性问题微技能一阶例1如图，已知线段AB和直线l，请在直线l上找一点M，使△ABM是等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点M.(保留作图痕迹，不写作法)例1题图解：画图如解图所示．例1题解图例2如图，已知点A(－3，0)，B(4，0)，C(0，4)，点P是线段BC上一动点，当以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．例2题图解：设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，4)代入，

得

解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.设点P的坐标为(p，－p＋4)，∵以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，∴分两种情况讨论：①当AC＝AP时，AC2＝AP2，即32＋42＝[p－(－3)]2＋(－p＋4)2，解得p＝1(p＝0不合题意，舍去)，∴点P的坐标为(1，3)；②当AC＝PC时，AC2＝PC2，即32＋42＝p2＋[4－(－p＋4)]2，解得p＝(负值已舍去)，

∴点P的坐标为(，)．

综上所述，点P的坐标为(1，3)或(，)．例2题图问题：已知线段AB，在平面内找一点P，使得△ABP为等腰三角形．确定点的位置：(1)以AB为腰：点P在分别以点A、B为圆心，AB长为半径的圆上，AB直线上的点除外；(2)以AB为底：点P在AB的垂直平分线上，AB直线上的点除外．求点P坐标的方法：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP列方程解出坐标．满分技法例3如图，线段AB在直线l上方，请在直线l上找一点P，使△PAB是直角三角形，请在图中画出所有符合要求的点P.(保留作图痕迹，不写作法)例3题图解：画图如解图所示．例3题解图例4如图，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，－3)．在直线x＝1上有一点Q，使△QBC为直角三角形，求点Q的坐标例4题图解：∵点Q在直线x＝1上，∴可设点Q的坐标为(1，t)．∵B(3，0)，C(0，－3)，∴BQ2＝(1－3)2＋t2＝t2＋4，CQ2＝12＋(t＋3)2＝t2＋6t＋10，BC2＝18，当△QBC为直角三角形时，分三种情况讨论：①当∠BQC＝90°时，则有BQ2＋CQ2＝BC2，即t2＋4＋t2＋6t＋10＝18，

解得t＝

或t＝

，

此时点Q的坐标为(1，)或(1，)；

②当∠CBQ＝90°时，则有BC2＋BQ2＝CQ2，即18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，解得t＝2，此时点Q的坐标为(1，2)；例4题图③当∠BCQ＝90°时，则有BC2＋CQ2＝BQ2，即18＋t2＋6t＋10＝t2＋4，解得t＝－4，此时点Q的坐标为(1，－4)．

综上所述，点Q的坐标为(1，)或(1，)，

或(1，2)或(1，－4)．例4题图满分技法问题：已知线段AB，在平面内找一点P，使△ABP为直角三角形．确定点的位置：(1)以A为直角顶点，AB为直角边，点P在过点A与AB垂直的直线上；(2)以B为直角顶点，AB为直角边，点P在过点B与AB垂直的直线上；(3)以点P为直角顶点，AB为斜边，点P在以AB为直径的圆上．求点P坐标的方法：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2，②BP2＝AB2＋AP2，③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标．设问突破二阶例5如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点

C，顶点为点D，连接BC，抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F.一题多设问例5题图①(1)连接AC、CF，判断△CAF的形状，并说明理由；【思维教练】观察题图可知△CAF应该是以AC、FC为腰的等腰三角形，已知CO⊥AF，只需再求得AO＝FO即可轻易得证．解：(1)△CAF是等腰三角形，理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝

＝1，∴点F的坐标为(1，0)．令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∴AO＝OF＝1.∵CO⊥AF，∴CO是线段

AF的垂直平分线，∴CA＝CF，即△CAF是等腰三角形；例5题图①(2)若点P是抛物线上一点，当△BCP是以BC为底的等腰三角形时，求点P的坐标；【思维教练】要使△BCP是以BC为底的等腰三角形，可作BC的垂直平分线，其与抛物线的交点即为所求点P.例5题图②(2)由抛物线的解析式得C(0，3)，由(1)可知B(3，0)，∴BC的中点坐标为(，)，直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵OC＝OB，∴BC的垂直平分线l过原点．又∵直线l过点(，)，∴BC的垂直平分线l的解析式为y＝x，

联立

解得

或∴点P的坐标为(，)或(，)；例5题图②(3)若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在这样点P，使得△BCP是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；【思维教练】要使△BCP是等腰三角形，需分BC＝BP，BC＝CP，BP＝CP三种情况讨论，通常利用勾股定理表示出三边的平方，分三种情况利用三边的平方相等列方程求解．例5题图③(3)存在．设P(1，m)，BC2＝OB2＋OC2＝18，BP2＝(3－1)2＋m2＝4＋m2，CP2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.分三种情况讨论：①当BC＝BP时，BC2＝BP2，即18＝4＋m2，解得m＝±，∴P1(1，)，P2(1，－)；②当BC＝CP时，BC2＝CP2，即18＝m2－6m＋10，解得m＝3±，∴P3(1，3＋)，P4(1，3－)；③当BP＝CP时，BP2＝CP2，即4＋m2＝m2－6m＋10，解得m＝1，例5题图③∴P5(1，1)．综上所述，点P的坐标为(1，)或(1，－)，或(1，3＋)或(1，3－)或(1，1)；例5题图③(4)设P(n，－n2＋2n＋3)，分两种情况讨论：①当∠PCB＝90°时，如解图，过点P作PG⊥y轴于点G，(4)若点P是抛物线上一点，当△BCP是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；【思维教练】要使△BCP是以BC为直角边的直角三角形，需分点B和点C分别为直角顶点两种情况讨论，结合△OBC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解．例5题图④例5题解图例5题解图∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∴∠PCG＝180°－∠BCO－∠BCD＝45°，∴△CPG为等腰直角三角形，∴CG＝PG.∵CG＝OG－OC＝－n2＋2n＋3－3＝－n2＋2n，PG＝n，∴－n2＋2n＝n，解得n1＝0(舍去)，n2＝1，∴P(1，4)；②当∠PBC＝90°时，如解图，过点P作PH⊥x轴于点H，则∠HBP＝90°－∠CBO＝45°，∴△HBP为等腰直角三角形，∴BH＝PH.∵BH＝3－n，PH＝－(－n2＋2n＋3)＝n2－2n－3，∴3－n＝n2－2n－3，解得n1＝3(舍去)，n2＝－2，∴P(－2，－5)．综上所述，点P的坐标为(1，4)或(－2，－5);例5题解图(5)存在．要使△BCP为直角三角形，需分三种情况讨论：①当∠PCB＝90°时，如解图，∵点D为抛物线顶点，(5)若点P在抛物线的对称轴上，是否存在点P使得△BCP是直角三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；【思维教练】分∠PCB＝90°、∠PBC＝90°、∠CPB＝90°三种情况讨论，利用直角三角形的性质求解．例5题图⑤例5题解图∴D(1，4)，∴CD2＝12＋(4－3)2＝2，BD2＝(3－1)2＋42＝20，BC2＝32＋32＝18，∴BC2＋CD2＝BD2，例5题解图∴∠DCB＝90°，∴当点P与点D重合时，∠PCB＝90°，此时点P的坐标为(1，4)；②当∠PBC＝90°时，如解图，∵OB＝OC＝3，∴∠BCO＝45°，∴∠BEP＝∠BCO＝45°，∴BE＝BP.∵EP⊥BF，∴FP＝BF＝OB－OF＝2，∴此时点P的坐标为(1，－2)；例5题解图③当∠CPB＝90°时，如解图，设点P(1，h)，过点C作CM⊥DF于点M，∴M(1，3)，∴∠CPM＋∠BPE＝90°，∠BPE＋∠PBF＝90°，∴∠CPM＝∠PBF.又∵∠CMP＝∠PFB＝90°，∴△CPM∽△PBF，

∴，即

，

例5题解图解得h1＝

，h2＝

，

∴点P的坐标为(1，)或(1，)；

综上所述，点P的坐标为(1，4)或(1，－2)或(1，)或(1，)；(6)设点P是第一象限内抛物线上的动点，点Q是线段BC上一点，是否存在点P使得△PCQ是等腰直角三角形，若存在，求出点P和点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【思维教练】根据等腰直角三角形的性质分三种情况讨论：①∠PCQ＝90°，CP＝CQ；②∠CPQ＝90°，CP＝PQ；③∠CQP＝90°，CQ＝PQ，分别求解即可．例5题图⑥(6)存在．∵△BOC是等腰直角三角形，且∠BOC＝90°，∴∠CBO＝∠BCO＝45°.∵点Q在直线BC上，直线BC解析式为y＝－x＋3，∴设点Q的坐标为(t，－t＋3)．①当∠PCQ＝90°，CP＝CQ时，如解图，∵CD2＝12＋(4－3)2＝2，BD2＝(3－1)2＋42＝20，BC2＝32＋32＝18，∴BC2＋CD2＝BD2，∴CD⊥BC，∴点P与点D重合，即P(1，4)．例5题解图∵∠MCD＝180°－∠BCD－∠BCO＝45°，∠CPQ＝45°.∴∠MCD＝∠CPQ.∴PQ∥y轴，∴点Q与点E重合，当x＝1时，y＝－x＋3＝2，∴Q(1，2)；例5题解图②当∠CPQ＝90°，CP＝PQ时，如解图，∵∠QCP＝∠CBO＝45°，∠PQC＝∠OCB＝45°，∴CP∥x轴，PQ∥y轴．令y＝－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝2，∴P(2，3)．当x＝2时，y＝－x＋3＝1.∴Q(2，1)；例5题解图③当∠CQP＝90°，CQ＝PQ时，如解图，设抛物线的对称轴与CP交于点N.∵∠QCP＝∠CBO＝45°，∴CP∥x轴，∴CN＝PN＝

CP，CE＝PE，∴点Q与点E重合．令y＝－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝2，∴P(2，3)，∴CN＝

CP＝1.例5题解图当x＝1时，y＝－x＋3＝2.∴点Q的坐标为(1，2)．综上所述，满足题意的点P，Q坐标为P(1，4)，Q(1，2)或P(2，3)，Q(2，1)或P(2，3)，Q(1，2)．例5题解图对接中考已知二次函数y＝ax2＋bx－3a经过点A(－1，0)、C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.(1)求此二次函数解析式；(1)解：将点A(－1，0)，C(0，3)代入二次函数y＝ax2＋bx－3a中，

得

解得∴二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；题图(2)连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；题解图(2)证明：由二次函数解析式y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得D点坐标为(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，由A点坐标(－1，0)可得B点的坐标为(3，0)，如解图，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，由题意知，DE＝1，EC＝1，在Rt△DEC中，CD2＝EC2＋DE2＝2，在Rt△COB中，OC＝3，OB＝3，∴BC2＝OC2＋OB2＝18.在Rt△BDF中，BF＝2，DF＝4，∴BD2＝BF2＋DF2＝20.在△BCD中，∵BD2＝BC2＋CD2＝20