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文档简介
二次函数与几何综合题类型三特殊三角形存在性问题微技能一阶例1如图,已知线段AB和直线l,请在直线l上找一点M,使△ABM是等腰三角形,请在图中画出所有符合要求的点M.(保留作图痕迹,不写作法)例1题图解:画图如解图所示.例1题解图例2如图,已知点A(-3,0),B(4,0),C(0,4),点P是线段BC上一动点,当以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形时,求点P的坐标.例2题图解:设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(4,0),C(0,4)代入,
得
解得∴直线BC的解析式为y=-x+4.设点P的坐标为(p,-p+4),∵以A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形,∴分两种情况讨论:①当AC=AP时,AC2=AP2,即32+42=[p-(-3)]2+(-p+4)2,解得p=1(p=0不合题意,舍去),∴点P的坐标为(1,3);②当AC=PC时,AC2=PC2,即32+42=p2+[4-(-p+4)]2,解得p=(负值已舍去),
∴点P的坐标为(,).
综上所述,点P的坐标为(1,3)或(,).例2题图问题:已知线段AB,在平面内找一点P,使得△ABP为等腰三角形.确定点的位置:(1)以AB为腰:点P在分别以点A、B为圆心,AB长为半径的圆上,AB直线上的点除外;(2)以AB为底:点P在AB的垂直平分线上,AB直线上的点除外.求点P坐标的方法:分别表示出点A、B、P的坐标,再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度,由①AB=AP,②AB=BP,③BP=AP列方程解出坐标.满分技法例3如图,线段AB在直线l上方,请在直线l上找一点P,使△PAB是直角三角形,请在图中画出所有符合要求的点P.(保留作图痕迹,不写作法)例3题图解:画图如解图所示.例3题解图例4如图,点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,-3).在直线x=1上有一点Q,使△QBC为直角三角形,求点Q的坐标例4题图解:∵点Q在直线x=1上,∴可设点Q的坐标为(1,t).∵B(3,0),C(0,-3),∴BQ2=(1-3)2+t2=t2+4,CQ2=12+(t+3)2=t2+6t+10,BC2=18,当△QBC为直角三角形时,分三种情况讨论:①当∠BQC=90°时,则有BQ2+CQ2=BC2,即t2+4+t2+6t+10=18,
解得t=
或t=
,
此时点Q的坐标为(1,)或(1,);
②当∠CBQ=90°时,则有BC2+BQ2=CQ2,即18+t2+4=t2+6t+10,解得t=2,此时点Q的坐标为(1,2);例4题图③当∠BCQ=90°时,则有BC2+CQ2=BQ2,即18+t2+6t+10=t2+4,解得t=-4,此时点Q的坐标为(1,-4).
综上所述,点Q的坐标为(1,)或(1,),
或(1,2)或(1,-4).例4题图满分技法问题:已知线段AB,在平面内找一点P,使△ABP为直角三角形.确定点的位置:(1)以A为直角顶点,AB为直角边,点P在过点A与AB垂直的直线上;(2)以B为直角顶点,AB为直角边,点P在过点B与AB垂直的直线上;(3)以点P为直角顶点,AB为斜边,点P在以AB为直径的圆上.求点P坐标的方法:分别表示出点A、B、P的坐标,再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度,由①AB2=BP2+AP2,②BP2=AB2+AP2,③AP2=AB2+BP2列方程解出坐标.设问突破二阶例5如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点
C,顶点为点D,连接BC,抛物线对称轴与直线BC交于点E,与x轴交于点F.一题多设问例5题图①(1)连接AC、CF,判断△CAF的形状,并说明理由;【思维教练】观察题图可知△CAF应该是以AC、FC为腰的等腰三角形,已知CO⊥AF,只需再求得AO=FO即可轻易得证.解:(1)△CAF是等腰三角形,理由如下:∵抛物线的对称轴为直线x=
=1,∴点F的坐标为(1,0).令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),B(3,0),∴AO=OF=1.∵CO⊥AF,∴CO是线段
AF的垂直平分线,∴CA=CF,即△CAF是等腰三角形;例5题图①(2)若点P是抛物线上一点,当△BCP是以BC为底的等腰三角形时,求点P的坐标;【思维教练】要使△BCP是以BC为底的等腰三角形,可作BC的垂直平分线,其与抛物线的交点即为所求点P.例5题图②(2)由抛物线的解析式得C(0,3),由(1)可知B(3,0),∴BC的中点坐标为(,),直线BC的解析式为y=-x+3.∵OC=OB,∴BC的垂直平分线l过原点.又∵直线l过点(,),∴BC的垂直平分线l的解析式为y=x,
联立
解得
或∴点P的坐标为(,)或(,);例5题图②(3)若点P是抛物线对称轴上一点,是否存在这样点P,使得△BCP是等腰三角形,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;【思维教练】要使△BCP是等腰三角形,需分BC=BP,BC=CP,BP=CP三种情况讨论,通常利用勾股定理表示出三边的平方,分三种情况利用三边的平方相等列方程求解.例5题图③(3)存在.设P(1,m),BC2=OB2+OC2=18,BP2=(3-1)2+m2=4+m2,CP2=12+(m-3)2=m2-6m+10.分三种情况讨论:①当BC=BP时,BC2=BP2,即18=4+m2,解得m=±,∴P1(1,),P2(1,-);②当BC=CP时,BC2=CP2,即18=m2-6m+10,解得m=3±,∴P3(1,3+),P4(1,3-);③当BP=CP时,BP2=CP2,即4+m2=m2-6m+10,解得m=1,例5题图③∴P5(1,1).综上所述,点P的坐标为(1,)或(1,-),或(1,3+)或(1,3-)或(1,1);例5题图③(4)设P(n,-n2+2n+3),分两种情况讨论:①当∠PCB=90°时,如解图,过点P作PG⊥y轴于点G,(4)若点P是抛物线上一点,当△BCP是以BC为直角边的直角三角形时,求点P的坐标;【思维教练】要使△BCP是以BC为直角边的直角三角形,需分点B和点C分别为直角顶点两种情况讨论,结合△OBC是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质求解.例5题图④例5题解图例5题解图∵OB=OC,∴∠BCO=∠CBO=45°,∴∠PCG=180°-∠BCO-∠BCD=45°,∴△CPG为等腰直角三角形,∴CG=PG.∵CG=OG-OC=-n2+2n+3-3=-n2+2n,PG=n,∴-n2+2n=n,解得n1=0(舍去),n2=1,∴P(1,4);②当∠PBC=90°时,如解图,过点P作PH⊥x轴于点H,则∠HBP=90°-∠CBO=45°,∴△HBP为等腰直角三角形,∴BH=PH.∵BH=3-n,PH=-(-n2+2n+3)=n2-2n-3,∴3-n=n2-2n-3,解得n1=3(舍去),n2=-2,∴P(-2,-5).综上所述,点P的坐标为(1,4)或(-2,-5);例5题解图(5)存在.要使△BCP为直角三角形,需分三种情况讨论:①当∠PCB=90°时,如解图,∵点D为抛物线顶点,(5)若点P在抛物线的对称轴上,是否存在点P使得△BCP是直角三角形,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;【思维教练】分∠PCB=90°、∠PBC=90°、∠CPB=90°三种情况讨论,利用直角三角形的性质求解.例5题图⑤例5题解图∴D(1,4),∴CD2=12+(4-3)2=2,BD2=(3-1)2+42=20,BC2=32+32=18,∴BC2+CD2=BD2,例5题解图∴∠DCB=90°,∴当点P与点D重合时,∠PCB=90°,此时点P的坐标为(1,4);②当∠PBC=90°时,如解图,∵OB=OC=3,∴∠BCO=45°,∴∠BEP=∠BCO=45°,∴BE=BP.∵EP⊥BF,∴FP=BF=OB-OF=2,∴此时点P的坐标为(1,-2);例5题解图③当∠CPB=90°时,如解图,设点P(1,h),过点C作CM⊥DF于点M,∴M(1,3),∴∠CPM+∠BPE=90°,∠BPE+∠PBF=90°,∴∠CPM=∠PBF.又∵∠CMP=∠PFB=90°,∴△CPM∽△PBF,
∴,即
,
例5题解图解得h1=
,h2=
,
∴点P的坐标为(1,)或(1,);
综上所述,点P的坐标为(1,4)或(1,-2)或(1,)或(1,);(6)设点P是第一象限内抛物线上的动点,点Q是线段BC上一点,是否存在点P使得△PCQ是等腰直角三角形,若存在,求出点P和点Q的坐标,若不存在,请说明理由.【思维教练】根据等腰直角三角形的性质分三种情况讨论:①∠PCQ=90°,CP=CQ;②∠CPQ=90°,CP=PQ;③∠CQP=90°,CQ=PQ,分别求解即可.例5题图⑥(6)存在.∵△BOC是等腰直角三角形,且∠BOC=90°,∴∠CBO=∠BCO=45°.∵点Q在直线BC上,直线BC解析式为y=-x+3,∴设点Q的坐标为(t,-t+3).①当∠PCQ=90°,CP=CQ时,如解图,∵CD2=12+(4-3)2=2,BD2=(3-1)2+42=20,BC2=32+32=18,∴BC2+CD2=BD2,∴CD⊥BC,∴点P与点D重合,即P(1,4).例5题解图∵∠MCD=180°-∠BCD-∠BCO=45°,∠CPQ=45°.∴∠MCD=∠CPQ.∴PQ∥y轴,∴点Q与点E重合,当x=1时,y=-x+3=2,∴Q(1,2);例5题解图②当∠CPQ=90°,CP=PQ时,如解图,∵∠QCP=∠CBO=45°,∠PQC=∠OCB=45°,∴CP∥x轴,PQ∥y轴.令y=-x2+2x+3=3,解得x1=0,x2=2,∴P(2,3).当x=2时,y=-x+3=1.∴Q(2,1);例5题解图③当∠CQP=90°,CQ=PQ时,如解图,设抛物线的对称轴与CP交于点N.∵∠QCP=∠CBO=45°,∴CP∥x轴,∴CN=PN=
CP,CE=PE,∴点Q与点E重合.令y=-x2+2x+3=3,解得x1=0,x2=2,∴P(2,3),∴CN=
CP=1.例5题解图当x=1时,y=-x+3=2.∴点Q的坐标为(1,2).综上所述,满足题意的点P,Q坐标为P(1,4),Q(1,2)或P(2,3),Q(2,1)或P(2,3),Q(1,2).例5题解图对接中考已知二次函数y=ax2+bx-3a经过点A(-1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.(1)求此二次函数解析式;(1)解:将点A(-1,0),C(0,3)代入二次函数y=ax2+bx-3a中,
得
解得∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3;题图(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;题解图(2)证明:由二次函数解析式y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,得D点坐标为(1,4),抛物线的对称轴为直线x=1,由A点坐标(-1,0)可得B点的坐标为(3,0),如解图,过点D作DE⊥y轴于点E,DF⊥x轴于点F,由题意知,DE=1,EC=1,在Rt△DEC中,CD2=EC2+DE2=2,在Rt△COB中,OC=3,OB=3,∴BC2=OC2+OB2=18.在Rt△BDF中,BF=2,DF=4,∴BD2=BF2+DF2=20.在△BCD中,∵BD2=BC2+CD2=20
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