2024高考数学-余弦定理、正弦定理

2024高考数学一余弦定理、正弦定理

目录

1.教学大纲....................................................................2

2.第一课时余弦定理.........................................................2

2.1.［思考发现］...............................................................2

2.2.［系统归纳］...............................................................3

2.3.已知两边及一角解三角形的两种情况.......................................4

2.4.［变式训练］...............................................................4

2.5.已知三角形三边解三角形的方法............................................5

2.6.［变式训练］...............................................................5

2.7.利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项.............................7

2.8.［变式训练］...............................................................7

2.9.测试题..................................................................8

2.9.1.A级——学考合格性考试达标练.......................................8

2.9.2.B级——面向全国卷高考高分练......................................10

2.9.3.C级——拓展探索性题目应用练.......................................12

3.第二课时正弦定理..........................................................13

3.1.［思考发现］.............................................................13

3.2.［系统归纳］.............................................................14

3.3.已知任意两角和一边，解三角形的步骤...................................15

3.4.［变式训练］.............................................................15

3.5.已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法.............................16

3.6.［变式训练］.............................................................16

3.7.判断三角形形状的方法及注意事项.......................................18

3.8.［变式训练］.............................................................18

3.9.利用正、余弦定理解三角形的注意点.....................................19

3.10.［变式训练］............................................................19

3.11.测试题................................................................19

3.11.1.A级——学考合格性考试达标练....................................19

3.11.2.B级——面向全国卷高考高分练....................................22

3.11.3.C级——拓展探索性题目应用练....................................25

4.第三课时余弦定理、正弦定理应用举例.......................................25

4.1.［思考发现］..............................................................25

第1页共39页

4.2.［系统归纳I............................................................................................................................27

4.2.1.运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤...........................27

4.2.2.测量距离的基本类型及方案..........................................28

4.3.［变式训练］..............................................................28

4.4.测量高度问题的解题策略.................................................30

4.5.［变式训练］..............................................................30

4.6.测量角度问题的基本思路.................................................31

4.7.［变式训练］..............................................................31

4.8.测试题..................................................................32

4.8.1.A级——学考合格性考试达标练.....................................32

4.8.2.B级——面向全国卷高考高分练......................................35

4.8.3.C级——拓展探索性题目应用练......................................38

1.教学大纲

新课程标准新学法解读

1借.助向量的运算，探索三角形边长与1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思

角度的关系.路，并在此基础上掌握正、余弦定理的

2掌.握余弦定理、正弦定理.本质.

3.能用余弦定理、正弦定理解决简2.在求解三角形问题时要注意养成

单的实际问题.作图分析的习惯.

2.第一课时余弦定理

2.1.［思考发现］

1.在△A3C中，符合余弦定理的是（）

A.c2=a2-\-b2—2abcosCB.c2=a2—b2—2bccosA

次+/+

C.b2=a2—c2-2feccosAD-cosC=-2ab-

解析：选A由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A.

2.在△A3C中，已知a=9,b=2y［3,C=150°,则c等于（）

A.^39B.8小

第2页共39页

C.1072D.7小

解析：选D由余弦定理得：

C=［92+(2小)2—2X9X2/Xcos150°=寸诟=7/.故选D.

3.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=小，c=2,cos

2

A=y则b=()

A.^2B.小

C.2D.3

21

解析：选D由余弦定理得5=〃+4—2X人X2X§,解得人=3或〃=一§

(舍去).故选D.

4.在△ABC中，若〃2—/+02=必，贝ijcosC=.

212=12222—

解析：Va-c+bab9c=cr-Vb—ab.^*/c=a+Z?2abcosC,；・

2cosC=l.AcosC=g.

答案：I

2.2.［系统归纳］

1.余弦定理与勾股定理的关系

余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特

例.

2.余弦定理的特点

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立,、

(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间

的关系,它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量.

3.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题

(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.

⑵若已知两边和一边的对角,可以用余弦定理解三角形•

——---_------------------------------------

---------------JI■

已知两边及一角解

第3页共39页

三角形

［例1］(1)在△ABC中，已知〃=60cm,c=604cm,A=^,则a=

________cm；

l9

(2)在△ABC中，若AB=小,AC=5,且cosC=正，贝ij3C=.

［解析］(1)由余弦定理得：

a=q602+(6即)2-2X60x6MX遍

=-j4X602-3X602=60(cm).

(2)由余弦定理得：(小)2=52+802—2X5X3。湍，

所以8。2—98。+20=0,解得BC=4或BC=5.

［答案］(1)60(2)4或5

2.3.已知两边及一角解三角形的两种情况

(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次

方程求解.

(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦

定理和三角形内角和定理求其它角.

2.4.［变式训练］

1.在△A3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A

+B)=|.则c=()

A.4B.V15

C.3D.V17

解析：选DcosC=—cos(A+B)=—又由余弦定理得，-2=/+序-2abcos

C=9+4-2X3X2X(—£)=17,所以，=行.故选D.

2.在△ABC中，a=2®,=般+6，8=45。，解这个三角形.

解：根据余弦定理得，b2=a2+c2~2<zccosB=(2^3)2+(^6+^2)2-2X2^/3

第4页共39页

X（V6+V2）Xcos45°=8,

:.b=2也

〃8+（加+也）2-（2小）21

又VCOSA=2bc=2X2V2X（V6+^）=2-

.•.A=60°,C=180°—（A+8）=75°.

已知三边解

"—三角形

［例2］在△ABC中，已知a=2#,b=6+2y［3,c=44,求A,B,C.

〃+廿一/

［解］根据余弦定理，得cosA=-诙一

（6+2S）2+（4小）2-（2加《仍

2（6+24）（4小）~2,

71

,■,AG（0,兀），，A=d，

序+.2——Q&y+（6+2小产―（4小）2

cosC—2ab—2X2#X（6+2市）

=蛆

一2，

7T

'/Ce（o,7i）,・"=［

・八兀兀7

兀c7一兀

..A=%,B=万兀，C=%

2.5.已知三角形三边解三角形的方法

先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦

定理的推论（或由求得的第一个角利用正弦定理）求出第二个角；最后利用三角形

的内角和定理求出第三个角.

2.6.［变式训练］

1.［变条件］己知AABC中，a：b：c=2:#:（小+1）,求AABC中各角的

度数.

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解：已知a：b：c=2:册：(小+1),令a=2Z,b=#k,c=(小+1)Z(A>

0),由余弦定理的推论，得

/72+c2—a2(-\/6)2+(A/3+1)2—22g

COsA=2bc=2XV6X(V3+1)=2,

V0°<A<180°,AA=45°.

/+。2―〃22+（虫+I）—•（加）2j

cosB=2-=2X2X（V3+1）=5'

V0o<B<180°,...8=60°.

二C=180。一A—B=180°-45°-60°=75°.

2.［变条件，变设问］若三角形三边长之比是1：小：2,则其所对角之比是

（）

A.1：2：3B.1：小：2

C.1：正：小D.y/2:小：2

解析：选A设三角形三边长分别为相，小"2,2"?（能>0）,最大角为A,则

一+（小加）2-（2附2

cosA=rz=0,

AA=90°.

设最小角为用则cosi中牛匕金祭

AB=30°,AC=60°.

故三角形三角之比为1：2：3.故选A.

3.［变条件，变设问］在△ABC中，已知/+，=。2+砒，且sinA:sinC=

（V3+1）：2,求角C.

解：Vc^+cr=kr+ac,a2+c2—b2=2accosB.

/.2accosB—ac,cos

V0o<B<180°,

...8=60°,A+C=120°.

..sinA小+1

=(小+

,sinC=22sinAl)sinC.

2sin(120°-C)=(V3+1)sinC.

第6页共39页

.\2sin120°cos。-2cos120°sinC=(小+l)sinC.

sinC=cosC.

AtanC=l.V00<C<180°.

AC=45°.

判断三角形

的形状

[例3]在AABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断△ABC的

形状.

［解］将已知等式变形为

后(1—cos2C)4-c2(l—COS2B)=2Z?CCOSBCOSC.

由余弦定理并整理，得

222

P-C?a+c—b\

、2acJ

层+/一左层+从一，

=2bcX_2ac-~,

[(次+/一C'2)+(a2+c2-/72)]24a4

=4.

4a2一4〃

...4=90。」a43。是直角三角形.

2.7.利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项

(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出

边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.

2.8.［变式训练］

在5c中，acosA+bcosB=ccosC,试判断5c的形状.

〃+〃-a2

解：由余弦定理知cosA=------------

/+/一〃6Z2+/72—C2

cosB=2ca,cosC=2ab

代人已知条件得

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〃+/一层。2+。2一匕2。2一屋一。2

a'-2bc-+b'-2ca―+c-lab—=0'

通分得

。2（〃2+/—。2）+。2（〃2+，—^2）+^（/一/—力2）=0,

展开整理得（/一层）2=c4

a2-Z?2=±c2,即a1=b1+c2或b2=a2+c1.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形.

2.9.测试题

2.9.1.A级——学考合格性考试达标练

1.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=巾，b=3,c

=2,则A=（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

/+/_〃2

解析：选C,:a=巾,b=3,c=2,...由余弦定理得，cosA=—荻一

9+4—71

又由A£（0°,180°）,得A=60。.故选C.

2.在△ABC中，若AB=y[H,BC=3,ZC=120°,则AC=（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A在AABC中，若AB=g,BC=3,ZC=120°,AB2=3（^+

AC2~2ACBCCOSC,可得：13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4（舍去）.故

选A.

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）

3

B-

A.4

7

D-

8

解析：选D设三角形的原边长为a,则周长为5a..•.等腰三角形腰的长为

2a.设顶角为a,由余弦定理，得cosa=(2a宜•故选D-

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4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若一通一>0,则

△ABC()

A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形

心一足―/?"

解析：选C由一丽一〉0得一cosOO,所以cosC<0,从而。为钝角，

因此△A3C一定是钝角三角形.故选C.

5.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2—,2=4,且C

=60°,则"的值为()

AjB.8—4小

C.1D.|

(a+b)2—cr=4,A

解析：选A依题意，,,,,两式相减得以=可.故

a2+/?2—c2=2a/?cos60°=ab,3

选A.

6.在△ABC"中，若a=2,/?+c=7,cosB――不则。=.

解析：由余弦定理得/=4+(7—32-2><2义(7—")><(一；|,解得8=4.

答案:4

7.已知a,b,c为△ABC的三边，5=120°,则层+/+这一扶=.

11

解析：•.♦〃=Q2+C2—2accosB=a+c—2^ccos120°

=a2+(?+^(:,a2+c2+ac—b2=0.

答案：0

8.在△ABC中，若(。-c)m+c)=〃(〃+c),则4=.

解析：:(a—c)(a+c)=b(b+c),

222212

Aa—c=b+bcf即b+c-a=—he.

.Z?2+c2-—be1

・•.cosA=—酝—=^bc=~2-

V0°</l<180o,.,.A=120°.

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答案：120。

9.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求。

解：在△ABC中，-：A+C=2B,A+8+C=180。，

...3=60°.

由余弦定理，得

b2=a1+c1-2accosB=（a+c）2—lac—2accosB

=82-2X15-2X15X1=19.

：.b=\[]9.

10.在△ABC中，已知a—Z?=4,a+c=2b,且最大角为120。，求三边长.

a~b=4,[a=b+4,

解：由上.得,,

[a+c=2b,[c=b—4.

：.a>b>c,：.A=120°,

/.a2=b2+c2—2hccos120°,

即（。+4）2=序+（匕-4）2—2伏/?一4）*（一；），

即/一10b=0,解得b=0（舍去）或b=10.

当/?=10时，a=14,c=6.

2.9.2.B级——面向全国卷高考高分练

1.在△ABC中，AC=2,BC=2啦，ZACB=135°,过点C作CDLAB交

45于点。.则CO=()

A邛

B.6

C.小D.小

5H上I-人，+eAC2+BC2-AB2y/2

解析：选A根据余弦定理cos^ACB=~~亍篙、—=一没，又

Z-/1C-£>CZ

=2,

BC=2也代入公式得AB=2小，再由等积法可得gx2小.CD=92&

X2X乎，解得。。=苓.故选A.

2.锐角△ABC中，b=\,c=2,则a的取值范围是()

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A.l<a<3B.l<a<5

C.-\l3<a<y]5D.不确定

解析：选C若。为最大边，则〃+。2—4〉0,即。2＜5,二加小，若。为

最大边，则/+〃＞/,即序＞3,:.a＞小,故，§＜。＜小.故选C.

3.在△A3C中，$皿弓=方二，则△ABC的形状为（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

1—cosAc~bb序+/一层

2

解析：选’•s;n2^.=--------------=------->cosA=—=zv

B•sm222c,c2bccr+b

=c2,符合勾股定理.故选B.

4.在△ABC中，AB=5,BC=7,AC=8,则AB•8C的值为（）

A.79B.69

C.5D.-5

AB2+BC2-AC252+72-821

解析：选D由余弦定理得：cosZABC=

2ABBC2X5X7T

因为向量与1｝的夹角为180°-ZABC,所以

「cos（180。一NABO=5X7X（—）=-5.故选D.

5.在△ABC中，AB=2,AC=#,BC=1+小，A。为边BC上的高，则

AD的长是.

△…..8（^+AC2-AB2J2V2

斛析：.cosC—2BC-AC=2，**s^nC=?，

：.AD=ACsinC=yf3.

答案：小

6.已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=34c=小，

且cosc=7,则a=,AABC的面积为.

5

-

解析：•；a=36,6，c~=屋+〃一2abcosC,

15

2+-

升6化简得次=9,解得。=3或。=一3（舍）.又CW（O,7t）,

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AsinC=勺1-cos2c贝ISziABc=；a/?sinC=^^.

答案:3呼

7.在AABC中，BC=a,AC=b,a,。是方程x2—2小龙+2=0的两个根,

且2cos(A+3)=1.

(1)求角C的度数;

(2)求A8的长度.

解：(1)COSC=COS[TT—(/+6]=—COS(A+B)=-4，又0。＜。＜180。，所以。

=120°.

(2)因为a,b是方程_?一2小x+2=0的两个根,

a+b=2y[3,

所以《

ab=2.

所以由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSC

=b2+a1-2ahcos120°

=a2+b2+ab=(a+b)2—ab=(2yl3)2—2=10.

所以A8=®・

2.9.3.C级----拓展探索性题目应用练

在△ABC中，a,b,，分别是角A,B,C的对边，且舞!一六.

⑴求8的大小；

(2)若〃=[15,a+c=4,求a的值.

解：(1)由余弦定理得

♦+。2—序♦+/一02

cosB=-2ac-，cosC=-2ab-，

.盾式“标+”一'2abb

..原式化为丁+/—天

2ac2。+。'

整理得a2+c2—b2+ac=0,

.。2+/一02—ac]

==~^=一彳,

••cosB2ac2ac2

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又.・・B=W.

(2)#b=y[13,Q+C=4,3=中，

代入b2=a2-l-c2—2accosB得，

13="+(4—。)2—2。(4—〃)・cos专,

即42—44+3=0.解得〃=1或〃=3.

3.第二课时正弦定理

3.1.［思考发现］

1.有关正弦定理的叙述：

①正弦定理只适用于锐角三角形；

②正弦定理不适用于钝角三角形；

③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值;

④在△A3C中，sinA：sin8：sinC=ahc.

其中正确的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可

知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比

例性质和正弦定理可推知④正确.故选B.

2.在△ABC中，a=15,。=10,A=60。，则sinB=()

BR.亚3

C坐D坐

解析：选A由于看=磊，故卷=焉，

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解得sin3=手.故选A.

3.在△ABC中，a：b：c=\：5：6,则sinA：sin8：sinC等于()

A.1：5：6B.6：5：1

C.6：1：5D.不确定

解析：选A由正弦定理，知sinA：sinB：sinC=a：/?：c=l：5：6.故选

A.

4.在△ABC中，A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有()

A.一解B.两解

C.无解D.无法确定

解析：选A'：b<a,A=30°,.\B<30°,故三角形有一解.故选A.

5.在△ABC中，若8=30。，b=2,则一.

sinA

解析：卷=岛=：=4.

2

答案：4

3.2.［系统归纳］

1.正弦定理的特点

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连笠式」

(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现

三角形中边角关系的互化

2.正弦定理的常见变形

(l)“=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为/\ABC外接圆的半径).

(2)sinA=/，sin8=点，sin。=苏(7?为△ABC外接圆的半径).

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即“AL鼻而A'sinJ?Win

Q.

♦+b+c________a_____b_____£_

⑷sinA+sin3+sinC—sinA-sinB-sinC

(5)asin反三扰］。A2asinC三csinAzOsinC亍csinB.

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关键能力•重点培优课堂讲练设计，举一能通类题

GUANJIANNENGLIZHONGDIANPEIYOU

已知两角及一边解

三角形

［例1］在△ABC中，已知a=8,B=60。，C=75°,求A,c.

［解］A=180。一(8+0=180。一(60°+75°)=45°.

ac-asinC8Xsin75°

2

所以A=45°,c=4(小+1).

3.3.已知任意两角和一边，解三角形的步骤

(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；

(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边.

已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解.

3.4.［变式训练］

已知在△ABC中，c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.

解.••‘一=」一

用牛.’sinAsinC

csinA10Xsin45°广

a=sinC=sin30°=10^2'

B=180°-(A4-O=180o-(45o+30o)=105°.

人5,sinsinC

csinBlOXsin105°

：./?=-77=———=20sin75°

=20X亚要^=5(#+啦).

已知两边及一边的对角解

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三角形

［例2］在△ABC中,已知a=2,c=#,C=?求A，B,b.

2A/6

sinC'•，sinA一近

2

、/2TT7T

解得：sinA=»又•.•々Vc,C=2,

.八，八兀兀5兀

.•3=71—4—。=兀­1一1=夜,

加+啦

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=^~~《1

.Dmsin7?

sinC.71W十L

sin3

3.5.已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边

的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.

(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角,

这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.

3.6.［变式训练］

TT

1.［变条件，变设问］若把本例中。=2改为8=不求A,a,8的值.

TT7TSTT

解：由三角形内角和定理知A=7t—g—［=夜.

ch

又由正弦定理砧=而©

.DV6Xsin?

csinB^——4=

付"sinC.Ji;

sin3

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一si人加Xs喏

a

又由得a=#+1.

sinA-sinC'sinC.7i

sin3

2.在△ABC中，a=l,8=小，A=30°,求边c的长.

解：由嵩=磊，得sin8=Z?sinA

a2.

\'a<b,：.B>A=3Q°,

：.B为60。或120°.

①当8=60°时，C=180°-60°-30°=90°.

此时，c=,屋+/=3+3=2.

②当B=120°时,

C=180°-120°-30°=30°.此时，c=a=l.

综上知c=l或2.

判断三角形

的形状

[例3]在△ABC中，若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin25+sin2。,试判

断△ABC的形状.

ab

［解］法一：根据正弦定理，得不

nAsinBsinC'

「sin2A=sin2B+sin2C,a2=h2+c2,

是直角，B+C=90°,

.'.2sinBcosC=2sinBcos(90°—B)=2sin2B=sinA=1,

；.sinB=*.

V0°<B<90°,.•.8=45°,C=45°,

△ABC是等腰直角三角形.

nhc

法二：根据正弦定理，得无淳=而万=而不

sin2A=sin2B+sin2C,

.\a1=b2+c1,.\A是直角.

VA=180°-(B+C),sinA=2sinScosC,

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/.sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

.\sin(B-C)=0.

又一90°VB-CV90°,：.B~C=Q,：.B=C,

...AABC是等腰直角三角形.

3.7.判断三角形形状的方法及注意事项

(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分

解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现

漏解.

3.8.［变式训练］

在△A3C中，已知3A=24§asinB,且cos3=cosC,角A是锐角，则△A8C

的形状是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

解析：选D由肪=2小asinB,得扁根据正弦定理，得扁=

billij

a

A,所以4=2*",即sinA=噂.又角A是锐角，所以A=60°.又cos3=

sinAsinAJz

cosC,且B,C都为三角形的内角，所以B=C.故△ABC为等边三角形，故选

D.

正、余弦定理的简

单综合

［例4］设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且加inA={5acos

B.

(1)求角8的大小；

(2)若2=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

［解］(l)'.'/?sin/l=-\/3acosB,

由正弦定理得sinBsinA=，§sinAcosB.

在△ABC中，sinAWO,

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即得tanB=全

(2)VsinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

由余弦定理/?2=«2+c2—2accosB,

兀

即9=a2+4tz2—2tz-2izcos亨

解得.*.c=2a=2，5.

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3.9.利用正'余弦定理解三角形的注意点

正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个

定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对

角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.

3.10.［变式训练］

(2019・山东临沂高二检测)/\48。的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,

asinA+csinC—也asinC=/?sinB.

(1)求角B的大小；

(2)若A=75°,h=2,求a,c.

解：(1)由正弦定理得屋+c2—&qc=〃.

由余弦定理得/=/+，-2accosB.

故cos3=乎，因此8=45°.

(2)sinA=sin(30°+45°)

•^2+A/6

=sin30°cos450+cos30°sin45°=^~~4丫.

故由正弦定理得然V=1+小.

由已知得，C=180o-45°-75o=60°,

sinC-、，sin60°r-

C=b'^B=2X^¥=^-

3.11.测试题

3.11.1.A级——学考合格性考试达标练

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1.在△ABC中，a=5,b=3,则sinA：sin8的值是（）

53

A-3B5

C.,D,^

解析：选A根据正弦定理得需=*=|.故选A.

2.在△ABC中，a=bsinA,则△ABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

解析：选B由题意有S:A=「=sinB'则sin8=1,

即角8为直南，故△A3C是直角三角形.故选B.

3.在△ABC中，若a=2,。=25，A=30。，则8为（）

A.60°B.60°或120°

C.30°D.30。或150°

解析：选B由正弦定理可知瘾=磊，.入皿^二如乎二二三二半，

VBG（0°,180°）,.•.8=60°或120°.故选B.

4.已知△ABC中，。=4小，c=2,C=30。，那么此三角形（）

A.有一解B.有两解

C.无解D.解的个数不确定

解析：选C由正弦定理和已知条件得照=瓷市，，sin8=5>1,...

此三角形无解.故选C.

5.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，C=?c=y[2,

a=x,若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是（）

,1B.（卷2）

C.（1,2）D.（1,的

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解析：选B在△ABC中，根据正弦定理扁'=焉即焉=C，所以siiM

0I1I2XS111.7L

哂

=；x,由题意可得，当AG（；,牛）时，满足条件的△ABC有两个，所以乎<5<1,

解得也<x<2.则x的取值范围是（啦，2）.故选B.

6.在△ABC中，若BC=小，sinC=2sinA,则48=.

解析：由正弦定理，得*BC=2BC=2小.

答案：2小

7.在△ABC中，若A=105。，C=30°,b=l,则c=.

I•

解析：由题意，知8=180。-105°—30°=45°.由正弦定理，得c=空%=

sinD

IXsin30°V2

sin45。=2,

冬变.

木：2

8.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角所对的边，若。=1,b=小，A

+C=2B,则sinA=.

jr

解析：'：A+C=2B,A+B+C=