2018-2019数学苏教版必修2 第2章2

第页[学业水平训练]1.已知圆C:x2＋y2－2x＋2y－3＝0,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为________.解析:由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得,(x－1)2＋(y＋1)2＝5,所以圆心C(1,－1).设B(x0,y0),又A(0,1),由中点坐标公式得

,解得

,所以点B的坐标为(2,－3).答案:(2,－3)2.过点P(1,2)的直线l平分圆C：x2＋y2＋4x＋6y＋1＝0的周长,则直线l的斜率为________.解析：过点P(1,2)的直线l平分圆C的周长,则直线l过圆心(－2,－3),则直线l的斜率为k＝

＝

.答案:

3.点M,N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上,且点M,N关于直线x－y＋1＝0对称,则该圆的面积是________.解析：将x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化为(x＋

)2＋(y＋1)2＝5＋

,故圆心坐标是(－

,－1),由题意知,直线x－y＋1＝0过圆心,故－

＋1＋1＝0,解得k＝4,此时圆的半径为3,圆的面积是9π.答案:9π4.点A(1,0)在圆x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上,则a的值为________.解析:∵点A在圆上,∴a应满足的条件为

,即

,解得

,∴a＝－2.答案:－25.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,那么当圆面积最大时,圆心的坐标是________.解析：将x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为(x＋

)2＋(y＋1)2＝1－

k2,可知当k＝0时,圆的半径最大,即圆面积最大,此时圆心坐标是(0,－1).答案:(0,－1)6.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________.解析:点(3,5)在圆内,最长弦AC即为该圆直径,∴AC＝10,最短弦BD⊥AC,∴BD＝4

,S四边形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝20eq\r(6).答案:20

7.试判断A(1,2),B(0,1),C(7,－6),D(4,3)四点是否在同一个圆上.解:线段AB,BC的斜率分别是kAB＝1,kBC＝－1,得kAB≠kBC,则A,B,C三点不共线,设过A,B,C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A,B,C三点在此圆上,所以

,解得

,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2＋y2－8x＋4y－5＝0,将D点坐标(4,3)代入方程,得42＋32－8×4＋4×3－5＝0,即点D在此圆上,故A,B,C,D四点在同一个圆上.8.一圆经过A(4,2)和B(－1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程.解:设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0),令y＝0,得x2＋Dx＋F＝0,所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.同理圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E,由题意知－D－E＝2.①又A,B在圆上,所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0,②1＋9－D＋3E＋F＝0,③由①②③联立方程组解得D＝－2,E＝0,F＝－12.所以,所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.[高考水平训练]1.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点,PA是圆的切线且PA＝1,则P点的坐标(x,y)满足的方程是________.解析：由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为

,所以点P在以(1,0)为圆心,以

为半径的圆上,所以点P的坐标(x,y)满足的方程是(x－1)2＋y2＝2.答案:(x－1)2＋y2＝22.已知圆C:(x－3)2＋(y－4)2＝1,点A(0,－1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d＝PA2＋PB2,则d的最大值及最小值分别为________、________.解析：如图,设P点坐标为(x0,y0),∴d＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2＝2PO2＋2.问题转化为求P点到原点O距离的最值,∵O在圆外,∴OPmax＝CO＋1＝5＋1＝6,POmin＝CO－1＝5－1＝4.∴dmax＝2×62＋2＝74,dmin＝2×42＋2＝34.答案:74343.已知曲线C:(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0,(1)当a取何值时,方程表示圆；(2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值.解:(1)当a＝－1时,方程为x＋2y＝0,表示一条直线；当a≠－1时,

2＋

2＝

表示圆．(2)证明:方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.对于a取任何值,上式成立,则有

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5)，))∴C过定点A(0,0),B

.(3)由(2)曲线C过定点A.B,在这些圆中,当以AB为直径时,圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆,AB为弦,直径大于AB的长,圆的面积也大),从而得以AB为直径圆的方程:

2＋

2＝

,∴

＝

,

＝

,

＝

,解得a＝eq\f(1,4).4.在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.解:(1)令x＝0,得抛物线与y轴的交点是(0,b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0,由题意知b≠0且Δ＞0,解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,令y＝0得x2＋Dx＋F＝0,这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程,故D＝2,F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋b＝0,此方程有一个根为b,代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点,证明如下:假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0与b无关),将该点代入圆C的方程,并变形为x

＋y

＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0(*),为使(*)式对所有满足b＜1且b≠0的b都成立,只需1－y0