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文档简介
初中数学竞赛题
篇一:历年初中数学竞赛试题精选
初中数学竞赛专项训练
1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全
相同,顺序也相同,由此六位数可以被()整除。A.111
B.1000
C.1001
D.1111
解:依题意设六位数为abcabc,则abcabc=axl05+b><104
+cxl03+axl02+bxl0+c=axl02(103+1)+bxl0(103
+1)+c(103+1)=(axl03+bxl0+c)(103+1)=1001
(axl03+bxl0+c),而axl03+bxl0+c是整数,所以能被
1001整除。故选C方法二:代入法
2、若S?
1
111
????198019812001
,则S的整数部分是____________________
解:因1981、1982??2001均大于1980,所以S?
122?
1980
*
1980
?90,又1980、22
1981??2000均小于2001,所以S?
122?
12001
200121
?90,从而知S的整数2222
部分为90o
3、设有编号为1、2、3??100的100盏电灯,各有接线开
关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,
第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接
着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n
个(n<100)学生进来,凡号码是n的倍数的开关拉一下,
如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯
上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。
解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几
次,由于一开始电灯是关的,
所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方
数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、
62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进
价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售
价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是()A.
m(l+a%)(l-b%)元B.ma%(l-b%)元C.m(l+a%)b%元
D.m(l+a%b%)元
解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(l+a%)元,
因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣
的零售价为m(1+a%)b%元。应选C
5、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么a?b?c?abc
的所有可能的
|a||b||c||abc值为A.0B.1或-1C.2或-2
解:由已知,a,b,c为两正一负或两负一正。①当a,
b,c为两正一负时:
D.0或-2
()
abcabcabcabc???l??l所以????0;|a||b||c||abc||a||b||c||abc|
②当a,b,c为两负一正时:
abcabcabcabc
????!?!所以????0|a||b||c||abc||a||b||c||abc|
由①②知应选A
6、在aABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若
ZB=60°,则值为A.1
2
abcabc
???所有可能的值为Oo|a||b||c||abc|
B.D.
22
ca
的?
a?bc?b
()
C.1
2
解:过A点作ADJ_CD于D,在RtABDA中,则于NB
=60°,所以DB=
C
Co,AD=
22
在RtaADC中,DC2=AC2—AD2,所以有(a一
C2232
)=b-C,整理得a2+c2=b224
cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc
+ac,从而有????1
a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b2
应选C
7、设aVbVO,a2+b2=4ab,贝!JA.
a?b
的值为a?b
C.2
D.3
()
3
B.
6
解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<O,得
a?b??ab,a?b??2ab,故
a?b
?3oa?b
应选A
8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+
2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()A.0B.
1C.2D.3
1解:?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],
2
又a?b??Lb?c??l,c?a?2
?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?3
2
a2b2c2
9、已知ab#O,且a+b+c=O,则代数式的值是??
bccaab
A.3B.2C.1D.0
()
解:原式?
?(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c
??bcacabaabbcc
??(?)?(?)?(?)
bcacababc
••••7
abc
10、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,
为了不亏损成本,售价的折扣(即
降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为
解:设该商品的成本为a,则有a(l+p%)(l-d%)=a,
解得d?
11、已知实数z>y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则
x+2y+3z=_______________
解:由已知条件知(x+1)+y=6,(x+l)-y=z2+9,所以
x+1,y是t2-6t+z2+9=0的两个实根,方程有实数解,
则4=(-6)2-4(z2+9)=-4z2>0,从而知z=0,解方
程得x+l=3,y=3o所以x+2y+3z=8
12.气象爱好者孔宗明同学在x(x为正整数)天中观察到:
①有7个是雨天;②有5个下午是晴天;③有6个上午是晴
天;④当下午下雨时上午是晴天。则x等于()A.7B.
8C.9D.10
选C。设全天下雨a天,上午晴下午雨b天,上午雨下午
晴c天,全天晴d天。由题可得关系式a=0①,b+d=6②,
c+d=5③,a+b+c=7④,②+③一④得2d-a=4,即d=2,故
b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。
13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇,其速度依次为
每小时vl、v2>v3>v4千米,且满足vl>v2>v3>v4>0,
其中,v水为河流的水流速度(千米/小时),它们在河流中
进行追逐赛规则如下:(1)四条艇在同一起跑线上,同时出
发,①、②、③是逆流而上,④号艇顺流而下。(2)经过1
小时,①、②、③同时掉头,追赶④号艇,谁先追上④号艇
谁为冠军,问冠军为几号?
1小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为Si?[(vi?v
水)?(v水?v4)]?l?vi?v4各艇追上④号艇的时间为ti?
100p
100?p
vi?v4v?v42v4
?i?l?
(vi?v水)?(v水?v4)vi?v4vi?v4
对vl>v2>v3>v4有tl?t2?t3,即①号艇追上④号艇用
的时间最小,①号是冠
军。
14.有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,
用12台水泵需5小时,用10台水泵需7小时,若要在2小
时内抽干,至少需水泵几台?解:设开始抽水时满池水的
量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水泵每小时抽水量为z,
2小时抽干满池水需n台水泵,则
?x?5y?5?12z①
9*
?x?7y?7?10z②
?x?2y?2nz③?
由①②得?n?22
?x=35z
,代入③得:35z?10z?2nz
?y?5z
,故n的最小整数值为23。2
答:要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台
15.某宾馆一层客房比二层客房少5间,某旅游团48人,
若全安排在第一层,每间4人,房间不够,每间5人,则有
房间住不满;若全安排在第二层,每3人,房间不够,每间
住4人,则有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间?
解:设第一层有客房x间,则第二层有(x?5)间,由题可
得
?4x?48?5x①?
3(x?5)?48?4(x?5)②?
由①得:?
?4x?483
,即9?x?12
5?48?5x
?3(x?5)?48
由②得:?,即7?x?ll
48?4(x?5)?
・•・原不等式组的解集为9
3
?x?ll5
・•・整数x的值为x?10o答:一层有客房10间。
16、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做10个零
件,这样8个人一天做的零件超过200个,后来改进技术,
每人一天又多做27个零件,这样他们4个人一天所做零件
就
篇二:2016年全国初中数学联合竞赛试题(含答案)
2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3月20日上午8:30-9:30)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
(本题共有6个小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四
个答案,其中有且仅有一个是正
确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题
选对得7分;不选、选错或选
出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得
0分.)
1.用?X?表示不超过X的最大整数,把X??X?称为X的小数
部分.
已知t?
的小数部分,b是?t的小数部分,贝U,a是tu??()2ba
A.IB
.C.ID
.22
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计
划恰好用500元购买上述图书
30本,那么不同的购书方案有()
A.9种B.10种C.11种D.12种
3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方
差,则称这个正整数为“和谐数”.
如:2?13?(?1)3,26?33?13,2和26均为“和谐数”.那么,不
超过2016的正整数中,
所有的“和谐数”之和为()
A.6858B.6860C.9260D.9262
3(B).已知二次函数y?ax?bx?l(a?0)的图象的顶点在第二
象限,且过点(1,0).当2
a?b为整数时,ab?()
13A.0B.C.?D.?244
4.已知?O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接
AO并延长交?O于点E,若
AB?8,CD?2,贝!!?BCE的面积为()
A.12B.15C.16D.18
05.如图,在四边形ABCD中,?BAC??BDC?
90,AB?AC?CD?1,对角
线的交点为M,则DM?()
A.
B
.23
1D.22C.
2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第1页
6.设实数x,y,z满足x?y?z?l,则M?xy?2yz?3xz的最大值为
()
A.123B.C.D.1234
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
(x?0)的图象(本题共有4个小题,要求直接将答案写在
横线上.)1.11(A)、2(B)]已知?ABC的顶点A、C
在反比例函数y?
00上,?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴,点B在点A的上方,
且AB?6,则点C的坐
标为.
1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰
好把?
BAC三等分,
AD?贝!|AM?2(A).在四边形ABCD中,BC〃AD,CA平
分?BCD,O为对角线的交点,
CD?AO,BC?OD,贝!J?ABC?3.13(A)、4(B)]有位学生忘
记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰
好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是.
3(B).若质数p、q满足:3q?p?4?0,p?q?Ul,贝1pq的最大
值为.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数
填入一个5行5列的表格内(每
格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不
超过2.考虑每列中各数之和,设这
5个和的最小值为M,则M的最大值为
第一试
(3月20日上午9:50—11:20)
一、(本题满分20分)
已知a,b为正整数,求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整
数值.
2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第2页22
二、(本题满分25分)
(A).如图,点C在以AB为直径的?O上,CD?AB于点D,
点E在BD上,AE?AC,
四边形DEFM是正方形,AM的延长线与?O交于点N.
证明:FN?DE.
(B).已知:a?b?c?5,a2?b2?c2?15,a?b?c?47.
求(a2?ab?b2)(b2?bc?c2)(c2?ca?a2)的值.
2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第3页
333
三、(本题满分25分)
(A).已知正实数x,y,z满足:xy?yz?zx?l,且
(x2?l)(y2?l)(y2?l)(z2?l)(z2?l)(x2?l)???4.xyyzzx
(1)求111??的值.xyyzzx
(2)证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx).
(B).如图,在等腰?ABC中
,AB?AC?D为BC边上异于中点的点,点C关于直线AD
的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F,求
AD?AF的值.
2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第4页
篇三:初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯"2007年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下
每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有
且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的
括号里.不填、多填或错填得零分)
??x?y?12,l.方程组?的解的个数为().
??x?y?6
(A)1(B)2(C)3(D)4
答:(A).
??x?y?12,解:若x>0,贝!]?于是y?y??6,显然不可
能.x?y?6,?????x?y?12,若x?0,贝!)?x?y?6,??
于是y?y?18,解得y?9,进而求得x??3.
?x??3,所以,原方程组的解为?只有1个解.
?y?9,
故选(A).
2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6
个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8
个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种
数是().
(A)14(B)16(C)18(D)20答:(B).
解:用枚举法:
红球个数白球个数黑球个数种数52,3,4,53,2,1,
0443,4,5,63,2,1,0434,5,6,73,2,1,0425,
6,7,83,2,1,04
所以,共16种.
故选(B).
3.已知aABC为锐角三角形,。。经过点B,C,且与
边AB,AC分别相交于点D,E.若。O的半径与4ADE
的外接圆的半径相等,则。。一定经过
△ABC的().
(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心
答:(B).
解:如图,连接BE,因为aABC为锐角三角形,所以
?BAC,?ABE均为锐角.又因为。O的半径与4ADE的
外
接圆的半径相等,且DE为两圆的公共弦,所以
?BAC??ABE.于是,?BEC??BAC??ABE?2?BAC.
若4ABC的外心为O1,贝!)?BOC2BAC1??
一定过△ABC的外心.
故选(B).
4.已知三个关于x的一元二次方程,所以,。0
ax2?bx?c?0,bx2?cx?a?0,cx2?ax?b?0a2b2c2
恰有一个公共实数根,则??的值为().bccaab
(A)0(B)1(C)2(D)3
答:(D).
解:设xO是它们的一个公共实数根,则
ax0?bx0?c?0,bx0?cx0?a?0,cx0?ax0?b?0.
把上面三个式子相加,并整理得
2(a?b?c)(x0?x0?l)?0.222
132?x0?l?(x0?)2??0,所以a?b?c?O.因为x024
于是
a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3
????bccaababcabc
??3ab(a?b)?3.abc
故选(D).
5.方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解(x,y)的个数是().
(A)0(B)1(C)3(D)无穷多
答:(A)
解:原方程可化为
x(x?l)(x?2)?(3x2?x)?y(y?l)(y?l)?2,
因为三个连续整数的乘积是3的倍数,所以上式左边是3
的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的.所以,原方程
无整数解.
故选(A).
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.如图,在直角三角形ABC中,?ACB?90?,CA=4.点
P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB分
成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是.
答:4.
解:如图,设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O
的对称
点记为点E,线段BP把图形APCB分成两部分,这两部
分面积之
差的绝对值是aBEP的面积,即aBOP面积的两倍.而
11S?BPO?PO?CO??2?2?2.22
因此,这两部分面积之差的绝对值是4.
7.如图,点A,C
都在函数y?
x?0)的图象上,点B,D都在x轴上,且使得△OAB,△
BCD都是等边三角形,则点D的坐标
为.
答:
(0).
解:如图,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别
为E,F.设OE=a,BF=b,则AE
,CF
9
所以,点A,C的坐标为
(a
),(2a+b
),
2a?所以
(2a?b)?解得
??a????b?因此,点D
的坐标为(0).
8.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次
函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB恰有一个交点,则a
的取值范围是.
1答:?l<a??,
或者a?3?2
解:分两种情况:
(I)因为二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB只
有一个交点,且点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),
所以
?1
1得?l?a??.22?(a?3)?l?3?22?(a?3)?2?3?0,???
由12?(a?3)?l?3?0,得a??L此时xl?Lx2?3,符合题
意;
31由22?(a?3)?2?3?0,得a??,此时xl?2,x2?,不符合
题意.22
(II)
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