初中数学竞赛题

初中数学竞赛题

篇一：历年初中数学竞赛试题精选

初中数学竞赛专项训练

1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全

相同，顺序也相同，由此六位数可以被()整除。A.111

B.1000

C.1001

D.1111

解:依题意设六位数为abcabc,则abcabc=axl05+b><104

+cxl03+axl02+bxl0+c=axl02(103+1)+bxl0(103

+1)+c(103+1)=(axl03+bxl0+c)(103+1)=1001

(axl03+bxl0+c),而axl03+bxl0+c是整数,所以能被

1001整除。故选C方法二：代入法

2、若S?

1

111

????198019812001

，则S的整数部分是____________________

解：因1981、1982??2001均大于1980,所以S?

122?

1980

*

1980

?90,又1980、22

1981??2000均小于2001,所以S?

122?

12001

200121

?90,从而知S的整数2222

部分为90o

3、设有编号为1、2、3??100的100盏电灯，各有接线开

关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，

第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接

着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n

个(n<100)学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，

如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯

上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几

次，由于一开始电灯是关的，

所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方

数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、

62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进

价高a%,后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售

价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是()A.

m(l+a%)(l-b%)元B.ma%(l-b%)元C.m(l+a%)b%元

D.m(l+a%b%)元

解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m(l+a%)元,

因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣

的零售价为m(1+a%)b%元。应选C

5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0,那么a?b?c?abc

的所有可能的

|a||b||c||abc值为A.0B.1或-1C.2或-2

解：由已知，a,b,c为两正一负或两负一正。①当a,

b,c为两正一负时：

D.0或-2

()

abcabcabcabc???l??l所以？？？?0；|a||b||c||abc||a||b||c||abc|

②当a,b,c为两负一正时：

abcabcabcabc

????!?!所以？???0|a||b||c||abc||a||b||c||abc|

由①②知应选A

6、在aABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若

ZB=60°,则值为A.1

2

abcabc

???所有可能的值为Oo|a||b||c||abc|

B.D.

22

ca

的？

a?bc?b

()

C.1

2

解：过A点作ADJ_CD于D,在RtABDA中，则于NB

=60°,所以DB=

C

Co,AD=

22

在RtaADC中，DC2=AC2—AD2,所以有(a一

C2232

)=b-C,整理得a2+c2=b224

cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc

+ac,从而有？？？？1

a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b2

应选C

7、设aVbVO,a2+b2=4ab,贝!JA.

a?b

的值为a?b

C.2

D.3

()

3

B.

6

解：因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<O,得

a?b??ab,a?b??2ab,故

a?b

?3oa?b

应选A

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+

2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()A.0B.

1C.2D.3

1解：?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],

2

又a?b??Lb?c??l,c?a?2

?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?3

2

a2b2c2

9、已知ab#O,且a+b+c=O,则代数式的值是？？

bccaab

A.3B.2C.1D.0

()

解：原式？

?(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c

??bcacabaabbcc

??(?)?(?)?(?)

bcacababc

••••7

abc

10、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,

为了不亏损成本，售价的折扣(即

降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为

解：设该商品的成本为a,则有a(l+p%)(l-d%)=a,

解得d?

11、已知实数z>y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则

x+2y+3z=_______________

解：由已知条件知（x+1）+y=6,（x+l）-y=z2+9,所以

x+1,y是t2-6t+z2+9=0的两个实根，方程有实数解，

则4=（-6）2-4（z2+9）=-4z2>0,从而知z=0,解方

程得x+l=3,y=3o所以x+2y+3z=8

12.气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到:

①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴

天;④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（）A.7B.

8C.9D.10

选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午

晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，

c+d=5③，a+b+c=7④，②+③一④得2d-a=4,即d=2,故

b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为

每小时vl、v2>v3>v4千米，且满足vl>v2>v3>v4>0,

其中，v水为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中

进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出

发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1

小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇

谁为冠军，问冠军为几号？

1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为Si?［（vi?v

水）？（v水？v4）］?l?vi?v4各艇追上④号艇的时间为ti?

100p

100?p

vi?v4v?v42v4

?i?l?

（vi?v水）?（v水?v4）vi?v4vi?v4

对vl>v2>v3>v4有tl?t2?t3,即①号艇追上④号艇用

的时间最小，①号是冠

军。

14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，

用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小

时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的

量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水泵每小时抽水量为z,

2小时抽干满池水需n台水泵，则

?x?5y?5?12z①

9*

?x?7y?7?10z②

?x?2y?2nz③?

由①②得？n?22

?x=35z

,代入③得：35z?10z?2nz

?y?5z

,故n的最小整数值为23。2

答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台

15.某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，

若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有

房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间

住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？

解：设第一层有客房x间，则第二层有(x?5)间，由题可

得

?4x?48?5x①？

3(x?5)?48?4(x?5)②？

由①得：？

?4x?483

,即9?x?12

5?48?5x

?3(x?5)?48

由②得:?,即7?x?ll

48?4(x?5)?

・•・原不等式组的解集为9

3

?x?ll5

・•・整数x的值为x?10o答：一层有客房10间。

16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零

件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，

每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件

就

篇二：2016年全国初中数学联合竞赛试题（含答案）

2016年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

（3月20日上午8:30-9:30）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

（本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四

个答案，其中有且仅有一个是正

确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题

选对得7分；不选、选错或选

出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得

0分.）

1.用?X?表示不超过X的最大整数，把X??X?称为X的小数

部分.

已知t?

的小数部分，b是?t的小数部分，贝U,a是tu??（）2ba

A.IB

.C.ID

.22

2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计

划恰好用500元购买上述图书

30本，那么不同的购书方案有()

A.9种B.10种C.11种D.12种

3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方

差，则称这个正整数为“和谐数”.

如：2?13?(?1)3,26?33?13,2和26均为“和谐数”.那么，不

超过2016的正整数中，

所有的“和谐数”之和为()

A.6858B.6860C.9260D.9262

3(B).已知二次函数y?ax?bx?l(a?0)的图象的顶点在第二

象限，且过点(1,0).当2

a?b为整数时，ab?()

13A.0B.C.?D.?244

4.已知?O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接

AO并延长交?O于点E,若

AB?8,CD?2,贝!!?BCE的面积为()

A.12B.15C.16D.18

05.如图，在四边形ABCD中，？BAC??BDC?

90,AB?AC?CD?1,对角

线的交点为M,则DM?()

A.

B

.23

1D.22C.

2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第1页

6.设实数x,y,z满足x?y?z?l,则M?xy?2yz?3xz的最大值为

()

A.123B.C.D.1234

二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

(x?0)的图象(本题共有4个小题，要求直接将答案写在

横线上.)1.11(A)、2(B)］已知?ABC的顶点A、C

在反比例函数y?

00上，?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴，点B在点A的上方,

且AB?6,则点C的坐

标为.

1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰

好把？

BAC三等分，

AD?贝!|AM?2(A).在四边形ABCD中，BC〃AD,CA平

分?BCD,O为对角线的交点，

CD?AO,BC?OD,贝！J?ABC?3.13(A)、4(B)］有位学生忘

记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰

好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.

3(B).若质数p、q满足：3q?p?4?0,p?q?Ul,贝1pq的最大

值为.

4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数

填入一个5行5列的表格内(每

格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不

超过2.考虑每列中各数之和，设这

5个和的最小值为M,则M的最大值为

第一试

(3月20日上午9:50—11:20)

一、(本题满分20分)

已知a,b为正整数，求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整

数值.

2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第2页22

二、(本题满分25分)

(A).如图，点C在以AB为直径的?O上，CD?AB于点D,

点E在BD上，AE?AC,

四边形DEFM是正方形，AM的延长线与?O交于点N.

证明:FN?DE.

(B).已知：a?b?c?5,a2?b2?c2?15,a?b?c?47.

求(a2?ab?b2)(b2?bc?c2)(c2?ca?a2)的值.

2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第3页

333

三、(本题满分25分)

(A).已知正实数x,y,z满足：xy?yz?zx?l，且

(x2?l)(y2?l)(y2?l)(z2?l)(z2?l)(x2?l)???4.xyyzzx

(1)求111??的值.xyyzzx

(2)证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx).

(B).如图，在等腰?ABC中

,AB?AC?D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD

的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F,求

AD?AF的值.

2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第4页

篇三：初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯"2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下

每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有

且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的

括号里.不填、多填或错填得零分)

??x?y?12,l.方程组?的解的个数为().

??x?y?6

(A)1(B)2(C)3(D)4

答：(A).

??x?y?12,解：若x>0,贝!]?于是y?y??6,显然不可

能.x?y?6,?????x?y?12,若x?0,贝!)?x?y?6,??

于是y?y?18,解得y?9,进而求得x??3.

?x??3,所以，原方程组的解为?只有1个解.

?y?9,

故选(A).

2.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6

个.现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8

个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种

数是().

(A)14(B)16(C)18(D)20答：(B).

解：用枚举法：

红球个数白球个数黑球个数种数52,3,4,53,2,1,

0443,4,5,63,2,1,0434,5,6,73,2,1,0425,

6,7,83,2,1,04

所以，共16种.

故选(B).

3.已知aABC为锐角三角形，。。经过点B,C,且与

边AB,AC分别相交于点D,E.若。O的半径与4ADE

的外接圆的半径相等，则。。一定经过

△ABC的().

(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心

答：(B).

解：如图，连接BE,因为aABC为锐角三角形，所以

?BAC,?ABE均为锐角.又因为。O的半径与4ADE的

外

接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以

?BAC??ABE.于是，?BEC??BAC??ABE?2?BAC.

若4ABC的外心为O1,贝！)?BOC2BAC1??

一定过△ABC的外心.

故选(B).

4.已知三个关于x的一元二次方程，所以，。0

ax2?bx?c?0,bx2?cx?a?0,cx2?ax?b?0a2b2c2

恰有一个公共实数根，则??的值为().bccaab

(A)0(B)1(C)2(D)3

答：(D).

解：设xO是它们的一个公共实数根，则

ax0?bx0?c?0,bx0?cx0?a?0,cx0?ax0?b?0.

把上面三个式子相加，并整理得

2(a?b?c)(x0?x0?l)?0.222

132?x0?l?(x0?)2??0,所以a?b?c?O.因为x024

于是

a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3

????bccaababcabc

??3ab(a?b)?3.abc

故选(D).

5.方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解(x,y)的个数是().

(A)0(B)1(C)3(D)无穷多

答：(A)

解：原方程可化为

x(x?l)(x?2)?(3x2?x)?y(y?l)(y?l)?2,

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3

的倍数，而右边除以3余2,这是不可能的.所以，原方程

无整数解.

故选(A).

二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)

6.如图，在直角三角形ABC中，？ACB?90?,CA=4.点

P是半圆弧AC的中点，连接BP,线段BP把图形APCB分

成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是.

答：4.

解：如图，设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O

的对称

点记为点E,线段BP把图形APCB分成两部分，这两部

分面积之

差的绝对值是aBEP的面积，即aBOP面积的两倍.而

11S?BPO?PO?CO??2?2?2.22

因此，这两部分面积之差的绝对值是4.

7.如图，点A,C

都在函数y?

x?0)的图象上，点B,D都在x轴上，且使得△OAB,△

BCD都是等边三角形，则点D的坐标

为.

答：

(0).

解：如图，分别过点A,C作x轴的垂线，垂足分别

为E,F.设OE=a,BF=b,则AE

，CF

9

所以，点A,C的坐标为

(a

),(2a+b

),

2a?所以

(2a?b)?解得

??a????b?因此，点D

的坐标为(0).

8.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次

函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB恰有一个交点，则a

的取值范围是.

1答:?l<a??,

或者a?3?2

解：分两种情况：

(I)因为二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB只

有一个交点，且点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),

所以

?1

1得？l?a??.22?(a?3)?l?3?22?(a?3)?2?3?0,???

由12?(a?3)?l?3?0,得a??L此时xl?Lx2?3,符合题

意；

31由22?(a?3)?2?3?0,得a??,此时xl?2,x2?,不符合

题意.22

(II)