初中数学竞方程部分强化练习6

初中数学竞方程部分强化练习6

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一、单选题

1.已知“力,C,d都是实数，则下列命题中，错误的是（）.

A.cr+/72+c2=ah+bc+ca,贝=力=c

B.若/+从+c3=3QZ?C,则a=A=c

C.^a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2）,则a=，=c=d

D.a4+b4+c4+d4=4abcd,则。=b=c=d

2

2.设二次函数y=/+2以+春的图象的顶点为A,与x轴的交点为B,C.当AABC

为等边三角形时，其边长为（）

A.瓜B.2>/2C.2GD.3亚

3.已知实数。，b满足〃3-3/+54=1,b3-3h2+5b=5,则。+〃=()

A.2B.3C.4D.5

fAT4-yz=63

4.方程组“'”，的正整数解的组数是（）.

[xz+yz=23

A.1B.2C.3D.4

5.从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元,其中2分硬币枚数的可能

情况有（）种.

A.13B.16C.17D.19

6.方程4/―40[幻+51=0的实数解的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

7.方程V-6f-工+6=0的所有根的积是（）.

A.3B.-3C.4D.-6

8.小明把棱长为4的正方体分剖成29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的

小正方体有（）个.

A.22B.23C.24D.25

二、填空题

fx=6-3y,

9.实数x,y,z,满足〈:八则一＞'”的值为________.

\x+3y-2xy+2z=0,

10.设a,b,c,d为正整数，且7二加工:才,。-〃：*,则d—a等于.

11.已知一个矩形的长、宽分别为正整数a,b,其面积的数值等于它的周长的数值的

2倍，贝lJa+人;或________.

12.方程2(1-3x)4-32=0的根是.

13.(3X+2)-T"=0有一个解为x=7,那么这个方程的另一个解为.

14.a,b,c都是正整数，且满足而+历=3984,ac+0c=1993,则而c的最大值是

15.若质数，力〃满足5，〃+7〃=129,则加+〃的值为.

16.当“=时，方程组|:一?'=2"的解互为相反数，此时方程组的解为

三、解答题

17.甲、乙两个粮库原各存有整数袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮

是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍.问甲库原来

最少存粮多少袋？

18.求方程方2-7孙+3/=0的正整数解.

19.判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根.

（1）三一64=0

（2）xA+x=0

（3）？=-9

（4）x>+x=l

20.解方程组：竹;物

x+5冷-6»=0

21.一列火车长x米，匀速通过300米的隧道，用时25秒，隧道顶部一盏固定的灯在

火车上照了10秒，求火车的长度.

22.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点4km处，

然后继续前进，甲到8地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点2km处，求

A、B两地间的距离.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

【详解】

222

对A,因2(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=0f

B|J(a-b)2+(/?-c)2+(c-a)2=0,所以4一人=b-c=c-〃=O,即o=/?=c,故A成立.

对B,因a3+b3+c3-3abc=(〃+/?+c)(a2+/+c?+ab+bc+ca)

=—(a+b+c)[(a-h)2+(b-c')2+(c-a)2]=0

2f

所以a+Z?+c=O,或。=/?=c,不一定有。=/?=c,故B不成立.

4442222222222

对C,0«++c+d-2ab-2cd=0,BP(a-ft)+(c-rf)=0,

所以/=〃,c2=/,即〃=±A,C=土d,不一定有Q=b=c=d,故C不成立.

对D,因(，一2a2b2+b4)+(c4-2c2d?+J4)+2a2b?+2c2d?一4abecI=0,

即(/一/y+(/_/y+2("_cd/=0,故a?=6,c2=储,昉=cd,

由此可推出。=b=c=d或。=-b=c=—d,不一定有a=Z?=c=d成立，故D不成立，所

以本题应选B、C、D.

(注：若限定〃力,c、,d都为正数，则B和D成立，答案应选C.)

2.C

【解析】

【分析】

【详解】

/2\

由题设知A~a~.设网公0),C(x2,0),二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为

\2)

D,

则BC=\x]-x2\=+/)2--4x^-=)2口.

答案第1页，共12页

又A£)=-^8C,则—~~~~2，解得/=6或/=0(舍去).

所以，“WC的边长8。=亚7=26.

3.A

【解析】

【分析】

【详解】

有已知条件可得3-1)3+2(0-1)=-2,S-1)3+2S-1)=2,两式相加得

(a-1)3+2(a-1)+(/>-1)3+2(/>-1)=0,

因式分解得(a+b—2)[(a-l)2-(a-l)(6—l)+S-l)2+2]=0.

因为

P-]2

(a-l)2-(a-l)(/>—l)+(b—l)2+2=(a-l)--0-l)+-(/>-l)2+2>0,

_2J4

所以a+6-2=0,因此a+b=2.

4.B

【解析】

【分析】

【详解】

解选民理由：由x,y,z均表示正整数，根据整数运算的封闭性，由第二个方程得

fz=1,

z(x+y)=23,而23不是两个正整数(除去1与23)的乘积，故可得《”，或

[x+y=23

fz=23,

[x+y=l.

而x+y=l不可能是两个正整数的和式，故舍去.

把z=1代入题设方程组得二?’

[x+y=23.

因此，原方程组的正整数解为(X乂z)=(20,3,1),(2,21,1).

5.C

答案第2页，共12页

【解析】

【分析】

【详解】

x+y+z=100@

设1分、2分和5分的硬币分别取了x枚、y枚和z枚，依题意得

x+2y+5z=300②‘

x+z=100-4jt,

②-①得y+4z=200,可见y是4的倍数，设，=“，则x+5z=300-8《解得

x=50-3k

y=4k

z=50-A

因为x为非负整数，故50—3女士0,即04%416次可取0,1,2一.」6中任何一个，有17种取

法，从而y可取0,4,8,…,64中任何一个，也有17种取法，故选C.

6.D

【解析】

【分析】

【详解】

令[x]=m,则x=m+a90<a<\,

代入原方程得4()%+a)2-40/T?+51=0,

即4a2+8〃7a+(4>-40m+51)=0.

2m±m5X

解出a得：a=~-^~-.

2

注意到OMacl,及40m-51N0,有

0<-(-2m+V40/n-51)<1,?①

2

由①，0<-2w+V40w-51<2,B|J2m<>/40w-51<2+2w.

因机)—,4/n2<40〃?-51<4++4/n2,

317

故得4机2-40，"+5140n巳③

22

4m2-32m+55>0=>w<—w>—.④

答案第3页，共12页

351117

综合③④，或

注意到，〃为整数，知a=2,6,7,8.

代入可得相应的四个a值,a=-2+------,-6+-------,-7+-------，-8+--------・

2222

后7189>/2295/269

可得原方程有四个实数解:石=亍'々=二,当=丁用=丁.

7.D

【解析】

【分析】

【详解】

解原方程化为6)=0,

BPx2(x-6)-(x-6)=0,

即(X-6)(X2-1)=0,

即(x-6)(x-l)(x+l)=0,

从而玉电电=-故选£).

.-.Xl=6,X2=l,x3=-1,6.

8.C

【解析】

【分析】

【详解】

解法一若分割出棱长为3的正方体，则余下的均是棱长为1的正方体，有4'-33=37

个，不满足题目要求.

x+y=29fx=5

设棱长为2的正方体有x个，棱长为1的正方体有了个，则〈小八0

2-x+y-^[y=24

故选C.

[x+y+z—29

解法二设棱长为L2,3的正方体分别有x,y,z个，依题意得：不

[x+2'y+3'z=64

因为棱长为3的正方体至多只有1个，所以z=0或z=l.

x+y=29fx=24

当z=0时，上述方程组化为°«.

答案第4页，共12页

x+y=z»

当z=l时，上述方程组化为｛1门，此方程组无非负整数解.

[x+8y=37

故选C.

9.9

【解析】

【分析】

【详解】

卜=6-3》,①

^x+hy-lxy+lz1=0.@

①代入②得(6-3y)+3,y-2(6-3y)y+2z2=0,

即6y2-12>1+6+2z2=0,

即6(y-l)2+2z2=0,

所以y=l,z=0,代入①得x=6-3=3,于是V中=3刈°=9.故填9.

10.601

【解析】

【分析】

【详解】

理由：因为“7=",C3=/,所以a=C，c=[,J.

因为a,b,c,d为正整数，所以可设。=%6,c=〃2,其中m,n为正整数，则

26

n-m=17,

即有(〃一机3乂〃+〃打=1X17.

fl—加3—[

又〃一加3<〃十加，则〈

n+m=17,

[n=9,

解得.

[ni=2.

因此/?=21d=93,从而d—6=93—2'=729—128=601.

11.2518

答案第5页，共12页

【解析】

【分析】

【详解】

根据题意，得ab=2(2a+2b),

即ab-4a=4b,

...4b.16

贝ija=-_-=4+----.

h-44

因为a,8均为正整数，且所以6-4一定是16的正约数.

当匕-4分别取1,2,4,8,16时，代入上式得：

力一4=1时，b=5,a=20；

Z?—4=2时，b=6,a=12；

4=4时，b=8,a=8(舍去)；

6一4=8时，h=[2,a=6(舍去)；

5—4=16时，b=2Q,a=5(舍去).

因止匕a+b=25或18.

故应填25,18.

~1

12.X/=l,X2=一一

3

【解析】

【分析】

移项整理得(l-3x)4=16,然后两边同时开四次方得x-l=±2,由此即可解决问题.

【详解】

解：V2(l-3x)4-32=0,

二(l-3x)4=16,

l-3x-±2,

..1

..X/=1^2=--

故答案为X/=l,X2=-g.

【点睛】

本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次.

13.X--10

答案第6页，共12页

【解析】

【分析】

将x=7代入原方程求出机的值，再把机的值代回原方程，通过直接开平方法解原方程,

得到方程的两个解，可得答案.

【详解】

将x=7代入方程(2X+3)4-，〃=0,得17*-m=0,即加=17。

故原方程为：(2x+3)-17"=0,

移项，得：(2X+3)4=17",

两边直接开4次方，得：2x+3=17或2x+3=-17,

解得：x*=7,x2=-10,

故答案为x=-10.

【点睛】

本题考查了解二项方程，根据方程的解求得字母"?的值是解题的关键.

14.3982

【解析】

【分析】

【详解】

由条件，得

b(a+c)=3984,①

c(a+b)=]993.(2)

因为1993是质数，所以由②，得c=1,a+6=1993.

将b=1993-a代入①，得(1993-a)(a+l)=3984,

即/-1992a+1991=0,

解得q=1,4=1991.

从而得到仇=1992也=2.

所以两组解是：4=1,瓦=1992,c,=l;a2=1991也=2,c?=1.

因此，M•的最大值是1991x2x1=3982.

答案第7页，共12页

15.19或25

【解析】

【分析】

【详解】

因为，〃，"为质数，且5〃?+7”=129,所以根，〃中必有一个是偶质数.

若机=2,则〃=17；若”=2,则%=23.

所以〃?+〃的值为19或25.

【解析】

【分析】

【详解】

版在一J3x-5y=2a,①

解一12x+7y=a-18,②

②x3-①x2得31y=-a-54,y=-^!^.③

19/7—00

①x7+②x5得31x=19a-90,x=——.(4)

因乂丁互为相反数，即工=一八得1上9a^-9声0=若a+三54

(x=2

解之得a=8代入③，④得；

总之，当a=8时，方程组的解互为相反数，且

y=-2.

3(x+y)-8y=2。，

解法二原方程组化为

2(x+y)+5y=々-18.

-Sy=2a,

而x与y互为相反数，即x+y=。，上述方程组化为

5y=。-18,

答案第8页，共12页

Ix=2,

故a=8时，方程组的解.互为相反数.

[y=—2

17.153

【解析】

【分析】

【详解】

假设甲库原来存粮。袋，乙库原来存粮匕袋，依题意得

2(a-90)=6+90.①

假设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即

a+c=C>(h—c).②

由①得匕=2a-270.③

将③代入②，并整理得1山一7。=1620,于是。=比型2=〃-232+%业.又a,c是

77

正整数，从而““；62°ZI,即“2148；并且7整除4(。+1),又因4与7互质，所以7整

除a+1.经检验知。的最小值是153,所以甲库原来最少存粮153袋.

18r；,户"二；

5=1[必=21%=2

【解析】

【分析】

【详解】

将原方程看作x的二次方程，则△=49)3-24)尸=>2(49-24y).

因为方程有实数解，所以，ANO,即49-24”0ny<去49

49

Xy>0,pli]O<y<—.

24

取正整数得y=1,2.

当y=l时，原方程化为2X2-7X+3=0,

即(2x-l)(x-3)=0,

1[x=3,

解得x=(舍去)或冗=3,得

2®=L

当y=2时，原方程化为2f-14x+24=0,

答案第9页，共12页

Bp(x-3)(x-4)=0,

解得x=3或x=4.

々=3,jXj=4,

得

%=2・必=2.

19.（1）是二项方程，产4；（2）不是二项方程；（3）是二项方程，x=-；（4）不是二

项方程

【解析】

【分析】

（1）先判断是二项方程，再利用开方求解即可.

（2）判断不是二项方程，即可.

（3）先判断是二项方程，再利用开方求解即可.

（4）判断不是二项方程，即可.

【详解】

解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程，

<