2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编03含解析

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（三）一、单选题1．（2024·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预料）已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据题意，作图如下：因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又为中点，则，设点，则，解得；由可得，则由等面积可知：，解得，则，则，又点在渐近线上，即，即，又，联立得，即，解得，故.故选：B.2．（2024·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预料）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对随意的，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A．(，1) B．(－∞，1) C． D．【答案】D【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数∴为定义在上的偶函数又∵∴在上递减，则在上递增即则解得：．故选：D．3．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）十八世纪早期，英国数学家泰勒发觉了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n0!=1)，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】所以cos1==sin=sin，由于与最接近，故选：B4．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（

）A．288 B．336 C．576 D．1680【答案】B【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则其次行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种,其次步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种，依据分步计数原理,共有种,故选：B5．（2024·山东·模拟预料）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若，则时，，单调递减，时，，单调递增.因为函数在R上有两个零点，所以，而，限定，记，，即在上单调递增，于是，则时，，此时，因为，所以，于是时，.综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.故选：C.6．（2024·山东·模拟预料）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数为偶函数，且在单调递减，所以，而，则，于是，函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以.故选：D.7．（2024·江苏·南京市雨花台中学模拟预料）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，点在直线上，即，可得，直线交轴于点，设点，，，由可得，解得，椭圆的右焦点为，则，又，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.8．（2024·江苏·南京市雨花台中学模拟预料）已知，，，，过点作垂直于点，点满意，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，作出图形，如图，，，，，由可得，，又，则，.故选：D．9．（2024·江苏·南京市雨花台中学模拟预料）若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由求导得：，于是得，函数图象在点处的切线方程为，整理得：，从而得，，令，则，当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为.故选：D10．（2024·江苏·南京市第一中学模拟预料）已知定义域是R的函数满意：，，为偶函数，，则（

）A．1 B．-1 C．2 D．-3【答案】B【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．故选:B．11．（2024·湖南·长沙一中高三阶段练习）蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由很多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理.我闻名数学家华罗庚曾特地探讨蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先证明一个结论：如图，在平面内的射影为，的平面角为,，则.证明：如图，在平面内作，垂足为，连接，因为在平面内的射影为，故，因为，故，因为，故平面.因为平面，故，所以为二面角的平面角，所以=.在直角三角形中，.由题设中的其次图可得：.设正六边形的边长为，则，如图，在中，取的中点为，连接，则，且，，故，故，故.故选：C.12．（2024·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）已知，，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，当时，，当时，，，设，则，两式相减，得，则，，，，令，，令，则，令，则，函数在上单调递减，即，，函数在上单调递减，，，，，实数的取值范围为，故选：C．13．（2024·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下图示，因为，，是中点，所以是中点且，则，，因为直线是双曲线的渐近线，所以，，直线的方程为，联立，解得，则，整理得，因为，所以，.故选：A14．（2024·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】(1)，则，则，取，

；（2），则，解得：，取，；综上可知：的取值范围是，选.15．（2024·湖南·高三开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，可得，所以令，则，令，则，所以在上单调递减，，所以恒成立，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以，所以，即.故选：A.16．（2024·湖北·高三开学考试）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】且、、均为不等于的正实数，则与同号，与同号，从而、、同号.①若、、，则、、均为负数，，可得，，可得，此时；②若、、，则、、均为正数，，可得，，可得，此时.综上所述，.故选：D.17．（2024·湖北·襄阳五中高三开学考试）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，∵，∴，函数在R上单调递增，又，∴,由，可得，即，又函数在R上单调递增，所以，即不等式的解集为.故选：C．18．（2024·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知实数，满意，，其中e是自然对数的底数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以．因为，所以．联立，所以与是关于x的方程的两根．构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数，由于，所以，又，所以，即，解得．故选：D．19．（2024·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）已知（其中）是双曲线的焦点.圆与双曲线的一条渐近线交于两点.已知的倾斜角为.则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：，化为，因为渐近线的倾斜角为，所以，圆心到直线的距离为：，又，所以，则，所以，故选：C20．（2024·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）设函数，则满意的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】假设，所以，所以，所以为奇函数，而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，由求导得因为，当且仅当即，取等号，所以所以在R上单调递增，因为得所以，解得，故选：B二、多选题21．（2024·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预料）已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满意，则下列命题正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图象知：若有四个不同的实数解，则，故A正确；因为，即，则，所以，因为在上递增，所以，故B错误；因为，在上递增，所以，而，所以，故C正确；因为，在上递减，在上递增，则，故D正确；故选：ACD22．（2024·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预料）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（

）A．当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满意PF//平面时，PF长度的最小值是【答案】ABC【解析】A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确；B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确；C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图，故P的轨迹长度为，C正确；D选项，FP所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误.故选：ABC.23．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）已知正数x，y，z满意，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】设，，则，，，所以，A正确；因为，则，因为，则，所以，B正确；因为，则，D正确.因为，则，所以，C错误.故选：ABD.24．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）高斯是德国闻名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（

）A．函数在区间（）上单调递增B．若函数，则的值域为C．若函数，则的值域为D．，【答案】AC【解析】对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；对于B，，则，B不正确；对于C，，当时，，，有，当时，，，有，的值域为，C正确；对于D，当时，，有，D不正确.故选：AC25．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0<j<k时，，则称是的一个周期为k的周期点.若，下列各值是周期为1的周期点的有（

）A．0 B． C． D．1【答案】AC【解析】A：时，，周期为1，故A正确；B：时，，所以不是的周期点.故B错误；C：时，，周期为1，故C正确；D：时，，不是周期为1的周期点，故D错误.故选：AC.26．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）在数列中，对于随意的都有，且，则下列结论正确的是（

）A．对于随意的，都有B．对于随意的，数列不行能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，【答案】ACD【解析】A：由，对有，则，即随意都有，正确；B：由，若为常数列且，则满意，错误；C：由且，当时，此时且，数列递增；当时，此时，数列递减；所以时数列为递增数列，正确；D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.故选：ACD27．（2024·山东·模拟预料）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，点Q是的中点，点P满意，下列结论正确的是（

）A．点P的轨迹的周长为B．点P的轨迹的周长为C．三棱锥的体积的最大值为D．三棱锥的体积的最大值为【答案】BD【解析】取的中点为，取的中点为，取的中点为，取的中点为，取的中点为，分别连接，由，且，所以平面，由题意可得P的轨迹为正六边形，其中，所以点P的轨迹的周长为，所以A不正确，B正确；当点P在线段上运动时，此时点到平面的距离取得最大值，此时有最大值，最大值为，所以C不正确，D正确．故选：BD28．（2024·山东·模拟预料）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多困难的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为，则下列叙述不正确的是（

）A．在内有5个零点B．的最大值为3C．是的一个对称中心D．当时，单调递增【答案】ABD【解析】对于A，由，令，则或，易知在上有2个零点，A错误．对于B，因为，由于等号不能同时成立，所以，B错误．对于C，易知为奇函数，函数关于原点对称，又周期为，故是的一个对称中心．对于D，，因为，所以时，即：（）时，单调递增，（）时，单调递减，故D错误．故选：ABD29．（2024·山东·模拟预料）已知函数，方程有四个实数根，且满意，下列说法正确的是（

）A．B．的取值范围为C．t的取值范围为D．的最大值为4【答案】BC【解析】或，作出的图象，当时，，有一个实根；当时，有三个实数根，∴共四个实根，满意题意；当时，只有两个实数根，所以共三个实根，不满意题意，此时与的交点坐标为.要使原方程有四个实根，等价于有三个实根，等价于y＝f(x)与y＝t图像有三个交点，故，，所以，故A错误，C正确；又因为，所以的取值范围为），B正确；因为，所以，故D错误．故选：BC.30．（2024·江苏·南京市雨花台中学模拟预料）阿基米德是宏大的物理学家，更是宏大的数学家，他曾经对中学教材中的抛物线做过系统而深化的探讨，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（

）A．若过抛物线的焦点，则点肯定在抛物线的准线上B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值D．一般状况下，阿基米德三角形的面积【答案】ABC【解析】由题意可知：直线肯定存在斜率，所以设直线的方程为：，由题意可知：点，不妨设，由，所以直线切线的方程分别为：，两方程联立得：，解得：，所以点坐标为：，直线的方程与抛物线方程联立得：.A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为，因为过抛物线的焦点，所以，而，明显点肯定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，即，因为，所以化简得：，此时，点坐标为：，因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，所以，因此正三角形的边长为，所以正三角形的面积为，故本选项说法正确；C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，所以，直线的方程为：所以点坐标为：，点到直线的距离为：，，因为，所以，因此直角的面积为：，当且仅当时，取等号，明显其面积有最小值，故本说法正确；D：因为，所以，点到直线的距离为：所以阿基米德三角形的面积，故本选项说法不正确.故选：ABC31．（2024·江苏·南京市第一中学模拟预料）已知函数，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．当时，【答案】AD【解析】对于A选项，因为令，在上是增函数，所以当时，，所以，即．故A选项正确；对于B选项，因为令，所以，所以时，单调递增，时，单调递减．所以与无法比较大小．故B选项错误；对于C选项，令，所以时，在单调递减，时，在单调递增，所以当时，，故成立，当时，，．故C选项错误；对于D选项，由C选项知，当时，单调递增，又因为A正确，成立，所以,故D选项正确.故选：AD．32．（2024·江苏·南京市第一中学模拟预料）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（

）A．1 B．4 C．9 D．32【答案】BD【解析】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．故选：BD．33．（2024·江苏·南京市第一中学模拟预料）下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】选项A：，故不正确；设，因为，所以，所以在上单调递减，所以选项B：，故不正确；选项C：，故正确；选项D：，故正确，故选:CD．34．（2024·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，则（

）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为D．是偶函数【答案】AC【解析】由知函数的定义域为，，当时，，，故在单调递增，A正确；由，当时，，当，所以只有0一个零点，B错误；令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.故选：AC35．（2024·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．当时，B．若不等式至少有3个正整数解，则C．过点作函数图象的切线有且只有一条D．设实数，若对随意的，不等式恒成立，则的最大值是【答案】ACD【解析】对于A：当，∴，，∵，∴，A正确；对于B：，画出与的图象，依据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满意，∴，故B错；对于C：设切点则，∴，即，设，当时，，∴是单调递增函数，∴最多只有一个根，又，∴，由得切线方程是，故C正确；对于D.：由题意.设，则，于是在上是增函数.因为，，所以，即对随意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即的最大值是，选项D正确；故选：ACD.36．（2024·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则平分C．若，则D．若，延长交直线于点，则，，三点共线【答案】ABD【解析】若，则抛物线，，的焦点为，直线的方程为：，可得，，选项正确；时，因为，所以，又，所以，所以平分，选项B正确；若，则抛物线，，，的焦点为，直线的方程为，联立抛物线方程求解可得，所以，选项C不正确；若，则抛物线，，，延长交直线于点，则，由C选项可知，所以，，三点共线，故D正确.故选：ABD．37．（2024·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）已知，，，为函数的零点，，下列结论中正确的是（

）A．B．C．若，则D．a的取值范围是【答案】ACD【解析】，，故A正确；当时，，必无零点，故，，故B错误；当时，即，两边取对数得，，，联立方程解得，由于，，故C正确；考虑在第一象限有两个零点：即方程有两个不同的解，两边取自然对数得

有两个不同的解，设函数，，则时，，当时，，当时，，所以，要使得有两个零点，则必需，即，解得，故D正确；故选：ACD.38．（2024·湖北·高三开学考试）关于函数，下列结论中正确的有（

）A．当时，的图象与轴相切B．若在上有且只有一个零点，则满意条件的的值有3个C．存在，使得存在三个极值点D．当时，存在唯一微小值点，且【答案】BCD【解析】对于A，，即，由函数的图像可知方程有两个根：，，，即斜率为0的切线其切点不在x轴上，故A错误；对于B，，令，，单调递增，单调递减，，结合图像可知满意在上有且只有一个零点的的值有3个：0，，，故B正确；对于C，，，可知单调递减，单调递增，单调递减，，故时，有三个实数根，存在三个极值点，故C正确；对于D,,由图像可知此方程有唯一实根，因为，所以，，，，可知，故D正确.故选：BCD.39．（2024·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知函数，下列选项正确的是（

）A．函数的单调减区间为、B．函数的值域为C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】对于A选项，当时，，则，当时，，则，由可得，所以，函数的单调减区间为、，A对；对于B选项，当时，，当时，，因此，函数的值域为，B错；对于CD选项，作出函数的图像如下图所示：若，由可得，则方程只有两个不等的实根；若，由可得或或，由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根，若关于的方程有个不相等的实数根，则，C对；若关于的方程有个不相等的实数根，则，D对.故选：ACD.40．（2024·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在上单调递增C．f（x）在上有4个零点D．把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】因为，所以A正确；当时，，函数在上先增后减，无单调性，故B不正确；令，得，故，因为，所以，故C正确；把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时．取得最小值－2，故D正确．故选：ACD41．（2024·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（

）A． B．的周期为4C． D．【答案】AB【解析】的图像关于直线对称，的图像关于对称，又关于点中心对称，所以周期为4，所以正确而D错误；又，其中换得，再将换得，但无法得到所以正确C错误.故选：AB.三、填空题42．（2024·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预料）已知是定义在R上的偶函数，当时，.若的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.【答案】2【解析】由偶函数的对称性知：在、上各有一个零点且，所以，则或，当时，在上，则，所以在上递增，，故无零点，不合要求；当时，在上，则，所以在上递减，在上递增，则且，，故上有一个零点，符合要求；综上，.故答案为：243．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）空间四面体中，，二面角的大小为，在平面内过点作的垂线，则与平面所成的最大角的正弦值___________.【答案】【解析】记过点B作的垂线l，垂足为E，过点E作垂直于直线CE的平面，交平面于直线BF，则当平面ABC时，与平面所成角最大，且与互余.此时，因为平面ACB，平面所以平面ACB平面，则由点E向平面作垂线，垂足H在CB上，过H作CD垂线HG，垂足为G，连接EG.由题知，，记，则在中，又，所以在中，，在中，记此时与平面所成角为，则.故答案为：44．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）函数，其中a，b为实数，且.已知对随意，函数有两个不同零点，a的取值范围为___________________.【答案】【解析】因为有两个不同零点有两个不相等的实根即有两个不相等的实根；所以，令，则，明显不为零，所以，因为，，所以，所以；令，则；令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增；所以，所以；又，所以，所以即，，又，所以；故答案为：.45．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）已知平面对量，和单位向量，满意，，，当改变时，的最小值为，则的最大值为__________.【答案】【解析】不妨设，，则由题知又，所以整理得①，所以又，所以而将①代入整理得：令，，有最小值，又，当且仅当时等号成立所以，当时有最大值.故答案为：.46．（2024·山东·模拟预料）已知双曲线的左右焦点分别为为上一点，M为的内心，直线与x轴正半轴交于点H，，且，则的渐近线方程为________．【答案】【解析】因为经过的内心，依据内角平分线定理可知：，所以的渐近线方程为：．故答案为：47．（2024·江苏·南京市雨花台中学模拟预料）在平面四边形中，，，，，将沿折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．【答案】【解析】因为在平面四边形中，，，，，所以，则，所以，，则，过点作于点，由可得，，则为使三棱锥的体积最大，只需平面，记的外接圆圆心为，连接，，因为为直角三角形，所以为中点，且，又在中，由余弦定理可得，，则，所以，因此点即为该三棱锥外接球的球心，且该外接球的半径为，所以球的体积为.故答案为：.48．（2024·江苏·南京市雨花台中学模拟预料）已知数列中，，且满意，若对于随意，都有成立，则实数的最小值是_________.【答案】2【解析】因为时，，所以，而，所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.又因为恒成立，即恒成立，所以.由得，得，所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：249．（2024·江苏·南京市第一中学模拟预料）已知函数的图