2024年高考数学微专题专练45含解析文

PAGEPAGE6专练45两条直线的位置关系及距离公式命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．[基础强化]一、选择题1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝02．[2024·江西省南昌市二模]已知直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，则m＝()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D．eq\f(1,2)3．[2024·陕西省西安中学二模]已知直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋3y＋2＝0平行，则a＝()A．3 B．－2C．－2或3 D．54．当0<k<eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限5．“C＝2”是“点(1，eq\r(3))到直线x＋eq\r(3)y＋C＝0的距离为3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0D．x－2y＝07．[2024·洛阳模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同始终线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝08．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠19．直线l经过点M(2，1)，若点P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为()A．3x－2y－4＝0B．x＝2或3x－2y－4＝0C．x＝2或x－2y＝0D．x＝2或3x－2y－8＝0二、填空题10．若曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________.11．[2024·陕西省西安中学四模]直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，则实数m＝________．12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．[实力提升]13．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0相互垂直，则ab的最小值为()A．1 B．2C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)14．当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为()A．eq\r(2) B．0C．－1 D．115．[2024·苏州模拟]已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是()A．不论a为何值时，l1与l2都相互垂直B．当a改变时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称D．假如l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是eq\r(2)16．[2024·武汉调研]台球运动已有五、六百年的历史，参加者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上遇到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tanα的值为()A．eq\f(1,6)或eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)或1C．eq\f(1,6)或eq\f(3,2)D．1或eq\f(3,2)专练45两条直线的位置关系及距离公式1．A设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，又(1，0)在直线l上，∴1＋c＝0，∴c＝－1，故所求的直线方程为x－2y－1＝0.2．C当m＝0时，x＋my＋2＝0⇒x＝－2，由2x－y＋1＝0知y＝2x＋1，斜率为2，所以直线2x－y＋1＝0与x＝－2不垂直，不符合题意；当m≠0时，x＋my＋2＝0⇒y＝－eq\f(1,m)x－eq\f(2,m)，因为直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，所以－eq\f(1,m)×2＝－1，解得m＝2.3．B因为直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋3y＋2＝0平行，所以2×3－a(a－1)＝0，即a2－a－6＝0，解得：a＝－2或3，当a＝3时，l1：2x＋3y＋2＝0与l2：2x＋3y＋2＝0重合，不满意题意，舍去；当a＝－2时，l1：x－y＋1＝0与l2：3x－3y－2＝0平行，满意题意．4．B由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)．))又∵0<k<eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)<0，y＝eq\f(2k－1,k－1)>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在其次象限．5．B由点(1，eq\r(3))到直线x＋eq\r(3)y＋C＝0的距离为3，得eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)＋C|,\r(12＋（\r(3)）2))＝eq\f(|4＋C|,2)＝3，得C＝2或C＝－10.∴C＝2是点(1，eq\r(3))到直线x＋eq\r(3)y＋C＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线就是过点P且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为eq\f(1－0,2－0)＝eq\f(1,2)，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，得2x＋y－5＝0.7．D由题设，可得kAB＝eq\f(2－0,1－2)＝－2，且AB的中点为(eq\f(3,2)，1)，∴AB垂直平分线的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝eq\f(1,2)，故AB的垂直平分线方程为y＝eq\f(1,2)(x－eq\f(3,2))＋1＝eq\f(x,2)＋eq\f(1,4)，∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.8．C由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.9．B解法一当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝eq\f(3,2)，则直线l的方程为3x－2y－4＝0.解法二由题意知，所求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点或与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4，2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P(4，2)和Q(0，－4)的直线平行时，由kPQ＝eq\f(－4－2,0－4)＝eq\f(3,2)，得直线l的方程为y－1＝eq\f(3,2)(x－2)，即3x－2y－4＝0.10．答案：eq\r(2)解析：由题意得A(0，1)，由点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离为eq\f(|1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).11．答案：0或1解析：因直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，则有1·m＋m[－(2m－1)]＝0，即2m－2m2＝0，解得m＝0或m＝1，所以m＝0或m＝1.12．答案：eq\r(2)解析：由题意可知，kAB＝eq\f(b－a,5－4)＝b－a＝1，故|AB|＝eq\r(（5－4）2＋（b－a）2)＝eq\r(2).13．B因为直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0相互垂直，所以(b2＋1)－ab2＝0.又因为b>0，所以ab＝b＋eq\f(1,b)≥2，当且仅当b＝1时等号成立．14．C直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直直线，即m·eq\f(2－1,3－2)＝－1，∴m＝－1.15．Ca×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2相互垂直恒成立，故A正确；直线l1：ax－y＋1＝0，当a改变时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a改变时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；在l1上任取点(x，ax＋1)，其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))即M(eq\f(－a－1,a2＋1)，eq\f(－a＋1,a2＋1))，所以|MO|＝eq\r(（\f(－a－1,a2＋1)）2＋（\f(－a＋1,a2＋1)）2)＝eq\r(\f(2,a2＋1))≤eq\r(2)，所以|MO|的最大值是eq\r(2)，故D正确．16．C如图1，作A关于