新教材高中数学第二章直线和圆的方程章末复习新人教A版选择性必修第一册

其次章直线和圆的方程学问系统整合规律方法保藏1．直线的倾斜角与斜率的对应关系任何直线都有倾斜角，但并非任何直线都有斜率．直线的倾斜角θ满意{θ|0°≤θ<180°}．当θ＝0°时，k＝0，直线与y轴垂直；当θ＝90°时，直线的斜率不存在，直线与x轴垂直．当0°<θ<90°时，斜率k＝tanθ>0；当90°<θ<180°时，k＝－tan(180°－θ)<0.当α由0°→90°→180°(不含180°)改变时，k由0(含0)渐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)渐渐增大到0(不含0)．2．直线的几种方程及比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)A，B，C为系数任何状况特殊直线x＝a(y轴：x＝0)垂直于x轴且过点(a,0)斜率不存在y＝b(x轴：y＝0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k＝0解题时要依据题目条件敏捷选择，留意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要留意A2＋B2≠0，必要时要对特殊状况进行探讨．3．两直线的平行与垂直直线方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0垂直的等价条件l1⊥l2⇔k1k2＝－1l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0由两直线的方程推断两条直线是否平行或垂直时，要留意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要依据题目条件设出合理的直线方程．4．距离问题类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点到直线的距离P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线间的距离l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))学习时要留意特殊状况下的距离公式，并留意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特殊地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必需有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要擅长依据已知条件的特征来选择圆的方程．假如已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；假如已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．6．点与圆的位置关系(1)点在圆上①假如一个点的坐标满意圆的方程，那么该点在圆上．②假如点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．(2)点不在圆上①若点的坐标满意φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满意φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内．②点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到圆心的距离小于半径，则点在圆内．留意：若点P是圆C外肯定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.7．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其推断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，依据解的个数来推断，即推断出交点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来推断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)当直线与圆相切时，常常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要留意斜率不存在的状况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．8．圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其推断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，依据解的个数来推断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来推断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.学科思想培优一、直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性，是做题的易错点，应引起特殊的重视．[典例1]已知坐标平面内的三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq\r(3)＋1)．(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围．解(1)由斜率公式，得kAB＝eq\f(1－1,1－－1)＝0，kBC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq\r(3)，kAC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－－1)＝eq\f(\r(3),3).因为tan0°＝0，所以AB的倾斜角为0°；因为tan60°＝eq\r(3)，所以BC的倾斜角为60°；因为tan30°＝eq\f(\r(3),3)，所以AC的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k改变时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB过程中，直线CD与AB恒有交点，即D在△ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3))).斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角α＝0°时，斜率k＝0，直线与x轴平行或重合；当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着增大；当α＝90°时，斜率k不存在(此时直线是存在的，直线与x轴垂直)；当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角随着增大．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．二、直线方程五种形式的应用直线方程的五种形式各有优劣，在运用时要依据题目条件敏捷选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，留意其适用条件，必要时要对特殊状况进行探讨．[典例2]直线l过点(2,1)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．解设直线l的横截距为a，则它的纵截距为6－a，由于直线在两轴上的截距都不为0，故直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,6－a)＝1.因为点(2,1)在该直线上，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,6－a)＝1，即为a2－7a＋12＝0.所以a＝4或a＝3.当a＝4时，直线的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即为x＋2y－4＝0，经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,3)＝1，即为x＋y－3＝0，也经过第一、二、四象限．综上可知，所求直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.(1)直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化一般式斜截式截距式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)(B≠0)eq\f(x,－\f(C,A))＋eq\f(y,－\f(C,B))＝1(ABC≠0)(2)直线方程的一般式与四种特殊形式之间的转化关系(如图)三、直线的平行与垂直问题考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可干脆利用系数处理．考查的题目常有求直线方程，干脆用平行与垂直求未知系数、对称问题、过定点问题等，题型则以选择题、填空题居多，属简洁题．解答此类问题时始终以平行与垂直对方程系数的要求为切入点．[典例3]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满意下列条件的a、b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．解(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0，①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，eq\f(a,b)＝1－a，即b＝eq\f(a,1－a).故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋eq\f(4a－1,a)＝0，l2：(a－1)x＋y＋eq\f(a,1－a)＝0.∵原点到l1与l2的距离相等，∴4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)))，解得a＝2或a＝eq\f(2,3).因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，应先考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需留意特殊情形．此外，已知两直线垂直求解参数时，还需留意斜率是否为零．四、距离问题在应用点到直线距离公式时，要留意直线方程必需化为一般形式．而在应用两平行直线的距离公式时，要留意两直线方程必需化为一般形式，且两条直线方程中x和y的系数必需对应相等．高考中对本部分的考查常结合圆的学问进行，如直线与圆相交、相切等，下章我们将具体探讨．题目难度中等，以选择题、填空题居多．预料将来仍会沿此方向命题．[典例4]两条直线l1：ax－by＋b＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且l1与l2的距离为eq\f(\r(2),2)，则a＋b的值是()A．0 B．1C．2 D．4解析由l1∥l2，可得a×1－(－b)×(a－1)＝0，得a＋ab－b＝0.明显a≠1，∴b＝eq\f(a,1－a)，又a＝0时，b＝0，l1不存在，故a≠0.将b＝eq\f(a,1－a)代入两直线方程得l1：(1－a)ax－ay＋a＝0，l2：(a－1)x＋y＋eq\f(a,1－a)＝0.将l2变形为(1－a)ax－ay－eq\f(a2,1－a)＝0，于是有eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a2,1－a)))),\r(1－a2a2＋a2))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2.当a＝2时，b＝－2，适合题意，此时a＋b＝0.答案A(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的状况，否则必需先化为对应相等才能套用公式．(2)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．五、对称问题在解析几何中，常常遇到对称问题，对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．1中心对称(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2a－x1,2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点；特殊地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等．2轴对称(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．①当三条直线l1，l2，l共点时，l上随意点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上随意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．[典例5]已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．解(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3×\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))所以P′坐标为(－2,7)．(2)解法一：设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)肯定在l2上，反之也成立．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)＝3×\f(x1＋x2,2)＋3，,\f(y1－y2,x1－x2)×3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(4,5)x2＋\f(3,5)y2－\f(9,5)，,y1＝\f(3,5)x2＋\f(4,5)y2＋\f(3,5).))把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，所以l2方程为7x＋y＋22＝0.解法二：因为直线l：y＝3x＋3与直线y＝x－2相交，且交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).在直线y＝x－2上取点B(0，－2)，则点B关于直线l：y＝3x＋3的对称点为B′(－3，－1)，所以直线y＝x－2关于l的对称直线经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))及B′(－3，－1)，由两点式得直线方程为7x＋y＋22＝0.(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，由于l∥l′，可设l′为y＝3x＋b(b≠3)．由点到直线的距离公式得eq\f(|3×3－2＋b|,\r(32＋－12))＝eq\f(|3×3－2＋3|,\r(32＋－12))，即|b＋7|＝10，解得b＝－17或b＝3(舍去)．所以直线l′的方程为y＝3x－17，即对称直线的方程为3x－y－17＝0.对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、直线的对称．其中点关于点、点关于直线对称是全部对称中的两种最基本的对称，应当重点驾驭，并能够把其他对称都转化成这两种对称．由于对称问题综合运用了两直线垂直、平行的判定，点到直线的距离公式等学问点，因此，对称问题始终是考查的重点．六、圆的几何性质的运用圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，随意一条直径所在直线是对称轴．圆具有很多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，削减运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形态，有助于找到解题思路．[典例6]过点P(－2,0)作圆C：x2＋y2＝1的切线PT，T为切点，则|PT|＝__________.解析∵|CP|2＝|PT|2＋r2，圆心C(0,0)，∴|PT|2＝|CP|2－r2＝(－2－0)2＋(0－0)2－12＝3，∴|PT|＝eq\r(3).答案eq\r(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点P(x0，y0)引切线，设切点为T，易知切线有两条，求切线方程的方法是待定系数法，切线长公式为|PT|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F)(其中r为圆的半径长)．七、数形结合思想依据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合．[典例7]已知矩形ABCD中，A(－4,4)，D(5,7)，其对角线的交点E在第一象限内且与y轴的距离为一个单位，动点P(x，y)沿矩形一边BC运动，则eq\f(y,x)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D．无法确定解析如图，由题意设E(1，y0)(y0>0)，则由|AE|＝|DE|得eq\r(25＋y0－42)＝eq\r(16＋y0－72)，解得y0＝4.由中点坐标公式得B(－3,1)，C(6,4)，点P(x，y)在BC上运动，∴eq\f(y,x)＝kOP.由图知kOP≥kOC或kOP≤kOB，∵kOC＝eq\f(2,3)，kOB＝－eq\f(1,3)，∴eq\f(y,x)≥eq\f(2,3)或eq\f(y,x)≤－eq\f(1,3)，点P在直线BC与y轴的交点时，eq\f(y,x)不存在，∴eq\f(y,x)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).答案C(1)利用类比、联想、化归的思想方法是解决此题的突破口，即将代数式恒等改变为eq\f(y－0,x－0)，联想斜率的坐标公式，问题就转化为求过原点且与线段BC相交的直线斜率问题，此法直观简捷，充分体现了“数形结合”思想的优越性．(2)我们学了直线方程后，也可以用解方程组求解，也可以用函数的思想求解．[典例8]已知A＝{(x，y)|x－y＋m＝0}，B＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)}，若A∩B有两个元素，求m的取值范围．解集合A是斜率为1，在y轴上的截距为m的一束平行线，集合B是以原点为圆心，半径为3的圆在x轴上方的部分(包括与x轴的交点)．由题意作出图形，如图，当直线x－y＋m＝0过(0,3)时，m＝3.当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得eq\f(|m|,\r(2))＝3.∴m＝±3eq\r(2)，由图形易知m>0，故m＝3eq\r(2)，∴3≤m<3eq\r(2).本题中集合A是一条直线上的点的集合，集合B是一个半圆上的点的集合，故可以从图象上考虑直线与圆的交点问题．在涉及半圆或圆的一部分的题目时，假如解方程是相当困难的，而应用数形结合来解往往比较简洁．八、分类探讨思想的运用分类探讨思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类探讨，在求直线的