新教材2024年秋高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数第2课时指数幂及其运算教师用书含答案新人教A版必修第一册

第2课时指数幂及其运算1．理解分数指数幂的含义，驾驭根式与分数指数幂的互化．(逻辑推理、数学运算)2．驾驭实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(数学运算)某国国家统计局有关数据显示，该国科研和开发机构基础探讨经费支出近些年呈爆炸式增长：2024年为221.59亿元，2024年、2024年、2024年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能依据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2024年的经费支出为基础，预料2024年及以后各年的经费支出吗？学问点1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn＝nam(a>0，m，n负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1na0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义学问点2有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．学问点3无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)0的任何指数幂都等于0． ()(2)52(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a(4)amn可以理解为mn(5)53(6)23[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．计算：813＝________；212[813类型1根式与分数指数幂的互化【例1】(源自苏教版教材)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：(1)a2a；(2)1a3；(3)[解](1)a2a＝a2a1(2)1a(3)aa根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在详细计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[跟进训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·3a(2)a-4b23[解](1)a3·3a2＝a3·(2)a＝a-4b类型2利用分数指数幂的运算性质化简求值【例2】化简求值：(1)0.02713－61412＋2563(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；(3)23a÷46ab·3[解](1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)3(2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝－13a-3-(-4)b-2-(-2)c＝－13ac-1＝－a(3)原式＝2a13÷(4a＝12a1指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．[跟进训练]2．计算下列各式的值(式中字母均是正数)：(1)(2(2)aπ3a[解](1)原式＝(23·m32)23(2)原式＝aπ3＋2类型3条件求值问题【例3】已知a1(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．思路导引：a[解](1)将a12+a-12＝4两边平方，得a＋a(2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194．[母题探究]1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．[解]令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±83，即a－a-1＝±82．在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值．[解]由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝±83×14＝±112解决条件求值问题的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，找出所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．(2)在利用整体代入法求值时，要留意完全平方公式的应用．[跟进训练]3．已知a12-a-12＝m，求a＋a-1[解]∵a12-∴a12-a-122＝a即a＋a-1＝m2＋2．∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．1．把根式aa化成分数指数幂是()A．(－aC．－a3D[由题意可知a≥0，故解除A、B、C选项，故选D．]2．计算π3A．πB．πC．－πD．1[答案]D3．已知x12＋x-A．5B．23C．25D．27B[∵x12＋x-12＝5，∴x＋4．计算：23501615[原式＝1＋1回顾本节学问，自主完成以下问题：1．na[提示]na2．分数指数幂有哪些性质？[提示](1)asar＝as＋r；(2)(ar)s＝