2021-2022学年西藏昌都某中学高三（上）期中数学试卷（文科） （解析版）

2021-2022学年西藏昌都第一高级中学高三（上）期中数学试卷

（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

I.若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},则AC（：uB=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

2.在复平面内，复数z满足（1-i）z=2,则2=（）

A.2+iB.2-tC.1+iD.1-i

3.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是高，甲获胜的概率是则甲不输的概率为（）

23

A.—B.—C.—D.—

6563

4.在等差数列{小}中，若42=4,44=2,则。6=（）

A.-1B.0C.1D.6

5.已知非零向量：石满足国=2用，且（之-E）则Z与E的夹角为（）

6.要得到函数y=cos（2x+3）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）

A.向左平移>1个单位B.向左平移3个单位

C.向右平移3个单位D.向右平移微个单位

22

7.若抛物线V=2px（p>0）的焦点是椭圆工_+工_=1的一个焦点，则p=（）

3pp

A.2B.3C.4D.8

8.曲线y=xd+2在x=0处的切线方程为（）

A.x+y+2=0B.2x+y+2=0C.y-2=0D.x-y+2=0

JT71兀兀

9・计算（cos-y^+sin'方（cos『in*）值为（）

A,史n1C.返D,返

D.--

2222

10.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）

A.5B.8C.24D.29

Z?=logs3,c=*,则下列判断正确的是（

11.已知4=log52,)

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

12.若定义在R的奇函数/（x）在（-8,0）单调递减，且/（2）=0,则满足（x-1）

，。的x的取值范围是（）

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-1]UIO,1]C.[-1,0JU[l,

+8)D.[-1,0]U[l,3]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.

13.已知向量4=（1，2）,b=（如3）,若（W+2E）〃三，则〃7=

‘x-y>0

y满足约束条件，工制-240，则z=3x-4），的最小值为

14.若羽

15.设｛如｝是首项为公差为的等差数列，为为其前〃项和，若S”52,S4成等比数

列，则0的值为.

22

16.已知尸2为椭圆C3_+工_=1的两个焦点，P,Q为。上关于坐标原点对称的两

164

点，且|PQI=|QB|,则四边形PFiQB的面积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60

分.

17.某种产品的广告费用支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如下的对应数据：

X24568

y3040605070

n

£x^j^y.-nxy*-

i=l_____________—

参考公式：b:=--------------,a=y-bx-

V2-2

〉,Xj-nx

i=l

(1)求回归直线方程；

(2)据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？

18.记S"为等差数列｛为｝的前〃项和,已知G=l,55=25.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设为=―----，求数列｛儿｝的前"项和.

an"什］

O1T

19.在AABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且。==§一，a=6.

(I)若c=14,求sirtA的值；

(II)若△ABC的面积为3疾,求c的值.

20.已知椭圆C：“二1(0</n<5)的离心率为IE,A,B分别为C的左、右顶点.

2

25m4

(1)求C的方程；

(2)若点P在C上，点。在直线x=6上，且|BP|=|8Q|,BPLBQ,求△APQ的面积.

21.己知函数/(x)=ax+lnx(tzGR).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当。=1时、不等式xe，+l(x)+〃?对于任意(0,+8)恒成立，求实数m的

取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为为参数)，在以原点。为

Iy=t

极点，X轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线Cl与曲线C2的极坐标方程分别为

PW^cos。,p=3sin。.

(I)求直线/的极坐标方程；

(II)设曲线G与曲线C2的一个交点为点A(A不为极点)，直线/与。4的交点为8,

求依用.

［选修4一5：不等式选讲］

23.设mb,cGR,a+〃+c=O,abc=1.

(1)证明：ab+bc+ca<0；

(2)用"以r{a,h,c}表示a,b,c中的最大值，证明：max{a,b,(?}2牛］

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.若全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={1,3,6),B=[2,3,4},则4CCuB=(

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【分析】先利用补集的定义求出CuB,再利用交集的定义求解即可.

解：因为全集。={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4）,

所以CuB={L5,6},

故ACCuB={l,6}.

故选：B.

2.在复平面内，复数z满足（1-i）z=2,贝Uz=（）

A.2+zB.2-iC.1+zD.1-i

【分析】利用复数的运算法则直接求解.

解：在复平面内，复数z满足（1-力z=2,

故选：C.

3.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1•，甲获胜的概率是卷,则甲不输的概率为（

R911

A.—B.—C.—D.—

6563

【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出.

解：•.•甲获胜与甲、乙两人下成和棋是互斥事件.

.•.根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=i+-^.

326

故选：A.

4.在等差数列{〃〃}中，若〃2=4,674=2,则〃6=（）

A.-1B.0C.1D.6

【分析】直接利用等差中项求解即可.

解：在等差数列{小}中，若。2=4,44=2,则〃=4*（敛+。6）=/（4+%）=2，

解得“6=0.

故选：B.

5.已知非零向量；，芯满足|口=2%|,且（W-己）±b,则之与E的夹角为（）

【分析】由。-芯）/，可得a-b）-b=0,进一步得到71时圆<b>-b2=0'

然后求出夹角即可.

解：•；（a-b，-J-b，

**（a-b）*b=a*b-b

=|a||b|cos<a，b>-b=0,

cos<a，b>-J?!汗

|a[|b|

-寸」

2in22，

•,<a,b>€[0,冗],

.・〈，b>4.

故选：B.

6.要得到函数y=cos（2x+3）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）

A.向左平移个单位B.向左平移3个单位

C.向右平移3个单位D.向右平移微个单位

【分析】由题意利用函数y=4sin（3x+（p）的图象变换规律，得出结论.

解：将函数尸cos2x的图象象左平移尚■个单位，可得函数尸cos⑵+3）的图象,

故选：A.

22

7.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆2_+2一=1的一个焦点，则p=（）

3pp

A.2B.3C.4D.8

【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得.

解：由题意可得：3p-p=（与）2,解得〃=8.

故选：D.

8.曲线尸xe，+2在x=0处的切线方程为（）

A.x+y+2=0B.2x+y+2=0C.y-2=0D.x-y+2=0

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出x=0时的函数值,

利用直线方程的点斜式得答案.

解：由y=xe，+2,得y'—e'+x^,

Ay|x=o=e°+OXe°=l，

又x=0时，y—2,

二曲线y=xe<+2在x=0处的切线方程为y-2=1X（x-0）,即x-y+2=0.

故选：D

9・计算（cosy^+sirrY^"）（cosy^-sirryy）值为（）

，乙XM>L乙Xu

A.B.—C.返D.返

2222

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果.

兀K兀.H2冗.2冗冗行

解：（cosF+sin五乂cos五一sin五）-cos玄-sin宣"cos飞

故选：D.

10.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）

A.5B.8C.24D.29

【分析】由己知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的

值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

解：i=l,s=0；

第一次执行第一个判断语句后，S=l,i=2,不满足条件；

第二次执行第一个判断语句后，j=l,S=5,i=3,不满足条件；

第三次执行第一个判断语句后，S=8,i=4,满足退出循环的条件；

故输出S值为8,

故选：B.

11.己知a=k>g52,Z?=log83,。=尚，则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【分析】可得出log52<1,logg3>I,然后即可得出a,b,c的大小关系.

2

解「1吟2<1哮5万4，log83>log88等

,\a<c<b.

故选：C.

12.若定义在R的奇函数/(x)在(-8,0)单调递减，且/(2)=0,则满足引>(X-1)

的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]UfO,1|C.[-1,0]U[l,

D.[-1,0]U[l,3]

【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解

即可.

解：,定义在R的奇函数f(x)在(-8,0)单调递减，且f(2)—0,f(x)的大致

图象如图

.V(x)在(0,+8)上单调递减，且/(-2)=0；

故/(-1)<0；

当x=0时，不等式引'(x-1)20成立,

当x=l时，不等式q'(x-1)20成立,

当x-1=2或x-1=-2时，，即x=3或x=-l时，不等式对'(x-1)20成立,

当x>0时，不等式犷'(x-1)20等价为f(x-l)20,

x>0

此时<此时1cxW3,

0<x-l<2'

当xVO时，不等式犷'(x-1)20等价为f(x-l)<0,

x<0

即<得-lWx<0,

-24x-l<0

综上-IWxWO或lWx<3,

即实数x的取值范围是[-1,O]U[1,3],

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

*已知向量;=(L2),1=(m,3),若(.)//%则**

【分析】先由向量坐标运算法则求出京21=(1+2〃?，8),再由(熹2,)〃6列方程

能求出m.

解：因为向量@=(1，2),匕=(〃7，3),

所以W+21=(l+2/n,8),

因为("a+2b)〃总

所以8〃2=3+6m，解得m115.

故答案为：

x-y》O

14.若x,y满足约束条件,乂厉-2<0，贝4z=3x-4y的最小值为一1

y》0

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x

-4y的最小值.

解：由z=3x-4y,得〉=冬-年，作出不等式对应的可行域(阴影部分),

44

平移直线y=gx-?,由平移可知当直线尸gx-3，

4444

经过点8(1,1)时，直线丫=务-Z•的截距最大，此时z取得最小值，

44

将B的坐标代入z=3x-4y=3-4=-1,

即目标函数z=3x-4y的最小值为-1.

故答案为：-1.

15.设｛〃〃｝是首项为0，公差为-1的等差数列，S〃为其前〃项和，若$,52,S4成等比数

歹！I,则m的值为.

----2~

【分析】由条件求得，S尸n(2.+l-n)_,再根据&)$4成等比数列，可得S「=

22

S|・S4,由此求得0的值.

e……一加/、/、n(ai+ar.)n(2ai+l-n)

解：由题忌可得，a,t=a\+(H-1)(-1)=〃i+l-n,Sn=-------1-=-------1-----------,

22

2=

再根据若Si,S2,S4成等比数列，可得S2S1-S4,即(2a「l)2=m・(4m-6),

解得a\=-

故答案为：—

22

16.已知n,乃为椭圆c：二+二=1的两个焦点，P,。为c上关于坐标原点对称的两

164

点，且|PQ|=|FIF2|,则四边形PQ0F2的面积为8.

【分析】判断四边形PQQB为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可.

解：因为P，。为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|Fi3|,

所以四边形PQQB为矩形，

设|PFi|=机，\PFi\=n,

由椭圆的定义可得11PBi+|PB||=〃?+〃=2a=8,

所以〃，+2"1〃+”2=64,

因为|尸四2+伊同|2=|尸1尸2|2=4/=4（。2-6）=48,

即加2+“2=48,

所以mn=S,

所以四边形PFxQFi的面积为|PQ||PF2|=〃?〃=8.

故答案为：8.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分.

17.某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据:

X24568

y3040605070

n

£x^^y.-nxy-*

1=1____________-「

参考公式：b==~~;-----------,a=y-bx-

v2—2

〉,x「nx

1=1

（1）求回归直线方程;

（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？

【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解.

（2）将x=12代入上式的线性回归方程中，即可求解.

解：（I）...短2+4+裂+8咤，］=3。+4。+6?+5。+7。=50,小小逐

55i=l

5

£X1y.=1380>

i=l

5____

£xdy--5x-y

A_i=l11380-5X5X50

-6.5,=50-6.5X5=17.5,

b5-2145-5X52a

£x：2-5x

i=l

，因此回归直线方程为y=6.5x+17.5.

(2)当x=12时，预报y的值为>=12X6.5+17.5=95.5万元,

即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元.

18.记S,为等差数列｛斯｝的前〃项和，已知的=1,55=25.

（1）求｛小｝的通项公式；

（2）设仇=―J---,求数列｛5｝的前”项和.

ananM

【分析】（1）设等差数列｛”“｝的公差为d,根据0=1,S5=25可求出〃值，从而利用等

差数列的通项公式求出出即可；

（2）由（1）可知为=---=7--（―^―-—^―）,从而利用裂

a

anrn-l（2n-l）（2n+l）22n-l2n+l

项求和法即可求出数列｛6“｝的前n项和T„.

解：（1）设等差数列｛如｝的公差为4,

由SS=5〃3=5（m+2d）=25,得m+2d=5,又0=1,所以d=2,

所以斯=1+2(??-1)=2n-1；

111

(2)由(1)可知d=---(-2-n--l)(2n+l)=-2(2rrT2n+l),

ananH

所以Tn=^-(1-小春-小-当…+•11n

2335572n-l2n+l2^1

19.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且C=q~,a=6.

(I)若c=14,求sinA的值；

（II）若△ABC的面积为3』，求c的值.

【分析】（/）利用正弦定理即可得出.

（〃）利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出.

解：(I)在△A8C中，"

sinAsmC

sinA="^"sinC，艮口sinA=-^rsin3~~=T-rV3-

C14o14

(II),**S△皿c^absinC，解得b=2.

91

又：c2=a2+b2-2出osC,...c=4+36-2X2X6X(4)=52，

C=2A/13.

20.已知椭圆C："=1(0</n<5)的离心率为返A,8分别为C的左、右顶点.

2

25m4

(1)求C的方程；

(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|8Q|,BPVBQ,求△AP。的面积.

【分析】（1）根据e=£,〃=25,拄="落代入计算的值，求出C的方程即可；

a

（2）法一：设出尸，。的坐标，得到关于s,f,〃的方程组，求出方（8,1）,与（11,

2）,从而求出△APQ的面积.法二：画出椭圆的图象，求出P点坐标，结合图象求出

△APQ的面积即可.

解：（1）由e=£得e2=i-《，即生=1-式，至，

2

aa162516

22

故c的方程是：江16y=i；

2525

（2）代数方法:

由（1）A（-5,0）,设P（s,力，点。（6,«）,

根据对称性，只需考虑">0的情况，

c

此时-5<s<5,0<fW义，

4

"：\BP\=\BQ\,.•.有（5-5）2+卢=*+1①,

又.•.s-5+〃f=0②，

21仁.2

又且_+旭J=1③，

2525

's=3fs=-3

联立①②③得，1=1或,t=l，

n=2n=8

's=3

当，t=l时，贝【JP（3,1）,Q（6,2）,而A（-5,0）,

n=2

则（法一）^p=（8,1）,须=（11,2）,

•质2T正.而）2.8X2-11X1|奇,

卜=-3

同理可得当，t=l时，SAAPQ=£,

,n=8

综上，取上的面积是参

法二：；P（3,1）,Q（6,2）,

,直线尸。的方程为：x-3）-=0,

5

:.点A到直线PQ：x-3y=0的距离d=r——，

v10

而IPQ=JT5，

.c_1r—5_5

数形结合方法：如图示：

①当P点在y轴左侧时，过P点作PMLAB,直线x=6和x轴交于N(6,0)点，

易知彩△8QN,:.NB=PM=T,

2-L.

故y=l时，2_+25=1，解得：x=±3,(x=3舍)，

25正

故P(-3,1),易得BM=8,QN=8,

==

故S/\APQS^AQN-SdAPB-SAPBQ-S^BQN-^-(11X8-10X1-365义065)-1X8)

一5

~2,

②当尸点在y轴右侧时，同理可得x=3,即P(3,1),BM=2,NQ=2,

,5

故S^\APQ=­J

综上，^尸。的面积是奈

21.已知函数/(九)=ax+btx(Q€R).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当〃=1时，不等式入关+1>/(x)+相对于任意xW(0,+8)恒成立，求实数机的

取值范围.

【分析】(1)求出原函数的导函数f,(x)=a43L.可知当时，/(x)>

xx

0,/(%)在(0,+8)上单调递增；当。<0时，由，(x)>0求得函数增区间，由了

(x)<0求得函数减区间；

(2)法一、设g(x)=xe，+l-"x)=xe'(-x-lnx+\(x>0),则题意等价于：当x>0

时，g(x)>加恒成立，只需g(x)min>m.利用导数求其最小值得答案.

法二、把不等式xex+\>f(x)+m变形，得到--(x+lnx)-I>m-2对于任意(0,

+8)恒成立，

利用导数求不等式左边的最小值，即可求得机-2的范围，得到修的范围.

解：(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),f'(x)=ad3L.

XX

当时，f(x)>0,：.f(x)在(0,+8)上单调递增；

当“V0时，令/(X)>0得，o<x<-』；令/(X)<0得，X〉」.

aa

则函数f(x)在(0,-工)上单调递增，在(」，XQ)上单调递减.

aa

综上所述，当。20时，f(x)在(0,+°°)上单调递增；

当“V0时，/(X)在(0,-工)上单调递增，在(-工，g)上单调递减；

aa

(2)法一、设g(x)=xex+\-f(x)=xex-x-lnx+\(x>0),

则题意等价于：当x>0时，g(x)>机恒成立，只需g(x)min>m.

gz(x)=(x+l)ex-l-^-=(x+l)----

XX

设/?(x)=xex-1,则厅(x)=(x+1)ev>0,

：.h(x)在(0,+8)上单调递增.

又〃(1)=e-1>0,h(~^~)0，

.•.存在唯一乂。6/，1)，使h(Xo)=xoeX°-l=O,即e'°=T^，

且当xW(0,xo)时，h(x)<0,即g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

当工E(xo,+°°)时，h(x)>0,即g'(x)>0,函数g(x)单调递增.

X1XQ

A"x-lne+1=2

S(x)mm=g(xo)=xoe°-x0-lnx0+l=x0'-0

即m<.2.

实数〃2的取值范围为(-8,2).

法二、不等式xei+l>/(x)对于任意xW(0,+8)恒成立，

即>x+lnx+m对于任意xE(0,+°°)恒成立，

也就是"-(x+/nx)-1>机-2对于任意在(0,4-oo)恒成立,

令g(x)=e^-x-1,g'(x)-1,

当xe(-8,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

当xe(0,+8)时，g'(x)>o,g(x)单调递增，

：.