6多元函数微积分简介(一)

空间解析几何简介

6.1

多元函数的极限与连续6.2

偏导数与全微分6.3

目录

第六章多元函数微积分一复合函数和隐函数的微分法6.4

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空间解析几何简介

6.1

多元函数的极限与连续6.2

偏导数与全微分6.3

目录

第六章多元函数微积分一复合函数和隐函数的微分法6.4

下页6.1空间解析几何简介

一、空间直角坐标系通常规定x轴，y轴，z轴的正向要遵循右手法则.横轴纵轴竖轴坐标原点6.1空间解析几何简介

Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限.ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ6.1空间解析几何简介

空间的点有序数组特殊点的表示：坐标轴上的点坐标面上的点6.1空间解析几何简介

【解】根据坐标与点的对应关系，描出各点如下图所示.【例如】

在空间直角坐标系中，标出下列各点的坐标：A(1,2,3),B(0,1,1),C(-1,0,0).6.1空间解析几何简介

●空间两点的距离公式长方体的对角线长的平方等于三条棱长的平方和，则：如图可知,该长方体的各棱长分别为：所以点和两点间的距离为已知6.1空间解析几何简介

三点为顶点的三角形是等腰三角形.【例1】（1）

求证：以【证】因为所以故三角形为等腰三角形.公式6.1空间解析几何简介

【例1】（2）一动点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离为定值1，求动点的轨迹方程.【解】因为|MO|=1，所以根据两点间的距离公式，得化简，得所求轨迹方程为6.1空间解析几何简介

二、平面与直线由两点间的距离公式得

x+2y-2z-3=0.●平面方程【解】依题意有化简后，可得点M的轨迹方程为【例2

】

求与两定点，的距离相等的点的轨迹方程.

6.1空间解析几何简介

空间中任意一个平面的方程都可表示为一个三元一次方程：此方程称为平面的一般方程【例3】（1）求过点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程.即x+y+z=1.【解】

已知平面的一般方程为将点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的坐标分别代入平面方程，得解得将此代入平面方程得6.1空间解析几何简介

【解】设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0.将三点坐标代入得【例3】（2）设平面过点P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(abc≠0)，求它的方程．将上面结果代入所设方程得，即为平面的截距式方程.整理得6.1空间解析几何简介

平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面平行于轴；平面通过轴；平面平行于面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.平面一般方程：6.1空间解析几何简介

例如，

作出下列平面.

(1)x=2;

(2)z=3;

(3)x+y=2;【解】(1)x=2表示过点(2,0,0)且平行于yOz面的平面.

(2)z=3表示过点(0,0,3)且平行于xOy面的平面.6.1空间解析几何简介

(3)x+y=2表示过点(2,0,0),(0,2,0)且与z轴平行的平面.表示过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面.6.1空间解析几何简介

※【例4】

求过x轴和点M(2,-2,3)的平面方程.【解】因为平面过x轴，所以设平面的方程为By+Cz=0.将点M(2,-2,3)代入上式，得-2B+3C=0.解得将代入方程By+Cz=0中，得因为，故所求平面方程为即3y+2z=0.6.1空间解析几何简介

●

直线方程设空间一直线为l

,

为交于l

的两个平面，方程为

直线的一般方程6.1空间解析几何简介

※点到平面的距离6.1空间解析几何简介

●曲面方程的概念【定义1】如果曲面S与三元方程F(x,y,z)

=

0有如下关系：（1）曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0，

(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0，则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程，而曲面S

称为F(x,y,z)=0的图形.定义16.1空间解析几何简介

【例5】求球心在点，半径为R的球面方程.

【解】设M(x,y,z)是球面上任意一点，则整理，得特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为根据两点间的距离公式，得【解】把原方程配方，得【例6】方程表示怎样的曲面？所以，它表示球心在点(2,0,-1),半径为的球面．6.2

多元函数的极限与连续一、多元函数的概念

【例1】圆柱的体积和它的底半径R，高H之间具有关系对于R、H在一定范围内取一对确定的值时，V都有惟一确定的值与之对应.【例2】设R是电阻R1,R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系对于R1,R2在一定范围内取一对确定的值，R都有惟一确定的值与之对应.6.2

多元函数的极限与连续自变量x，y的取值范围叫做函数的定义域，通常记为D.二元函数的定义域是平面点集。

二元及二元以上的函数统称为多元函数.z

=f(x，y).设在某一变化过程中有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y在其变化范围内所取的每一对数值，

变量z按照某一法则f，都有惟一确定的数值与之对应，则称z为x，y的二元函数，记作定义16.2

多元函数的极限与连续

平面区域：整个x,y平面或x,y平面上由几条曲线所围成的部分.围成平面区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包含边界在内的区域称为开区域.如果一个区域可以包含在一个以原点为圆心、适当大的长度为半径的圆内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域.对于自变量x,y

的一组值，对应着xoy面上的一点P（x,y）因此，二元函数也可以看作是平面上点的函数，即Z=f（P）.6.2

多元函数的极限与连续【例3】求下列函数的定义域并画出图形：.【解】（1）由对数函数的定义可知，该函数的定义域是：定义域区域如图所示.6.2

多元函数的极限与连续要使函数Z有意义，必须,即

所以，所求函数的定义域是6.2

多元函数的极限与连续二元函数z=f(x,y)的图形6.2

多元函数的极限与连续【解】由两边平方，得整理，得

※【例4】作二元函数的图形，并指出其定义域D.

定义域D为6.2

多元函数的极限与连续上述二元函数的极限又叫做二重极限.

邻域:

内有定义，如果当点P(x,y)沿任意路经趋于点时，设函数z=f(x,y)在点的某个领域f（x,y）无限趋向于一个确定的常数A，则称A是函数当P（x,y）趋于时的极限，记作定义2二、二元函数的极限6.2

多元函数的极限与连续【例5】求极限

【解】＝2.【例6】求极限

【解】6.2

多元函数的极限与连续【例7】讨论极限是否存在？

【解】因为当点P（x,y

）沿直线y=0趋于点（0，0）时，有＝0

而当点P（x,y）沿直线y=x

趋于点（0，0）时，有＝

＝所以，极限不存在.

【注意】二元函数的极限存在，是指点以任何方式趋于点时，函数都无限接近于常数Ａ．6.2

多元函数的极限与连续则称二元函数f（x,y）在点处连续.二元初等函数在其定义区域（指包含在定义域内的区域）内是连续的.

定义，如果极限存在，且设函数f（x,

y）在的某个邻域内有定义３三、二元函数的连续性数在区域D

内连续.

如果函数f（x,y）在区域D内的每一点都连续，则称函●二元函数连续性定义6.2

多元函数的极限与连续【例8】求下列极限：

（1）（2）【解】（1）（2）的间断点是(0,0)．函数不连续的点称为函数的间断点.

例如，函数6.2

多元函数的极限与连续●有界闭区域上连续的二元函数的性质

【性质1】（最大值和最小值定理)如果二元函数在有界闭区域D上连续，则该函数在D上一定有最大值和最小值。

【性质2】（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至少一次。一、多元函数的偏导数6.3偏导数与全微分●

偏导数的概念存在，则称此极限值为函数Z=f（x，y）在点处对x

的偏导数，记作

【定义1】设函数Z=f（x，y）在点(x0,y0)的某邻域内有定义，当自变量y

保持定值y0

而自变量x

在处有增量△x时，相应的函数有增量如果极限6.3偏导数与全微分即类似地,如果极限存在,那么称此极限值为函数Z=f（x，y）在点处对y的偏导数，记作即6.3偏导数与全微分即类似地，z=f（x,y）对自变量y的偏导函数记作即如果函数在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都存在，这个偏导数仍是x，y的函数，则称这个函数为对自变量x的偏导函数，记作6.3偏导数与全微分【解】

【例1】求在(1,2)的偏导数6.3偏导数与全微分【例2】设求【解】

【例3】求三元函数u=2xy+3yz+5zx的偏导数.【解】6.3偏导数与全微分在点M

处的切线关于x轴和y轴的斜率.※根据一元函数导数的几何意义知，偏导数和在几何上，分别表示曲线6.3偏导数与全微分●

高阶偏导数设函数z=f（x，y）在区域D内具有偏导数则它们仍然是x，y的函数.如果这两个偏导函数对x和对y的偏导数也存在，则称它们的偏导数是f（x，y）的二阶偏导数.（1）两次都对x求偏导数，即，记作即6.3偏导数与全微分（2）第一次对x，第二次对y求偏导数，即，记作（3）第一次对y，第二次对x求偏导数，即，记作（4）两次都对y求偏导数，即，记作二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二阶混合偏导数

二阶混合偏导数

6.3偏导数与全微分【解】【例4】设求与关系？【思考】6.3偏导数与全微分【定理1】如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数

及在区域D内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.定理说明，只要两个混合偏导数连续，则它们的结果与求导次序无关.6.3偏导数与全微分【例5】设，求【解】6.3偏导数与全微分※【例6】验证函数满足方程：【证】因此拉普拉斯方程6.3偏导数与全微分※

●

偏导数的经济意义当价格P2不变而P1发生变化时，需求量Q1和Q2将随P1变化而变化，需求量Q1和Q2对价格的弹性分别为η11称为甲商品需求量Q1对自身价格P1的直接价格偏弹性，η21称为甲商品需求量Q2对自身价格P1的交叉价格偏弹性.类似地，可定义并解释6.3偏导数与全微分【例7】已知某商品需求量Q1是该商品价格P1与另一相关商品价格P2

的函数，且Q1=120-2P1+15P2，求当时，需求的直接价格偏弹性η11及交叉价格偏弹性η12.【解】当时，

故得并且有6.3偏导数与全微分1.全微分的概念f（x+△x）－f（x）≈f

（x）△x.对x的偏增量对x的偏微分对y的偏增量对y的偏微分三、全微分6.3偏导数与全微分△z=f（x+△x，y+△y）—f（x，y）可以表示为△z=A△x+B△y+

其中A、B是x，y的函数，与△x，△y无关，是一个比

高阶的无穷小，则称A

x+B

y是二元函数Z=f（x,y）在点（x,y）处的全微分，记作dz，即dz=A△x+B△y.这时，也称二元函数Z=f（x,y）在点（x，y）处可微.

【定义2】设函数在点（x，y）的某个领域内有定义，点（x+△x，y+△y）在该邻域内，如果函数在点（x，y）的增量6.3偏导数与全微分

【定理2】如果函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，则它在点（x，y）处连续.【证】已知因为所以6.3偏导数与全微分

【定理3】（可微的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点【证】可微，则它在点处的两个偏导数必存在，且6.3偏导数与全微分【解】因为【定理4】（可微的充分条件）如果函数在点处的两个偏导数都连续，则函数在该点可微，且有

【例1】求函数

的全微分.所以6.3偏导数与全微分【解】【例2】求函数的全微分.【解】

【例3】求函数在点(2,1)处的全微分.6.3偏导数与全微分2.全微分在近似计算中的应用6.3偏导数与全微分【例4】当正圆锥体变形时，它的底面半径由30cm增大到30.1cm，高由60cm减少到59.5cm，求正圆锥体体积变化的近似值.【解】正圆锥体体积为将r=30，△r=0.1，h=60，△h=－0.5代入上式，得

6.3偏导数与全微分【例5】计算（0.99）2.02的近似值

.【解】设f(x,y)=xy

,取△x=－0.01,y=2,△y=0.02,则f（1，2）=1,6.4复合函数的偏导数一、复合函数的偏导数设函数是变量u、v的函数,而又是x,y的函数，则是x,y的复合函数.中间变量函数结构图

6.4复合函数的偏导数

【定理1】如果函数z=f(u，v)关于u，v有连续的一阶偏导数，又函数u=u(x，y),

v=v(x，y)在点(x，y)有偏导数,则复合函数z=f(u(x，y)，v(x，y))在点(x，y)的偏导数存在，且链式法则6.4复合函数的偏导数【解】