1函数极限连续

函数

1.1

极限的概念1.2

极限的运算1.3

应用与实践

1.5

目录

第一章函数极限连续

函数的连续性1.4

函数

1.1

极限的概念1.2

极限的运算1.3

应用与实践

1.5

目录

第一章函数极限连续

函数的连续性1.4

一、函数概念与性质1.1

函数

【定义1】唯一的与对应，函数关系为：例如，设学生的高考分为分时，某学院收费为元：指出此分段函数的定义域，解释其收费情况．你能在实际问题中运用分段函数吗？

【定义２】以下六种函数统称为基本初等函数：(1)常数函数(2)幂函数(3)指数函数(4)对数函数(5)三角函数(6)反三角函数二、初等函数1.1

函数1.1

函数反函数图象关于原点对称，是奇函数；是单调增函数；，是有界函数。反正弦函数：反正弦函数的图象有何特性？?●基本初等函数1.1

函数反正切函数的图象有何特性？?反正切函数图象关于原点对称，是奇函数；是单调增函数；，是有界函数。反正切函数●基本初等函数uxy自变量中间变量若的值域或其部分包含在的定义域中

二、初等函数

复合函数1.1

函数●【例1】指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的．

（1）；（2）（4）.（3）；（2）（3），，（4），，，

【注意】

要求被分解的函数尽可能是基本初等函数或简单的初等函数，分解后的几个函数消去中间变量后就是原来的函数．（1）是由复合而成的【解】1.1

函数●初等函数

由基本初等函数和常数经过有限次加、减、乘、除或复合而成的并且能用一个式子表示的函数称为初等函数。

如、等都是初等函数。分段函数和含有无限项的函数一般不是初等函数。1.1

函数表达式定义域图形性质常量幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有限次复合步骤基本初等函数有限次四则运算初等函数(用一个式子表示)

二、初等函数1.1

函数

【例1】某商店半年销售500件小器皿，均匀销售，为节约库存费，分批进货.每批订货费用（订合同手续费、旅差费、运货费等）为80元，每件器皿的库存费为每月0.4元，试列出库存费和进货费之和与批量间的函数关系.

因此半年的库存总费用为

：

【解】

设每一批进货量为件，则平均库存量为件，进货的次数为次

。总的进货费用为：所以，总费用为：

1.1

函数

三、函数模型的建立1.2

极限的概念

多边形面积逼近圆面积一、数列的极限1.引例1.2

极限的概念一、数列的极限【引例1】多边形面积逼近圆面积1.2

极限的概念

【注意】1.当不趋于某个确定的常数时，极限不存在，也称此数列的发散．2．常数列的极限为本身：

【定义1】

对于数列，若当无限增大时，无限趋于一个常数A，则称A为数列的极限，记作或也称数列收敛于A；若数列的极限不存在，就称数列发散．一、数列的极限1.2

极限的概念0，1根据极限的定义，讨论下列各数列的极限是否存在？一、数列的极限【例1】【例2】1.2

极限的概念正负交错，n无限增大，数列不趋于一个定数，无极限.极限不存在1，－1，1，－1，…，(－1)n+1，…【例5】【例3】1，3，5，

，2n－1，

【例6】0.3，0.33，0.333，…，0.33…3,…n个【例4】1.2

极限的概念

xyo１.当

时，函数

的极限

观察图可知：二、函数的极限当和时,

,【解】

作

图象已知函数,当时,讨论的变化趋势.【引例1】因此可记作1.2

极限的概念１.当

时，函数

的极限

二、函数的极限

【定义2】

如果当x的绝对值无限增大，函数的值无限趋于一个常数A，则称A为函数的极限，记作

【定理1】

1.2

极限的概念

【例1】已知函数y=arctanx,试讨论当时，y=arctanx是否有极限，为什么？【解】作图二、函数的极限时，时，1.2

极限的概念＝０＝1＝０不存在观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：（4）（5）＝-2（6）设则【课堂实训】1.2

极限的概念２.当

时，函数

的极限注意：，但

二、函数的极限

【定义4】设函数在点的某个邻域(点本身可以除外)内有定义，若当趋于时，函数的值趋于一个常数Ａ，则称Ａ为函数的极限，记作

1.2

极限的概念=0=8=0=1=63x9xlim)6()2(xlim)5(2lim)4(lnxlim)3(x2lim)2(tanxlim)1(23x32xx0x1x22x0x+---®®®®®®【课堂实训】1.2

极限的概念（1）无穷小是以零为极限的变量，常数中只有零是无穷小.

1.无穷小三、无穷小与无穷大

【定义6】如果（或）时，则称函数为当时的无穷小。（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的.

【注意】1.2

极限的概念为方便，也称“函数的极限是无穷大”，记为（1）

无穷大是个变量，不是常数，它表示变化趋势．

（2）

无穷大总和自变量的变化趋势相关联．

2.无穷大

【定义7】

如果当（或）时，函数的绝对值无限增大，那么称函数为当（或）时的无穷大.类似地有【注意】1.2

极限的概念例如：

３.无穷小量和无穷大量的关系

【定理2】若在自变量的某个变化过程中，函数为无穷大，则为无穷小；

若为无穷小，且，则为无穷大．1.2

极限的概念在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：

性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小．性质2：有限个无穷小的乘积为无穷小．４.无穷小量的性质性质3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小．1.2

极限的概念

【解】因为时，为无穷小,为有界函数,由性质3,得到【例６】求极限1.2

极限的概念

【定义8】设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim=0和lim=0．(１)如果，那么称是的高阶无穷小．(2)如果，那么称是的同阶无穷小特别是当c=1时，即当时，则称与是等价无穷小,记作：

.５.无穷小量阶的比较1、当时，变量x2是变量3x的（）[A]高阶无穷小[B]等阶无穷小[C]同阶无穷小[D]以上都不是2、当时，变量3x是变量2x的（）[A]高阶无穷小[B]等价无穷小[C]同阶无穷小[D]以上都不是【解】AC1.2

极限的概念【例7】单选题.1.３

极限的运算一、极限的性质（参见教材）二、极限的运算法则

【定理1】设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限存在，且limf（x)=A、limg(x)=B,则求极限的主要方法多项式与分式函数代入法求极限;消去零因子法求极限;无穷小因子分出法求极限;利用无穷小的性质求极限;*利用左右极限求分段函数极限.1.３

极限的运算（一）多项式与分式函数代入法求极限1.３

极限的运算求极限的主要方法【例2】求【解】（代入法）1.３

极限的运算故原式=【解】1.３

极限的运算※【例3】求（1）因式分解（2）有理化法（3）变量替换法消去“零因子”法：（二）消去零因子法求极限1.３

极限的运算（二）消去“零因子”法（1）因式分解

1.３

极限的运算【例4】求【解】当时，分子分母的极限都是零..先约去不为零的因子后,再求极限（2）有理化法将分子或分母有理化，约去极限为零的因式．1.３

极限的运算先对分子有理化后，再计算

【解】由于，故不能直接用公式计算.（二）消去“零因子”法【例５】求（3）变量替换法原式=【解】令1.３

极限的运算【例６】求（二）消去“零因子”法1.３

极限的运算【例９】求【解】当分子分母的极限都是无穷大．分子分母同时除以自变量的最高次幂，分出无穷小，再求极限．1.３

极限的运算（三）无穷小因子分出法求极限无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.1.３

极限的运算课堂实训无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.

【解】这是两个无穷大量相减的问题.首先进行通分运算,设法去掉“零因子”,然后运用四则运算法则求其极限.

*（四）一般采用先通分法再求极限1.３

极限的运算【例10】求所以,由复合函数求极限法则得：可简写成【解】（六）复合函数求极限方法1.３

极限的运算例11一、填空题:二、求下列各极限:1.３

极限的运算课堂实训1.３

极限的运算三、求下列各极限:1.３

极限的运算1.３

极限的运算1.观察表得，设有函数，观察下表并推测

时的变化趋势：……0.99990.99990.99830.8414……0.0010.010.11类似得，1.３

极限的运算三、两个重要极限1.函数极限为型且含有三角函数2.公式中出现的变量（可以是字母或是其它的代数式）相同且该变量趋向于零.3.公式的等价形式为1.３

极限的运算注意【解】1.３

极限的运算例1求极限:1.３

极限的运算例2【解】1.３

极限的运算求极限:例3【解】1.３

极限的运算课堂实训2.时均趋于一个确定的数2.71828…的变化趋势。2.718152.716922.704812.5937410000100010010…..2.718282.71827…1000000100000用e表该数,e是无理数，e=2.718281828…1.３

极限的运算设有函数根据下表观察:引入【注意】1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为型.2.底数中的无穷小量和指数互为倒数．（公式中的变量可以是字母或是的代数式）1.３

极限的运算3.公式的等价形式为【解】1.３

极限的运算例4【解】1.３

极限的运算例5【解法一】1.３

极限的运算例61.３

极限的运算课堂实训【解法二】1.３

极限的运算例6※1.３

极限的运算课堂实训1.３

极限的运算●重要极限的应用----复利计算公式1.３

极限的运算●重要极限的应用----复利计算公式定义1一、连续函数的概念1.4函数的连续性

设函数在的某邻域内有定义，当自变量由变到，称差为自变量在处的改变量或增量，通常用表示，即

相应地，函数值由变到，称差为函数在处的改变量或增量，记作，即●.函数的改变量1.4函数的连续性一、连续函数的概念（1）自变量由2变到2．01；（2）自变量由2变到1．99；【解】（1）（2）设函数，求下列自变量与函数的改变量。

例11.4函数的连续性O当趋向于0时，也趋向于0.即当趋向于0时，不趋向于0.即一、连续函数的概念●.函数连续定义一、连续函数的概念1.4函数的连续性

设函数在点的某个邻域内有定义，如果则称函数在点处连续。否则，称函数在处间断。函数在点处连续必须满足下面三个条件：函数在点处有定义，即有意义；函数在点处有极限，即存在；函数在点处的极限值与函数值相等，即●.函数连续定义1.4函数的连续性【解】因为，且有所以函数在处连续.故有，讨论函数在处连续．

例21.4函数的连续性●间断点

设函数在点处间断，则称为函数的间断点。

一般，对于初等函数来说，间断点就是没有定义的点；对于分段函数来说，除了每个段落考虑是否有定义外，还需考虑分段点是否连续。O第一类间断点第二类间断点不是第一类间断点的任何间断点

左极限、右极限都存在的间断点.

【思考】如何定义闭区间或半开半闭区间上的连续函数呢？1.4函数的连续性

设函数在区间内每一点连续，且要左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数为闭区间上的连续函数。

设函数在区间内每一点连续，则称函数为区间上的连续函数，区间称为函数的连续区间.定义2连续函数的图形是一条连续不间断的曲线．通俗地讲，连续函数的图形可以一笔画成．1.4函数的连续性●初等函数的连续性

设函数与函数在点处连续，则、、在点处也连续.定理1

如果函数在点处连续（即）函数在处连续，则复合函数在处必连续，且定理2

初等函数在其定义区间内均连续.定理3求初等函数在某点的极限值，就是求在该点的函数值.1.4函数的连续性●重要结论所以且函数在处连续，求极限．

例5【解】因为，1.4函数的连续性

闭区间上的连续函数必有最大值与最小值.

如果和是闭区间上的连续函数的最大值和最小值，则对介于和之间的任一实数，至少存在一点，使得.最值定理定理4介值定理定理5●闭区间上连续函数的性质1.4函数的连续性baO．．．

【解】设函数，由于函数在闭区间

上连续，且所以至少存在一点，使得

因此结论成立.

如果闭区间上的连续函数满足,则至少存在一点,使得推论证明方程在区间内至少存在一个根．

例71.5应用与实践一、复利模型

【解】(1)如果每年结息一次，则满年时的本利和为

【案例１】（复利模型）（1）设储备存款的本金为，年利率为，则年后的本利和是多少？

（2）本金10000元，存款一年，年利润为12%.在下列两种计息方式下,求到期本利和:

(ⅰ)一年计息一次；(ⅱ)按连续复利计息.如果一年均分期计算利息，则每期的利率为,滿年时就有期．于是年后的本利和为1.5应用与实践它称为复利模型．即称为连续复利模型．如果将计息期间无限缩短，期数就无限增大（），也就是产生利息后立即结算，则满年时的本利和为1.5应用与实践（2）(ⅰ)这里,,,代入复利模型(1),得本利和为(ⅱ)这里, ,