高中数学选择性必修一课件：2 1 1 倾斜角与斜率(人教版)

2.1.1倾斜角与斜率第二章

§2.1直线的倾斜角与斜率1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.学习目标交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝

若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？导语随堂演练课时对点练一、直线的倾斜角二、直线的斜率三、倾斜角和斜率的应用内容索引一、直线的倾斜角问题1

在平面中，怎样才能确定一条直线？提示两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.问题2

在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？提示直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴

与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为

.注意点：(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.正向0°知识梳理例1

(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为－30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)√解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误.√例1

(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为－30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)√解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误.√(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°√√解析根据题意，画出图形，如图所示.通过图象可知，当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.跟踪训练1

(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为

.解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.60°或120°②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为

.解析设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.135°二、直线的斜率二、直线的斜率问题3

在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？1.把一条直线的倾斜角α的

叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝

.2.直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝

.正切值tanα知识梳理注意点：(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.例2

(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.①A(2,3)，B(4,5)；则直线AB的倾斜角α满足tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.②C(－2,3)，D(2，－1)；则直线CD的倾斜角α满足tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.③P(－3,1)，Q(－3,10).解不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.解当a＝3时，斜率不存在；反思感悟求直线的斜率的两种方法(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tanα.跟踪训练2

(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为

.(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为

.1解析设直线l的斜率为k，三、倾斜角和斜率的应用问题4

当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0______不存在_____k的增减性

随α的增大而_____

随α的增大而_____设直线的倾斜角为α，斜率为k.k>0k<0知识梳理增大增大例3

已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.解由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.跟踪训练3

已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.解如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，1.知识清单：(1)直线的倾斜角及其范围.(2)直线斜率的定义和斜率公式.2.方法归纳：数形结合思想.3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.课堂小结随堂演练1.(多选)下列说法正确的是A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率，则k∈RC.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角√1234√√2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于A.2 B.1 C.－1 D.－2√12343.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为√12344.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是

.(其中m≥1)0°<α≤90°1234解析当m＝1时，倾斜角α＝90°；∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.课时对点练1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)√解析D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.基础巩固123456789101112131415162.(多选)已知直线斜率的绝对值为

则直线的倾斜角可以为A.30° B.60° C.120° D.150°√12345678910111213141516√故直线的倾斜角为60°或120°.A.60° B.30°C.120° D.150°√12345678910111213141516∴θ＝30°.√123456789101112131415165.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1√解析设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tanα1＜0，tanα2＞tanα3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.123456789101112131415166.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是√解析如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan0°＝0；12345678910111213141516故直线l的斜率的取值范围是[0,2].7.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为

.(3,0)或(0,3)解析由题意知，kPA＝－1，若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)，12345678910111213141516解得m＝3，即P(3,0).若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，解得n＝3，即P(0,3).综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3).8.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是

.(－2,1)12345678910111213141516因为直线的倾斜角为钝角，解得－2<t<1.9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？解若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1.12345678910111213141516(2)直线l与y轴平行？解若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.(4)直线的倾斜角为45°？解由题意可知，直线l的斜率k＝1，(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1).12345678910111213141516(5)直线的倾斜角为锐角？解由题意可知，直线l的斜率k>0，12345678910111213141516解得－1<m<1.10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.12345678910111213141516解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，12345678910111213141516因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是A.－2 B.－1 C.1 D.2√解析设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A

′(a－2，b＋2)，12345678910111213141516综合运用12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是√12345678910111213141516∵直线l与线段AB始终没有交点，(－∞，－1]∪[1，＋∞)1234567891011121314151614.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为

.解析设直线AB与x轴的交点为C，(图略)则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.1234567891011121314151615.直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan2α的值是√拓广探究12345678910111213141516解析∵直线l的方向向量为m＝(－1,2)，∴直线l的斜率等于－2，因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，12345678