高中数学选择性必修一课件：习题课 轨迹问题(人教A版)

习题课轨迹问题第三章

圆锥曲线的方程1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程.学习目标生活中我们处处可见轨迹的影子.导语例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹.随堂演练课时对点练一、定义法求轨迹方程二、相关点代入法求轨迹方程三、直接法求轨迹方程内容索引一、定义法求轨迹方程问题1

回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？提示圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数.例1

一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.解将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.反思感悟观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点.反思感悟观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点.跟踪训练1

已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4,0)，C

为动点，且满足sinB＋sinA＝

sinC，求点C的轨迹.即|AC|＋|BC|＝10，满足椭圆的定义.则a′＝5，c′＝4⇒b′＝3，二、相关点代入法求轨迹方程解设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，即点B的坐标可表示为(2x－2a，2y).反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.(4)化简方程得所求方程.反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.(4)化简方程得所求方程.跟踪训练2

已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，A.(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B.(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1C.(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D.(x－1)2＋2(y－1)2＝9√又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.三、直接法求轨迹方程问题2

直接法求轨迹方程的步骤有哪些？提示建系、设点列式、化简检验.(1)求动点M的轨迹Γ的方程；解设动点M(x，y)，解设点B(x，y)，点P(x0，y0)，反思感悟求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.解设P(x，y).即动点P的轨迹C的方程为x2＝8y.1.知识清单：(1)定义法求轨迹方程.(2)相关点代入法求轨迹方程.(3)直接法求轨迹方程.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点.课堂小结随堂演练1.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是√1234解析在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6＞|BC|＝4，1234解析设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)，1234∵点P在x2＋y2＝4上，3.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是____________.1234x＋y－1＝0解析由点P满足|PA|＝|PB|，可知点P的轨迹为点A(2，－3)和B(4，－1)的垂直平分线.∴其垂直平分线的斜率为－1.∴点P的轨迹方程是y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.故曲线C的轨迹是椭圆.椭圆1234课时对点练1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0,3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是√解析平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0,3)的距离之和为10＞6，所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且a＝5，c＝3，则b＝4，基础巩固123456789101112131415162.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为√解析∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，123456789101112131415163.已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是

线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是√12345678910111213141516∴点P的轨迹是以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆.4.已知椭圆

(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是A.圆 B.椭圆C.线段 D.直线√解析设椭圆的右焦点为F2，12345678910111213141516又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆.√12345678910111213141516解析设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共线，12345678910111213141516∵A2，P2，P共线，123456789101112131415166.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是√12345678910111213141516解析设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R，动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，∴|MM1|＋|MM2|＝1＋R＋5－R＝6，∵|MM1|＋|MM2|＞|M1M2|＝2，∴该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1，解得a＝3，根据a，b，c的关系求得b2＝8，12345678910111213141516解析设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)，12345678910111213141516解析设点P的坐标为(x，y)，123456789101112131415169.如图所示，Rt△ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，

顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点.(1)求边BC所在直线的方程；12345678910111213141516(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；令y＝0，得C(4,0).∴圆心M(1,0).又∵|AM|＝3，∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9.12345678910111213141516(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程.解∵P(－1,0)，M(1,0)，且圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径.又∵动圆N与圆M内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3>2.∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆.1234567891011121314151610.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆的标准方程；12345678910111213141516若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，12345678910111213141516又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.12345678910111213141516解设P(x0，y0)，Q(x，y)，∵Q为PF的中点，11.已知在△ABC中，点A(－2,0)，点B(2,0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为√12345678910111213141516综合运用解析设C(x，y)，12345678910111213141516由tan∠CAB·tan∠CBA＝2，当x＝±2时，C与A或B重合，不符合题意.12.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为√12345678910111213141516解析圆心C(－1,0)，半径为5，设点M(x，y)，∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|＝|MQ|，又|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2，即|MA|＋|MC|>|AC|，由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，1234567891011121314151612345678910111213141516√解析设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，12345678910111213141516因为|AB|＝5，解析设Q(x，y)，1234567891011121314151615.如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是A.圆 B.一条直线C.椭圆 D.两条平行直线√拓广探究12345678910111213141516解析因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.16.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.12345678910111213141516解圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.12345678910111213141516又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0).|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，所以a2＝4，b2＝3，12345678910111213141516备用工具&资料解圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|