期中复习（易错50题20个考点）-苏科版八年级《数学》上册重难点专题提优训练（解析版）

第第页期中复习（易错50题20个考点）一．全等三角形的性质（共2小题）1．已知△ABC与△DEF全等，∠A＝∠D＝90°，∠B＝37°，则∠E的度数是（）A．37° B．53° C．37°或63° D．37°或53°【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝53°．∵△ABC与△DEF全等，∴当△ABC≌△DEF时，∠E＝∠B＝37°，当△ABC≌△DFE时，∠E＝∠C＝53°．∠E的度数是37度或53度．故选：D．2．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为1或4s．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案为：1或4．二．全等三角形的判定（共4小题）3．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC【答案】C【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A＝∠D，（1）AB＝DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故A选项错误；（2）∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），故B选项错误；（3）EF＝BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，（AAS），∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；故选：C．4．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动0或4或8或12秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．【答案】见试题解答内容【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6﹣2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2+6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6+6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．5．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．故答案为：．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为1或时，△PEC与△QFC全等．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图1所示；∵△PEC与△QFC全等，∴PC＝QC．∴6﹣t＝8﹣3t．解得：t＝1．如图2所示：∵点P与点Q重合，∴△PEC与△QFC全等，∴6﹣t＝3t﹣8．解得：t＝．故答案为：1或．三．全等三角形的判定与性质（共11小题）7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【答案】D【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，综上所述：其中正确的有①③④．故选：D．8．如图BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB于F，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BDC＝180°；③AD＝AE＝EC；④AB∥CE；⑤BA+BC＝2BF．其中正确的是①②③⑤．【答案】见试题解答内容【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BD＝BC，BD＝BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正确；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE+∠BDC＝∠BDA+∠BDC＝180°，即②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC，即③正确；④根据已知条件，可得AB∥CE不一定成立，故④错误；⑤如图，过E作EG⊥BC于G点，∵E是BD上的点，∴EF＝EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，即⑤正确．故答案为：①②③⑤9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是40．【答案】40．【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD＝AB，∴△ADC≌△BAE（AAS），∴AC＝BE，DC＝AE＝2，∵CE＝6，∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8，∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积＝DC•AC+AC•BE＝×2×8+×8×8＝8+32＝40，故答案为：40．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动3秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝90°﹣α（用含α的式子表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案为：3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．（1）求∠APO+∠DCO的度数；（2）求证：AC＝AO+AP．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接BO，如图1所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，在△OBD和△OCD中，，∴△OBD≌△OCD（SAS），∴OB＝OC，又∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，又∵∠BAC＝120°，∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°；（2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠HAO＝∠CAD＝60°，又∵OH⊥BP，∴∠OHA＝90°，∴∠HOA＝30°，∴AO＝2AH，又∵BO＝PO，OH⊥BP，∴BH＝PH，又∵HP＝AP+AH，∴BH＝AP+AH，又∵AB＝BH+AH，∴AB＝AP+2AH，又∵AB＝AC，AO＝2AH，∴AC＝AP+AO．12．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；（3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中，∵，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF＝∠BDE，∴∠DEF＝∠B，又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝65°，∴∠DEF＝65°；（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF，由（2）知，∠DEF＝∠B，而∠B不可能为直角，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD与△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS）；（2）∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD＝∠DCE，AB＝CE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM＝AB，CN＝CE，∴AM＝CN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN（SAS），∴∠ADM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADN＝90°，∴∠ADM+∠ADN＝90°，∴∠MDN＝90°．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过24秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【答案】（1）①全等；②2秒，2.25cm/s；（2）24，AC．【解答】解：（1）①全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米），∵AB＝9cm，点D为AB的中点，∴BD＝4.5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm），∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDP和△CPQ中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；②假设△BPD与△CQP，∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又由∠B＝∠C，则只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，∴点P，点Q运动的时间t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒），∴vQ＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得2.25x＝1.5x+2×9，解得x＝24，∴点P共运动了24×1.5＝36（cm）．∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．故答案为：24；AC．16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．（1）求证：BE＝CG；（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AB∥CG，∴∠B＝∠DCG，在△BDE和△CDG中，∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴BE＝CG；（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．17．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5，①求证：AF⊥BD；②求AF的长度；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①证明：如图1，∵在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠AEC＝∠BEF，∴∠BFE＝∠ACE＝90°，∴AF⊥BD．②∵∠ECD＝90°，BC＝AC＝12，DC＝EC＝5，∴根据勾股定理得：BD＝13，∵S△ABD＝AD•BC＝BD•AF，即∴AF＝．（2）证明：如图2，∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+∠ACD＝∠ECD+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，∴AF⊥BD．四．全等三角形的应用（共1小题）18．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．五．角平分线的性质（共4小题）19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1 B．6 C．3 D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．20．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A．四处 B．三处 C．两处 D．一处【答案】A【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．21．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积11．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△FDE和Rt△HDG中，，∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），设△EDF的面积为x，由题意得，48﹣x＝26+x，解得x＝11，即△EDF的面积为11，故答案为：11．22．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝3：4：5．【答案】3：4：5．【解答】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，故答案为：3：4：5．六．线段垂直平分线的性质（共1小题）23．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝10．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案为：10．七．等腰三角形的性质（共3小题）24．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或12【答案】B【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝5+5+2＝12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选：B．25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故选：D．26．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【答案】B【解答】解：根据题意，①当AC+AC＝15，解得AC＝10，所以底边长＝12﹣×10＝7；②当AC+AC＝12，解得AC＝8，所以底边长＝15﹣×8＝11．所以底边长等于7或11．故选：B．八．等腰三角形的判定（共2小题）27．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有8个．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故答案为：8．28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动；同时点Q从点A出发同样的速度沿A→C→B匀速运动．当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为秒或秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：①当BP＝PQ时，如图1，由题意得：BP＝PQ＝AQ＝t，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴AP＝5﹣t，过Q作QD⊥AB于D，∴AD＝AP＝，∵∠A＝∠A，∠ADQ＝∠ACB＝90°，∴△ADQ∽△ACB，∴，∴，t＝；②当BP＝BQ时，如图2由题意得：BP＝AC+CQ＝t，∴BQ＝3+4﹣t＝7﹣t，∴7﹣t＝t，t＝；③当BQ＝PQ时，如图3，过Q作QD⊥AB于D，∴BD＝BP＝t，BQ＝7﹣t，∵∠B＝∠B，∠BDQ＝∠ACB＝90°，∴△BDQ∽△BCA，∴，∴，t＝，综上所述，t的值是秒或秒或秒．故答案为：秒或秒或秒．九．等腰三角形的判定与性质（共1小题）29．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），故选：B．一十．等边三角形的判定与性质（共2小题）30．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是400．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400．故答案为：400．31．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）故答案为：＝．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD，故答案为：＝．（3）解：CD＝1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝，∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AB＝1，AE＝2，∴AB＝BE＝1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB＝∠ENB＝90°，在△ABM和△EBN中，，∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN＝BM＝，∴CN＝1+＝，∴CD＝2CN＝3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝，∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AM∥EN，∴＝，∴＝，∴MN＝1，∴CN＝1﹣＝，∴CD＝2CN＝1，即CD＝3或1．一十一．直角三角形的性质（共1小题）32．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为90°或40°时，△AOP为直角三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：若△AOP为直角三角形，则①∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°．故答案为90°或40°．一十二．含30度角的直角三角形（共2小题）33．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．故答案为：2．34．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．一十三．勾股定理（共7小题）35．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2【答案】D【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．36．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（）A． B．2018 C． D．1【答案】C【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，OP4＝，…，以此类推，OP2018＝．故选：C．37．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为2或3厘米/秒．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴点N运动的速度为2厘米/秒．②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴点N的速度为：＝3厘米/秒．故点N的速度为2或3厘米/秒．故答案为：2或3．38．如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，分别以AB，AC，BC为边向外作等边三角形，面积分别记为S1，S2，S3，则S1+S2+S3的值等于8．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵如图，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个等边三角形，∴S3＝c2，S2＝a2，S1＝b2，又∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．∴S1+S2+S3＝2S3＝2××42＝8．故答案为：8．39．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝169．【答案】169．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144，∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝169；故答案为：169．40．如图，∠AOB＝90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM＝，点M′与点M关于射线OP对称，且直线MM′与射线OA交于点N．当△ONM'为等腰三角形时，ON的长为3或1．【答案】见试题解答内容【解答】解：M'位置有两种情况，Ⅰ．M'在∠AOB内部，如图1，∵点M′与点M关于射线OP对称，△ONM'为等腰三角形，∴M′N＝OM′＝OM＝，MH＝M′H，∵∠AOB＝90°，cos∠OMN＝∴，解得MH＝，∴MN＝2，在Rt△MON中，ON＝＝3Ⅱ．M'在∠AOB外部，如图2，过N点作QN⊥OM′，∵△ONM'为等腰三角形，即M′N＝ON，∴M′Q＝M′O，∵OM＝，点M′与点M关于射线OP对称，∴M′Q＝，OM＝OM′，∴∠OM′M＝∠OMM′，cos∠OM′M＝，cos∠OMM′＝，设ON＝M′N＝x，MH＝M′H＝y，，解得：x＝1，y＝，综上所述：当△ONM'为等腰三角形时，ON的长为3或1．故答案为3，1．41．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts．（1）出发2s后，求MN的长；（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？（3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值．【答案】（1）MN的长为4cm．（2）出发s后△MNB是等腰三角形．（3）当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形．【解答】解：（1）当t＝2时，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm．∵AB＝16cm，∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，MN＝＝＝4（cm），即MN的长为4cm．（2）由题意可知AN＝2t，BM＝4t，又∵AB＝16cm，∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm，当△PQB为等腰三角形时，则有BM＝BN，∴16﹣2t＝4t，解得t＝，∴出发s后△MNB是等腰三角形．（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm，当点M在AC上运动时，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t，∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12，∵△BCM为等腰三角形，∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况：①当BM＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC，则CE＝CM＝2t﹣6，在Rt△ABC中，可求得BE＝；在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去），②当CM＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6，③当CM＝BM时，则∠C＝∠MBC，∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA，∴∠A＝∠MBA，∴MB＝MA，∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5，综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形．一十四．勾股定理的证明（共2小题）42．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．9 B．36 C．27 D．34【答案】B【解答】解：根据题意得：小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，45﹣9＝36．故选：B．43．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【答案】48．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．一十五．勾股定理的应用（共1小题）44．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有尺高．【答案】见试题解答内容【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝．故答案为：．一十六．生活中的轴对称现象（共1小题）45．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2020的坐标是（）A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）【答案】B【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点P2020的坐标是（﹣2，4），故选：B．一十七．轴对称的性质（共2小题）46．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，连接AD，取AD中点G，连接EG、FG，过点A作AH⊥BC于H，∵DE⊥A