高中数学选择性必修一课件：3 2 1 双曲线及其标准方程(人教A版)

第三章

§3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一双曲线的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的

等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.2.定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.3.焦点：两个

.4.焦距：

的距离，表示为|F1F2|.绝对值定点F1，F2两焦点间思考(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答案当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？答案点M在双曲线的右支上.知识点二双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程______________________________________焦点________________________________a，b，c的关系c2＝_______(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a2＋b2思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(

)2.平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线.(

)3.双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b.(

)4.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同.(

)××××2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO一、双曲线的定义的应用解析由题意得由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.A.11 B.9 C.5 D.3√解析由题意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)故选B.A.11 B.9 C.5 D.3√解析由题意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)故选B.(2)设F1，F2分别是双曲线x2－

＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于√在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∴＝

|PF1||PF2|＝24.二、求双曲线的标准方程解得a2＝3，b2＝5.解设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.因为点P，Q在双曲线上，反思感悟求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.解得a2＝8，b2＝4，解析∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0.k>5或－2<k<2解得k>5或－2<k<2.核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO双曲线在生活中的应用典例由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？解设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x

轴，线段AB的垂直平分线为y

轴建立直角坐标系，∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.素养提升利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).3随堂演练PARTTHREE1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线√12345解析F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线.A.－2＜m＜2 B.m＞0C.m≥0 D.|m|≥2√12345解析∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.√12345A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件√12345⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，123451.知识清单：(1)双曲线的定义.(2)双曲线的标准方程.2.方法归纳：待定系数法、分类讨论.3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，

忽略双曲线上的点到焦点距离的范围.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是√基础巩固解析由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，123456789101112131415162.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为√12345678910111213141516√由其焦距为4，得c＝2，12345678910111213141516A.3或7 B.6或14 C.3 D.7√解析连接ON，ON是△PF1F2的中位线，∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，123456789101112131415165.(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是A.2 B.－1 C.4 D.－3√√∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，123456789101112131415166.若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为__________.12345678910111213141516(2，＋∞)解析由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，即有m>0，且m－2>0，解得m>2.12345678910111213141516解析由题意，

知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3).12345678910111213141516又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，1234567891011121314151612345678910111213141516依题意知b2＝25－a2，化简得4a4－129a2＋125＝0，12345678910111213141516不合题意，舍去，∴a2＝1，b2＝24，1234567891011121314151612345678910111213141516解如图所示，则MF1⊥MF2，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，

①又m2＋n2＝(2c)2＝80，

②由①②得m·n＝8，12345678910111213141516解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，1234567891011121314151611.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆

C.椭圆 D.双曲线√综合运用解析设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).1234567891011121314151612.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于A.2 B.4 C.6 D.8√12345678910111213141516解析不妨设P是双曲线右支上一点，12345678910111213141516∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故选B.12345678910111213141516因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP).所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，1234567891011121314151614.已知双曲线C：

－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝_____，△PF1Q的周长为_____.12345678910111213141516又点P的横坐标为2，∴PQ⊥x轴.又P，Q在双曲线的右支上，12345678910111213141516拓广探究2k(a－m)12345678910111213141516解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，|BF2|＝2m＋|BF1|，|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m).1234567891011121314151616.已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.12345678910111213141516解设顶点A的坐标为(x，y)，则当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).12345678910111213141516备用工具&资料16.已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.12345678910111213141516拓广探究2k(a－m)12345678910111213141516知识点一双曲线的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的