高中数学选择性必修一课件：3 1 2 第1课时 椭圆的简单几何性质(人教A版)

第1课时椭圆的简单几何性质第三章

3.1.2椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.学习目标与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.导语随堂演练课时对点练一、椭圆的几何性质二、由椭圆的几何性质求标准方程三、求椭圆的离心率内容索引一、椭圆的几何性质问题1

观察椭圆

(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？提示范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程____________________________________范围________________________________________－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a知识梳理顶点____________________________________________________________________________________轴长短轴长＝

，长轴长＝____焦点焦距对称性对称轴：

对称中心：_____A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2ax轴、y轴原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.问题2

观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？如图所示，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆.椭圆的离心率：e＝

∈(0,1).注意点：知识梳理(2)离心率的范围为(0,1).(3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.反思感悟用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.跟踪训练1

已知椭圆C1：

设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；二、由椭圆的几何性质求标准方程例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，由题意，得a＝3，由题意，得b＝3，反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的标准方程.(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.(4)写出椭圆的标准方程.跟踪训练2

(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________.因为椭圆的焦点在x轴上，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点).所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，三、求椭圆的离心率解析方法一由题意可设|PF2|＝m，延伸探究1.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率.解在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，2.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围.解由题意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，反思感悟求椭圆离心率及取值范围的两种方法(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.跟踪训练3

(1)某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100km，远月点与月球表面的距离为400km.已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为√设A为近月点，B为远月点，F为月球的球心，则|AF|＝100＋1738＝1838(km)，|BF|＝400＋1738＝2138(km)，故2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988.又a＋c＝2138，所以c＝2138－1988＝150，√则由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.过点F1作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，令x＝－c，代入椭圆的方程，1.知识清单：(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系.课堂小结随堂演练1.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是√1234√2.已知椭圆的离心率为

焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为√1234则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为√1234解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，解析∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，1234则m>1，∴m＝2，课时对点练√基础巩固12345678910111213141516√解析当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m，12345678910111213141516当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，2.(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)C.椭圆C的离心率等于D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝12345678910111213141516√√√则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确；两焦点为(3,0)，(－3,0)，B错误；12345678910111213141516将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对√但焦点所在的坐标轴不同.123456789101112131415164.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为√因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，12345678910111213141516√123456789101112131415166.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面mkm，远地点B(离地心最远的一点)距地面nkm，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为Rkm，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则√12345678910111213141516√√解析∵地球的中心是椭圆的一个焦点，12345678910111213141516由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤

则长轴长的取值范围为_____.(2,4]12345678910111213141516则1<a≤2，∴2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2,4].12345678910111213141516解由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，12345678910111213141516整理得a2＝3c2.10.如图，已知椭圆

(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；12345678910111213141516解若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.解由题意知A(0，b)，F2(1,0)，12345678910111213141516解得a2＝3，又c2＝1，所以b2＝2，11.(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为

且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为√12345678910111213141516综合运用√又a2＝b2＋c2，12345678910111213141516√解析由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，12345678910111213141516∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，又e<1，解析如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，1234567891011121314151614.如图，把椭圆

的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|的值为_____.解析设椭圆的另一个焦点为F′，由椭圆的几何性质可知|P1F|＝|P7F′|，∴|P1F|＋|P7F|＝|P7F′|＋|P7F|＝2a，同理可得|P2F|＋|P6F|＝|P3F|＋|P5F|＝2|P4F|＝2a，又a＝4，故|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|＝7a＝28.123456789101112131415162815.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是√拓广探究12345678910111213141516解析当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，1234567891011121314151616.设F1，F2分别是椭圆E：

(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；12345678910111213141516解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.解设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，12345678910111213141516化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形.备用工具&资料16.设F1，F2分别是椭圆E：

(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；12345678910111213141516解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为