高中数学选择性必修一课件：2 3 3 点到直线的距离公式(人教A版)

2.3.3点到直线的距离公式第二章

§2.3直线的交点坐标与距离公式1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展

数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.学习目标距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？导语随堂演练课时对点练一、点到直线距离公式的推导二、点到直线距离公式的简单应用三、点到直线距离公式的综合应用内容索引一、点到直线距离公式的推导问题1

如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，问题2

上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？提示推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间的距离公式化简复杂.问题3

向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？问题3

向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量.距离公式：d＝

.知识梳理注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.二、点到直线距离公式的简单应用例1

(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为______.解析由点到直线的距离公式得(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于________.∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于________.∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，反思感悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可.(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可.√√三、点到直线距离公式的综合应用例2

已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.解当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.延伸探究求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解设原点为O，连接OP(图略)，易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，反思感悟解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.跟踪训练2

已知直线l过点M(－1,2)，且点A(2,3)，B(－4,5)到l的距离相等，求直线l的方程.解方法一当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，此时点A(2,3)与点B(－4,5)到直线l的距离相等，故x＝－1满足题意；当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，即x＋3y－5＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.方法二由题意得l∥AB或l过线段AB的中点.当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.1.知识清单：(1)点到直线的距离公式的推导过程；课堂小结(3)公式的应用.2.方法归纳：公式法、数形结合.3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在.随堂演练1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为√12342.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于√1234√3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是√1234解析点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，4.已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为________________________.x＋2＝0或5x＋12y－26＝01234解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.课时对点练1.点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是√解析点P(1，－1)到直线l的距离基础巩固123456789101112131415162.点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为√解析直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，123456789101112131415163.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于√123456789101112131415164.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是√解析|OP|最小即OP⊥l，123456789101112131415165.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于√12345678910111213141516√化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，6.(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0√解析设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.12345678910111213141516√即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.7.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为______________________________.12345678910111213141516由直线与原点的距离为5，所以b＝±10.8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为____.2解析设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，12345678910111213141516所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2.9.已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.12345678910111213141516即x－2y＋3＝0.点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，即△ABC的面积为4.12345678910111213141516解当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，12345678910111213141516整理得7k2－6k－1＝0，所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，设直线的方程为x＋y＝a，12345678910111213141516解得a＝6或a＝2，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.11.(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为

则点P的坐标为A.(1,2) B.(3，－4)C.(2，－1) D.(4，－3)√12345678910111213141516综合运用√解析设点P的坐标为(a，5－3a)，解得a＝1或2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1).12.当点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为A.3，－3 B.5,2C.5,1 D.7,1√解析直线l恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.1234567891011121314151613.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是12345678910111213141516√解析由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小，故所求点的坐标为(5，－3).14.已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________________.12345678910111213141516(－12,0)或(8,0)解得a＝－12或8，所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0).拓广探究12345678910111213141516解析设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，16.已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；12345678910111213141516即m与n的交点为(－21，－9).当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；将(－21，－9)代入得b＝－12，所以直线l的方程为x－y＋12＝0，故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.解设原点O到直线m的距离为d，12345678910111213141516备用工具&资料16.已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；123456789