高中数学选择性必修一课件：1 4 1 第3课时 空间中直线、平面的垂直(人教A版)

第一章

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第3课时空间中直线、平面的垂直熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点二线面垂直的向量表示知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2

分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交√解析∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.2.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为√解析由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，2.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为√解析由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，3.(多选)下列命题中，正确的命题为A.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0C.若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥aD.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直√√√解析A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确.4.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，则t的值为________.5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.2题型探究PARTTWO一、证明线线垂直问题例1如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC.证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，反思感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝

CC1.求证：AB1⊥MN.证明设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.二、证明线面垂直问题例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.证明由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，即x＋y

－z＝0. ①所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ②因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二

设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，反思感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直①将直线的方向向量用坐标表示.②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.③

判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量①将直线的方向向量用坐标表示.②求出平面的法向量.③判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.证明设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，∴EF⊥平面B1AC.令x＝1得n＝(1,1，－1)，三、证明面面垂直问题例3在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，方法一

连接AC，交BD于点O，连接OE，所以OE∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.方法二

设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z).令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0).因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.求证：平面AED⊥平面A1FD1；证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.3随堂演练PARTTHREE1.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定√12345解析a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.2.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于A.4 B.－4 C.5 D.－5√12345解析∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.3.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程A.y－z＝0 B.2y－z－1＝0C.2y－z－2＝0 D.z－1＝0√解析E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，即2－2z＝0，即z＝1.1234512345PM⊥AM解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，12345所以PM⊥AM.12345是解析如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，123451.知识清单：(1)线线垂直.(2)线面垂直.(3)面面垂直.2.方法归纳：转化法、法向量法.3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于A.－2 B.2 C.10 D.6√基础巩固12345678910111213141516解析因为a⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为√12345678910111213141516解析因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为A.(1,0，－2) B.(1,0,2) C.(－1,0,2) D.(2,0，－1)√得－x＋1－z＝0. ①联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2).123456789101112131415164.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于A.BD B.AC C.A1D D.A1A√12345678910111213141516解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.∴CE⊥BD.123456789101112131415165.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OMA.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC，MN都不垂直√12345678910111213141516√解析以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a，则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a).12345678910111213141516∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直，故选AC.6.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.12345678910111213141516－9解析由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.7.在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________.123456789101112131415160或9解析∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，12345678910111213141516分三种情况：综上，x的值为0或9.8.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝

，则n的坐标为_________________________.12345678910111213141516(－2,4,1)或(2，－4，－1)设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1).123456789101112131415169.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.12345678910111213141516证明如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).123456789101112131415161234567891011121314151610.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，12345678910111213141516求证：平面ADE⊥平面ABE.证明取BE的中点O，连接OC，又AB⊥平面BCE，所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，1234567891011121314151612345678910111213141516又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE，所以AB⊥OC.因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE，所以OC⊥平面ABE.所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0).所以平面ADE⊥平面ABE.A.EF至多与A1D，AC中的一个垂直B.EF⊥A1D，EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面√12345678910111213141516综合运用解析以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.1234567891011121314151612.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为12345678910111213141516√解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为1，PA＝a，设点F的坐标为(0，y，0)，所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.1234567891011121314151613.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________.12345678910111213141516垂直解析以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，取y＝1，则z＝1，平面PBC的法向量n＝(0,1,1)，∴EF⊥平面PBC.1234567891011121314151614.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条.123456789101112131415161解析假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，所以M(2－m，2m，2－2m)，12345678910111213141516即存在满足条件的直线MN，有且只有一条.1234567891011121314151615.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是12345678910111213141516拓广探究A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD.不存在DQ与平面A1BD垂直√解析以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2).12345678910111213141516但此方程关于λ无解.故不存在DQ与平面A1BD垂直.1234567891011121314151616.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证：A1E⊥BD；12345678910111213141516