【专题01实数】-2024年新八年级数学暑假提升讲义复习资料（沪科版）

专题01实数知识点1：平方根1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.表示：一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．3.平方根的性质：（1）正数a有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根．知识点2：算术平方根1.定义：非负数的非负平方根叫做的算术平方根．2.表示：非负数的算术平方根记作：.3.算术平方根的性质：（1）正数的算术平方根是一个正数；（2）0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．注意：具有双重非负性：①被开方数是非负数；②算术平方根本身是非负数．知识点3：立方根1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．2.表示：a的立方根记作（a为任意实数），读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方.注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．4.立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0．知识点4：无理数1.定义：无限不循环小数叫做无理数．注意：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．2.无理数与有理数的区别：（1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．【规律方法】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．知识点5：实数1.实数的定义：有理数和无理数统称实数．2.实数的分类：实数：或实数：3．实数的性质（1）绝对值：在数轴上实数对应的点与原点的距离．（2）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数.注意的是0没有倒数．（3）相反数：表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等.4．实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．5．实数大小比较（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴比较大小：在数轴右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．6．估算无理数的大小：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．题型归纳【题型1平方根】满分技法一个正数的平方根有两个，同学们往往容易遗漏负的平方根.做题时一定要核对是否正负的平方根都有.1．（2023秋•泗县期末）4的平方根是A．2 B． C．16 D．2．（2024春•瑶海区期中）0的平方根是．3．（2024春•宣州区校级期中）的平方根是．4．（2024春•黄山期中）解方程：．【题型2算术平方根】满分技法(1)求一个数的算术平方根和求一个数的平方根的方法一样，但要注意算术平方根是非负数.（2）对于带分数，要先化成假分数，再求它的算术平方根.5．（2024春•金安区校级期中）的算术平方根是A．4 B．2 C． D．6．（2024春•安庆期中）的算术平方根是A． B． C． D．7．（2024春•太湖县期中）按如图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为A． B． C．4 D．8．（2024春•合肥期中）“的平方根是”，下列各式表示正确的是A． B． C． D．9．（2024•瑶海区校级一模）计算：．10．（2024•萧县二模）观察下列各等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式：．（2）请写出你猜想的第个等式为正整数，用含的式子表示），并证明．11．（2024•合肥模拟）【观察思考】如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：【规律发现】请用含的式子表示：（1）第个图案中需要长的线段的条数为；（2）第个图案中需要长的线段的条数为；【规律应用】（3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？【题型3非负数的性质:算术平方根】关于几个非负数的和为0的问题的求解方法：目前学习过的非负数有三种:①;②;③.求解几个非负数的和为0的问题时,要先根据非负数的性质得到方程组，求得方程组的解，再代入求值。12．（2024春•潘集区期中）已知，则的值等于A．2 B． C．4 D．13．（2024春•田家庵区校级期中）若，则．14．（2024春•蜀山区期中）已知，满足等式，则．15．（2024春•瑶海区期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：．（1）求所捂的多项式；（2）若，满足：，请求出所捂的多项式的值．【题型4立方根】满分技法任何一个数都可以开立方.(2)开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号。两个与立方根有关的常用公式：,该式成立的依据是立方与开立方互为逆运算，应用时能去掉根号，起到化简的作用.(ii),可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.（3）解立方根方程破题思路:先利用等式的性质将所给式子化为的形式,再利用开立方运算求出的值,16．（2024•肥东县校级模拟）的立方根是．17．（2024•合肥模拟）的立方根是．18．（2024春•田家庵区校级期中）下列选项中正确的是A．81的立方根是3 B．的平方根是 C．立方根等于平方根的数是1 D．4的算术平方根是219．（2024春•瑶海区期中）若，，则等于A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.820．（2024春•无为市期中）求下列各式中的值：（1）；（2）．【题型5无理数】满分技法(1)对于无理数，要抓住“无限”“不循环”“小数”三个特征,缺一不可.(2)用根号形式表示的数并不都是无理数,如,.(3)无理数不能化成分数.21．（2024春•庐江县期中）下面实数中，是无理数的是A． B． C．3.1415 D．22．（2024春•蜀山区校级期中）下列四个数中，属于无理数的是A． B． C． D．23．（2024春•太湖县期中）下列各数中：，，，，3.14159，，无理数的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个24．（2024春•庐阳区校级期中）以下是无理数的是A． B． C． D．1.01001000125．（2024•淮北一模）下列实数为无理数的是A． B． C． D．【题型6实数】满分技法实数分类要注意的两点：(1)0既不是正实数，也不是负实数.(2)对于实数的分类,不能只看表面形式，还要注意对于可以化简的实数,要先对其进行化简，再分类.26．（2024春•大观区校级期中）下列实数：3.14，，，，0.121121112，中，有理数的个数为A．1 B．2 C．3 D．427．（2023秋•和县期末）下列实数3.1415，，，，（每两个0之间依次多一个中，有理数个数有A．1 B．2 C．3 D．428．（2023秋•包河区期末）下列说法正确的是①正整数和负整数统称整数；②平方等于9的数是3；③是精确到千位；④一定比大；⑤是有理数，是无理数．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个29．（2024春•庐阳区校级期中）观察下列各式：①②③（1）直接写出第④个等式．（2）请你将猜想到的规律用含自然数代数式表示出来，并说明理由．【题型7实数的性质】满分技法(1)任何一个实数都有相反数.(2)只有非零实数才有倒数.(3)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.30．（2024春•大观区校级期中）下列说法正确的是A．与2互为相反数 B．与互为倒数 C． D．是无理数31．（2024春•蜀山区期中）下列各组数中互为相反数的是A．与 B．与 C．与 D．与32．（2023春•长丰县期末）的绝对值是．33．（2023•泗县校级模拟）的倒数是A． B． C． D．【实数8实数与数轴】满分技法数轴上的点与实数是一一对应的，但与有理数不是一一对应的，即有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.34．（2023春•瑶海区期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是A． B． C． D．35．（2023春•淮南期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为A． B． C． D．36．（2023春•谯城区期末）如图，数轴上表示1，的对应点分别为，，，则点所表示的数是A． B． C． D．【实数9实数大小比较】满分技法实数比较大小的常用方法：实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数;两个正数，绝对值大的数较大;两个负数，绝对值大的数反而小；数形结合法：数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数；估算法：利用估算来确定某一实数的大致范围，从而比较大小；平方法:把两个含根号的无理数同时平方，根据平方数来比较大小；作差法:对于实数,可求出a与b的差,若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b.作商法:对于实数，若则；若则；若则.37．（2024春•黄山期中）下列各式中，正确的是A． B． C． D．38．（2024春•黄山期中）实数，0，，中，最小的数是A． B．0 C． D．39．（2024春•庐阳区校级期中）比较大小：．（填“、、或”40．（2023春•蒙城县校级期中）比较大小：．（填“、、或”【题型10估算无理数的大小】满分技法在计算中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法“夹逼法”；对于形如的无理数,常有估计它介于哪两个整数之间、比较实数的大小、表示这个数的整数部分和小数部分等考查形式.41．（2024春•芜湖期中）若整数满足，则的值是A．8 B．9 C．10 D．1142．（2024春•庐阳区校级期中）已知，在两个相邻整数之间，则这两个整数是A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和643．（2023春•和县校级期末）估计的值在A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间44．（2024春•黄山期中）已知是的整数部分，，则的平方根是．【题型11实数的运算】满分技法（1）在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用.实数混合运算的顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的；（2）去绝对值符号时，一定要先判断式子的正负，再去掉绝对值符号.45．（2023•安徽）计算：．46．（2024春•无为市期中）已知，、是有理数，且，则．47．（2023春•怀宁县期末）圆的面积比原来增加倍，则它的半径是原来的倍．A． B． C． D．48．（2024春•瑶海区期中）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，，等等；按照这个规定，若，，则的值是A．5 B．5或 C．或 D．5或49．（2023春•青阳县期末）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是．50．（2024春•田家庵区校级期中）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③；（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：；（2）请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；（3）请利用你发现的规律，计算：．过关检测1．（2023春•霍山县校级期中）9的算术平方根是A．3 B． C． D．2．（2023春•贵池区期中）9的平方根是A． B．3 C． D．3．（2023春•长丰县期末）的平方根是A．3 B． C． D．4．（2023春•庐阳区校级期末）的立方根是A．8 B． C．4 D．5．（2023春•裕安区校级期末）的算术平方根是．6．（2024春•庐阳区校级期中）计算：．7．（2023春•淮南期中）若实数的位置如图所示，则、、、，的大小关系是（用号连接）8．（2024春•黄山期中）已知，则．9．（2023春•天长市校级期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．（1）求，，的值；（2）求的平方根．10．（2024春•黄山期中）计算：．11．（2022春•宣州区校级期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为，（1）求的值．（2）求的值．12．（2024春•田家庵区校级期中）已知的平方根是，的立方根是3．（1）求的平方根；（2）若的算术平方根是4，求的立方根．专题01实数知识点1：平方根1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.表示：一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．3.平方根的性质：（1）正数a有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根．知识点2：算术平方根1.定义：非负数的非负平方根叫做的算术平方根．2.表示：非负数的算术平方根记作：.3.算术平方根的性质：（1）正数的算术平方根是一个正数；（2）0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．注意：具有双重非负性：①被开方数是非负数；②算术平方根本身是非负数．知识点3：立方根1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．2.表示：a的立方根记作（a为任意实数），读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方.注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．4.立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0．知识点4：无理数1.定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．2.无理数与有理数的区别：（1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．【规律方法】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．知识点5：实数1.实数的定义：有理数和无理数统称实数．2.实数的分类：实数：或实数：3．实数的性质（1）绝对值：在数轴上实数对应的点与原点的距离．（2）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数.注意的是0没有倒数．（3）相反数：表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等.4．实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．注意：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．5．实数大小比较（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴比较大小：在数轴右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．6．估算无理数的大小：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．题型归纳【题型1平方根】满分技法一个正数的平方根有两个，同学们往往容易遗漏负的平方根.做题时一定要核对是否正负的平方根都有.1．（2023秋•泗县期末）4的平方根是A．2 B． C．16 D．【答案】【考点】平方根【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：，的平方根是，故选：．【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．2．（2024春•瑶海区期中）0的平方根是0．【考点】21：平方根【分析】根据如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根进行解答即可．【解答】解：0的平方根是0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握平方根的定义．3．（2024春•宣州区校级期中）的平方根是．【考点】平方根【分析】由，再根据平方根定义求解即可．【解答】解：，的平方根是．故答案为：．【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，掌握平方根定义是关键．4．（2024春•黄山期中）解方程：．【考点】平方根【分析】依据平方根的性质可得到的值，然后解关于的一元一次方程即可．【解答】解：，，，解得：或．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【题型2算术平方根】满分技法(1)求一个数的算术平方根和求一个数的平方根的方法一样，但要注意算术平方根是非负数.（2）对于带分数，要先化成假分数，再求它的算术平方根.5．（2024春•金安区校级期中）的算术平方根是A．4 B．2 C． D．【答案】【分析】利用算术平方根的意义解答即可．【解答】解：，4的算术平方根为2，的算术平方根是2，故选：．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．6．（2024春•安庆期中）的算术平方根是A． B． C． D．【答案】【分析】先计算出，再计算结果的算术平方根即可．【解答】解：的算术平方根是：，故选：．【点评】本题考查算术平方根的求解，仔细审题，读懂题意是解题关键．7．（2024春•太湖县期中）按如图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为A． B． C．4 D．【答案】【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．【解答】解：第一次运算，输入16，取算术平方根为4，返回继续运算，第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算，第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果．故选：．【点评】题目主要考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算是解题关键．8．（2024春•合肥期中）“的平方根是”，下列各式表示正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用平方根的意义解答即可．【解答】解：的平方根是，．故选：．【点评】本题主要考查了平方根的意义，熟练掌握平方根的表示方法是解题的关键．9．（2024•瑶海区校级一模）计算：．【答案】．【分析】直接根据算术平方根的运算法则计算即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题考查的是算术平方根，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．10．（2024•萧县二模）观察下列各等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式：．（2）请写出你猜想的第个等式为正整数，用含的式子表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析．【分析】（1）根据题中给出的等式的规律即可写出第5个等式；（2）根据（1）中等式的规律即可写出第个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可．【解答】（1）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；；第5个等式：；故答案为：；（2）第个等式：，证明：左边，右边，左边右边，等式成立．【点评】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键．11．（2024•合肥模拟）【观察思考】如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：【规律发现】请用含的式子表示：（1）第个图案中需要长的线段的条数为；（2）第个图案中需要长的线段的条数为；【规律应用】（3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？【答案】（1）；（2）；（3）需要长的线段200条，需要长的线段220条．【分析】（1）根据题干中所给的图案总结出规律即可；（2）根据题干中所给的图案总结出规律即可；（3）由题意可得此为第10个图案，然后代入（1）（2）中所得结论中计算即可．【解答】解：（1）第1个图案中长的线段的条数为．第2个图案中长的线段的条数为，第3个图案中长的线段的条数为，第个图案中长的线段的条数为，故答案为：；（2）第1个图案中长的线段的条数为．第2个图案中长的线段的条数为，第3个图案中长的线段的条数为，第个图案中长的线段的条数为，故答案为：；（3）由题意得，面积为的正方形图案为第10个图案，当时，，，即需要长的线段200条，需要长的线段220条．【点评】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．【题型3非负数的性质:算术平方根】满分技法关于几个非负数的和为0的问题的求解方法：目前学习过的非负数有三种:①;②;③.求解几个非负数的和为0的问题时,要先根据非负数的性质得到方程组，求得方程组的解，再代入求值。12．（2024春•潘集区期中）已知，则的值等于A．2 B． C．4 D．【答案】【分析】直接利用偶次方的性质以及算术平方根的性质得出，的值，进而得出答案．【解答】解：，，，解得：，，．故选：．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．13．（2024春•田家庵区校级期中）若，则1．【答案】1．【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再代入进行计算即可．【解答】解：由题可知，，解得，则．故答案为：1．【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．14．（2024春•蜀山区期中）已知，满足等式，则．【答案】．【分析】根据非负性的性质求出与的值，再代入进行求值即可．【解答】解：，，，解得，故．故答案为：．【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．15．（2024春•瑶海区期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：．（1）求所捂的多项式；（2）若，满足：，请求出所捂的多项式的值．【分析】（1）根据题意可得捂住部分为：，利用整式的加减的法则进行求解即可；（2）由非负数的性质可求得，的值，再代入运算即可．【解答】解：（1）根据题意得：；（2），，，解得：，，代入．【点评】本题主要考查整式的加减，非负数的性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【题型4立方根】满分技法任何一个数都可以开立方.(2)开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号。两个与立方根有关的常用公式：,该式成立的依据是立方与开立方互为逆运算，应用时能去掉根号，起到化简的作用.(ii),可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.（3）解立方根方程破题思路:先利用等式的性质将所给式子化为的形式,再利用开立方运算求出的值,16．（2024•肥东县校级模拟）的立方根是．【答案】．【分析】根据立方根的定义解答即可．【解答】解：的立方根是．故答案为：．【点评】本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．17．（2024•合肥模拟）的立方根是．【答案】．【分析】运用立方根的定义进行求解．【解答】解：，的立方根是，故答案为：．【点评】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．18．（2024春•田家庵区校级期中）下列选项中正确的是A．81的立方根是3 B．的平方根是 C．立方根等于平方根的数是1 D．4的算术平方根是2【答案】【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的定义求解．【解答】解：．3是27的立方根，故选项不符合题意；．的平方根是，故选项不符合题意；．立方根等于平方根的数是0，故选项不符合题意；．4的算术平方根是2，正确，故选项符合题意；故选：．【点评】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，根据定义逐项进行判断即可．19．（2024春•瑶海区期中）若，，则等于A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8【答案】【分析】根据算术平方根的性质即可求得答案．【解答】解：，，故选：．【点评】本题考查算术平方根及立方根，熟练掌握其性质是解题的关键．20．（2024春•无为市期中）求下列各式中的值：（1）；（2）．【分析】（1）根据平方根的定义即可求出答案．（2）根据立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1），，，．（2），，．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根，本题属于基础题型．【题型5无理数】满分技法(1)对于无理数，要抓住“无限”“不循环”“小数”三个特征,缺一不可.(2)用根号形式表示的数并不都是无理数,如,.(3)无理数不能化成分数.21．（2024春•庐江县期中）下面实数中，是无理数的是A． B． C．3.1415 D．【答案】【分析】无限不循环小数称为无理数，根据无理数的概念进行判断即可．【解答】解：是无限不循环小数，它是无理数；，3.1415，是有理数；故选：．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．22．（2024春•蜀山区校级期中）下列四个数中，属于无理数的是A． B． C． D．【答案】【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．【解答】解：是分数，，是整数，它们都不是无理数；是无限不循环小数，它是无理数；故选：．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．23．（2024春•太湖县期中）下列各数中：，，，，3.14159，，无理数的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．【解答】解：，所以在实数，，，，3.14159，中，无理数有，，共2个．故选：．【点评】本题考查了无理数、算术平方根和立方根，掌握无理数的定义是关键．24．（2024春•庐阳区校级期中）以下是无理数的是A． B． C． D．1.010010001【答案】【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：．是无理数，故本选项符合题意；．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；．1.010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．25．（2024•淮北一模）下列实数为无理数的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据无理数的定义和算术平方根逐项判断即可得．【解答】解：、是无理数，符合题意；、，是整数，不是无理数，不符合题意；、是分数，不是无理数，不符合题意；、是有限小数，不是无理数，不符合题意，故选：．【点评】本题考查了无理数和算术平方根，熟记无理数的定义“无限不循环小数是无理数”是解题关键．【题型6实数】满分技法实数分类要注意的两点：(1)0既不是正实数，也不是负实数.(2)对于实数的分类,不能只看表面形式，还要注意对于可以化简的实数,要先对其进行化简，再分类.26．（2024春•大观区校级期中）下列实数：3.14，，，，0.121121112，中，有理数的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】由于，根据有理数的定义可得到在所给数中为理数的个数为3.14，，0.121121112，．【解答】解：，在3.14，，，，0.121121112，中，有理数有3.14，，0.121121112，，共4个．故选：．【点评】本题考查的是实数的分类，掌握实数的分类是解本题的关键．27．（2023秋•和县期末）下列实数3.1415，，，，（每两个0之间依次多一个中，有理数个数有A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】根据有理数的定义解答即可．【解答】解：3.1415，，是有理数，共3个．故选：．【点评】本题考查的是实数，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．28．（2023秋•包河区期末）下列说法正确的是①正整数和负整数统称整数；②平方等于9的数是3；③是精确到千位；④一定比大；⑤是有理数，是无理数．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】【分析】根据实数，科学记数法与有效数字，逐一判断即可解答．【解答】解：①正整数、负整数和0统称整数，故①不正确；②平方等于9的数是，故②不正确；③是精确到千位，故③正确；④一定比大，故④正确；⑤是有理数，也是有理数，故⑤不正确；所以，上列说法正确的有2个，故选：．【点评】本题考查了实数，科学记数法与有效数字，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．29．（2024春•庐阳区校级期中）观察下列各式：①②③（1）直接写出第④个等式．（2）请你将猜想到的规律用含自然数代数式表示出来，并说明理由．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据各式的规律可写出第④个等式．（2）第个等式左边的被开方数的被减数是，减数的分子是，分母是，等式右边的系数是，被开方数的分子是，分母是，即可表示出代数式．【解答】解：（1）根据前面三个等式的规律，可得第④个等式为．故答案为：．（2）等式的规律为．理由如下：．【点评】本题考查规律型：数字的变化类、算术平方根，找到第个等式左边的被开方数的减数的分母是是解题的关键．【题型7实数的性质】满分技法(1)任何一个实数都有相反数.(2)只有非零实数才有倒数.(3)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.30．（2024春•大观区校级期中）下列说法正确的是A．与2互为相反数 B．与互为倒数 C． D．是无理数【答案】【分析】、、、分别根据实数的运算法则进行计算即可判定．【解答】解：、与2不互为相反数，故选项错误；、，故选项正确；、，，故选项错误；、是分数，是有理数，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了相反数，倒数，比较大小和无理数的定义，熟练化简和理解定义是关键．31．（2024春•蜀山区期中）下列各组数中互为相反数的是A．与 B．与 C．与 D．与【答案】【分析】根据算术平方根、立方根，相反数、绝对值的定义逐项进行判断即可．【解答】解：、，与互为相反数，因此选项符合题意；、，，，，因此选项不符合题意；、，与不互为相反数，因此选项不符合题意；、，，因此选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、相反数，掌握有算术平方根、立方根、绝对值、相反数的定义是正确解答的关键．32．（2023春•长丰县期末）的绝对值是．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质．33．（2023•泗县校级模拟）的倒数是A． B． C． D．【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：的倒数是；故选：．【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【实数8实数与数轴】满分技法数轴上的点与实数是一一对应的，但与有理数不是一一对应的，即有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.34．（2023春•瑶海区期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是A． B． C． D．【答案】【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示的点和之间的线段的长，进而可推出的值．【解答】解：图中直角三角形的两直角边为1，2，斜边长为，那么和之间的距离为，那么的值是：，故选：．【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中主要利用了：已知两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．35．（2023春•淮南期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为A． B． C． D．【答案】【分析】先求出张方形的边长，再根据向右动就用加法计算求解．【解答】解：正方形的边长为：，点所表示的数为：，故选：．【点评】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键．36．（2023春•谯城区期末）如图，数轴上表示1，的对应点分别为，，，则点所表示的数是A． B． C． D．【答案】【分析】先求出的长，得到的长，即可得到点所表示的数．【解答】解：表示1，的对应点分别为，，，，，点所表示的数为．故选：．【点评】本题考查实数与数轴，将点表示的数减去的长即可得到点表示的数是解题的关键．【实数9实数大小比较】满分技法实数比较大小的常用方法：实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数;两个正数，绝对值大的数较大;两个负数，绝对值大的数反而小；数形结合法：数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数；估算法：利用估算来确定某一实数的大致范围，从而比较大小；平方法:把两个含根号的无理数同时平方，根据平方数来比较大小；作差法:对于实数,可求出a与b的差,若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b.作商法:对于实数，若则；若则；若则.37．（2024春•黄山期中）下列各式中，正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】应用放缩法，求出的取值范围即可．【解答】解：，，，．故选：．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是注意放缩法的应用．38．（2024春•黄山期中）实数，0，，中，最小的数是A． B．0 C． D．【答案】【分析】先根据绝对值的性质化简，再比较与的大小，最后根据正数大于0，0大于负数，比较四个数的大小，从而得到答案即可．【解答】解：，，，，，正数大于0，0大于负数，，实数，0，，中，最小的数是，故选：．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数如何比较大小．39．（2024春•庐阳区校级期中）比较大小：．（填“、、或”【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．【解答】解：，，而，．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．40．（2023春•蒙城县校级期中）比较大小：．【答案】．【分析】将两数平方后比较大小，可得答案．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】本题考查了比较无理数的大小，掌握用平方法比较无理数的大小是关键．【题型10估算无理数的大小】满分技法在计算中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法“夹逼法”；对于形如的无理数,常有估计它介于哪两个整数之间、比较实数的大小、表示这个数的整数部分和小数部分等考查形式.41．（2024春•芜湖期中）若整数满足，则的值是A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据算术平方根的定义得到，，则，，然后把、9、10、11代入进行检验可得到时满足两个条件．【解答】解：，，，，，，，，整数为10．故选：．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．42．（2024春•庐阳区校级期中）已知，在两个相邻整数之间，则这两个整数是A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6【答案】【分析】先求出的取值范围，即可得出结果．【解答】解：，，，，在两个相邻整数之间，，这两个整数为3和4，故选：．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．43．（2023春•和县校级期末）估计的值在A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【答案】【分析】直接利用估算无理数的方法得出的取值范围进而得出答案．【解答】解：，，，故选：．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．44．（2024春•黄山期中）已知是的整数部分，，则的平方根是．【答案】．【分析】由于，由此可得的整数的值；由于，根据算术平方根的定义可求，再代入计算，进一步求得平方根．【解答】解：，，，，，的平方根是；故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义以及估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．【题型11实数的运算】满分技法（1）在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用.实数混合运算的顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的；（2）去绝对值符号时，一定要先判断式子的正负，再去掉绝对值符号.45．（2023•安徽）计算：3．【答案】3．【分析】直接利用立方根的性质化简，进而得出答案．【解答】解：原式．故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握立方根的性质是解题关键．46．（2024春•无为市期中）已知，、是有理数，且，则4．【答案】4．【分析】先根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，，然后代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：，，，，，，故答案为：4．【点评】本题考查了实数的运算，偶次方和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．47．（2023春•怀宁县期末）圆的面积比原来增加倍，则它的半径是原来的倍．A． B． C． D．【答案】【分析】设圆的面积为，半径为，原来面积为，半径为，列等式计算．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了实数的运算和算术平方根，解题的关键是掌握实数的运算法则和算术平方根的定义．48．（2024春•瑶海区期中）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，，等等；按照这个规定，若，，则的值是A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】【分析】根据题意，分两边情况（1）时，，；（2）时，，，据此分别求出的值即可．【解答】解：，表示，中的较大值，，，（1）时，，，，解得或，舍去）．（2）时，，，，解得或，舍去）．综上，可得若，，则的值是5或．故选：．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及实数的运算，解答此题的关键是注意分两种情况讨论．49．（2023春•青阳县期末）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是．【答案】．【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、立方根等知识分别化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：，，，故原式．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．50．（2024春•田家庵区校级期中）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③；（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：；（2）请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；（3）请利用你发现的规律，计算：．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子；（2）根据（1）找的规律进