专题2.22解直角三角形与几何综合大题专练（培优强化30题）（原卷版）

一．解答题（共30小题）1浦东新区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F.（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长.2海淀区二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°,点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF.（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BE，若AB＝2，tanC求BE的长.3西湖区校级一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1.（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值.4闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值.5浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值.6泗洪县二模1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°,∠B＝45°,AC＝4，求AB；7萧山区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°,点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cosB求证：CE＝2AD.8漳州模拟）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°．（1）在AB边上求作点D，连接CD、使得∠CDB＝2∠A要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，当AB＝10，BC＝6时，求sin∠CDB的值．9瑶海区校级开学）小龙同学在学习三角函数知识时，老师告诉他求一个角的三角函数值，这个角应该在直角三角形环境里才好求，但是小龙在解题过程中遇到了这样一个难题，题目：在Rt△ABC中，∠C你能运用所学知识帮他解决吗？10工业园区校级自主招生）若α，β为锐角且α+β≠90°时，现有公式：tan（α+β，利用此公式求解下列问题：（1）求tan75°的值；（2）若A，B为锐角且A+B＝45°时，求（1+tanA1+tanB）的值；（3）求（1+tan1°1+tan2°1+tan3°）…11三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．12甘井区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s△CPQ的面积为S（cm2）.（1）求sinB；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围.13金山区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°,D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC=,求∠ABE的正切值.14青浦区期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC=（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离.15杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B=边BC的中点.（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值.16二七区校级期末）已知如图，cos∠ABC点M在射线BA上，BM＝8，点N在射线BC上.（1）给出条件：①MN＝7；②MN＝9；③∠BMN＝75°.能使BN的长唯一确定的条件是（填序号（2）在第（1）题中选一个使BN的长唯一确定的条件，求出此时BN的长度.17江阴市期中）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是（填“真”或“假”）命题.（2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数.（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A.①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由.②请证明△ABC为“类勾股三角形”.18海淀区校级一模）如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα=.锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sinA求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边图中提供的单位长度供补全图形使用）19宁远县校级月考）如图，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A=∠DCE=∠CBE＝90°,∠ADC=∠ABD，AC＝3，BC=20房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°,∠C＝6是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长.21雁塔区校级模拟）问题提出形ABCD的面积结果保留根号）问题探究（2）某地有两条平行的道路m、n，以及与其相交的另一条道路l，交点分别为A、B两点（如图2所示在道路m、n上分别有一点P、Q，且AP＝60m，BQ＝180m，AB＝240m，∠ABQ＝60°,现计划在道路m、n之间，道路1右侧选取两点M、N，修建四边形花园PMQN，且满足PM＝PN，∠MPN＝120°,∠MQN＝30°,想使得这个花园（四边若存在，请求出其面积的最小值；若不存在，请说明理由.22双阳区一模）如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，Q同时出发，点P从点A出发沿AC运动到终点C，速度为每秒5个单位长度，点Q从点B出发沿BC运动到终点C，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PE⊥EQ，∠PQE=∠A，点E在PQ的下方，设点P运动的时间为t秒（t＞0）.（1）CDBC=.（2）求QE的长（用含t的代数式表示）.（3）连接DE，若DE∥AC，求t的值.（4）连接BE，当△BEQ的某一个内角与∠ACD互余时，直接写出t的值.23锡山区校级二模）已知△ABC，∠B＝60°,.（1）如图1，若BC＝2，求AC的长；（2）如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B＝180°,且AD＝2DC尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹.)24鄞州区校级期中）如图1，△ABC中，tan∠Asin∠B=.（1）求的值.（2）如图2，以AC，BC为斜边在△ABC外侧作Rt△CAD和Rt△CBE，取AB中点M，连结DM，EM，若D，C，B不共线，当DM＝EM时，求△CAD和△CBE的面积之比.25衢江区期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,tan(α+β)=.利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差如tan75°=tan（30°+45°)==2+.问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题.（1）求sin75°;（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′.①求tan∠CAC′的值；②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数.26永春县模拟）如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G.（1）求证：DE⊥BF；（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值.27邛崃市模拟）如图，以△ABC的边AC上一点O作。O经过点B、C，交AC于点D．连接BD，作OG∥BD交。O于点G，交BC于点E，连接DG交BC于点F.（1）当∠ABD=∠C时，求证：AB为。O的切线；（3）若sin∠GDB求tan∠BGD的值.28武汉模拟）如图，已知BC是。O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交。O于点D，连接DO并延长交AB于点F.（1）求证：AO⊥BD；（2）已知tan∠ACE求tan∠AFO.29锡山区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°,D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E.（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝4，求cosA的值；（3）连接PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝3，ED＝5，求