专题1.10相似精讲精练（解析版）【人教版】

1.比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若=,则ad=bc.②合比性质．若,则③分比性质．若=,则=.④合分比性质．若,则⑤等比性质．若==…=，则2.比例线段（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.3.平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.4.相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形.（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况.（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.5.相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形.（2）相似多边形对应边的比叫做相似比.（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形.（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等.6.相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.7.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.8.相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度.①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度.（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）.①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形.②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.9.作图—相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.10.相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似.（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.11.位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行.（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.12.作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小.（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的.【考点1】相似图形【例1】（襄都区期中）如图，在矩形、锐角三角形、正方形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图不一定相似的是()A．矩形B．锐角三角形C．正方形D．直角三角形【分析】根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案.【解答】解：A、两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；B、两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；C、两正方形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；D、两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；故选：A.【变式1.1】（静安区校级期中）下列图形中一定相似的是()A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似【分析】根据相似图形的定义一一判断.【解答】解：直角三角形，等腰三角形，矩形不一定相似，等腰直角三角形一定相似.故选：D.【变式1.2】（奉贤区期中）下列各组图形中，一定相似的是()A．两个等腰直角三角形B．各有两边长是4和5的两个直角三角形C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形D．各有一个角是40°的两个等腰三角形【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例对各选项分析判断利用排除法求解.【解答】解：A、两个等腰直角三角形，两腰成比例，夹角都是直角相等，一定相似，故本选项符合题意；B、各有两边长是4和5的两个直角三角形，不一定相似，故本选项不符合题意；C、各有两边长是4和5的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意；D、各有一个角是40°的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意.故选：A.【变式1.3】（南海区期中）下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是()B.D.【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案.【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D.【考点2】相似图形的性质A．100oB．110oC．120oD．130o【分析】直接利用相似多边形的性质得出∠F=∠B＝70°,再利用四边形内角和定理得出答案.【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠F=∠B＝70°,故选：C.【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可.故选：C.【变式2.2】（晋州市期中）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为()A．5B．5√5【分析】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案.【解答】解：∵原矩形的长为25，宽为x，∴小矩形的长为x，宽为＝5，∵小矩形与原矩形相似，解得：x＝5√5或﹣5√5（舍去故选：B.【变式2.3】（双柏县期中）如图所示，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是()A．21cm2B．24cm2C．27cm2D．30cm2【分析】根据已知先求出矩形ABCD的面积，再利用相似多边形面积的比等于相似比的平方，进行计算即可解答.【解答】解：∵AD＝8cm，AB＝6cm，∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝8×6＝48（cm2∵矩形AEFB与矩形ABCD相似，∴矩形AEFB的面积＝矩形ABCD的面积=×48＝27（cm2故选：C.【考点3】比例的性质【例3】（秦皇岛期末）若，则的值为(【分析】根据合比性质直接进行解答即可.【解答】解：∵)D．1∴==.故选：C.【分析】由可得b＝3a，把b换成3a即可求出的值.【解答】解：∵=,∴==﹣2.故选：C.【变式3.2】（龙岗区期中）若3m＝4n（mn≠0则下列比例式成立的是()【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断.【解答】解：∵3m＝4n，∴=,=.故选：B.【变式3.3】（大埔县期中）已知且b+2d﹣f≠0，则的值为()【分析】利用等边性质，进行计算即可解答.【解答】解：∵===,∴===,∴=,故选：C.【考点4】平行线分线段的性质【例4】（镇平县期中）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则CE：BC=()【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.【解答】解：∵AG＝2，GD＝1，∵AB∥CD∥EF，∴==故选：A.【变式4.1】（富川县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=B.【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值即可求解.【解答】解：∵AB∥EF∥DC，∴=∴=,∴CB=,∴FB＝CB﹣CF=故选：B.【变式4.2】（钟山区期末）已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是()B.D.【分析】利用比例的性质得到x：b＝b：2a或b：x＝2a：b，当m∥n时，根据平行线分线段成比例定理可对各选项进行判断.【解答】解：∵x=,∴作图正确的是.故选：C.【变式4.3】（滨湖区校级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果=那么等于()【分析】由AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，易得△ADE是等腰三角形，△CDE∽△CBA，又由=,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.=【解答】解：∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠BAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ADE，==∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴=∴=,=故选：B.【考点s】相似三角形的判定条件【例5】（上蔡县期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，连接DC；再以点D为圆心，DC长为半径画弧，交CB的延长线于点E．若BE＝BD，∠E＝15°,AD=1，则下列结论正确的是()C.△EBD∽△EDCD．S△ABC=【分析】由BE＝BD，得∠BDE=∠E＝15°,由DE＝DC，得∠DCE=∠E＝15°,则∠ABC=∠BDE+∠E＝30°,∠ACD=∠ADC=∠ABC+∠DCE＝45°,可判断A错误；可求得ACB=∠ACD+∠DCE＝60°,则∠A＝90°,所以BC＝2AC＝2，由勾股定理求得AB=知AB≠2AC，可判断B错误；由∠E=∠E，∠BDE=∠DCE，可证明△EBD∽△EDC，可判断C正确；△ABC=,可判断D错误，于是得到问题的答案.【解答】解：由作图可知，AD＝AC，DE＝DC，∴∠ABC=∠BDE+∠E＝15°+15°=30°,∴∠ACD=∠ADC=∠ABC+∠DCE＝30°+15°=45°,故A错误；∴∠ABC＝30°,∠ACB=∠ACD+∠DCE＝45°+15°=60°,∴AB===,故B错误；∵∠E=∠E，∠BDE=∠DCE，故C正确；∴S△ABC＝AB•AC=×1=故选：C.【变式5.1】（来安县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，那么下列条件中，不能判D.【分析】A和B：根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D、据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可.【解答】解：A、由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；B、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；C、因为=,此时不确定∠AED=∠B，故不能确定△ADE∽△ACB；因此本选项不能判断△ADE∽△ACB，D、由,∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；故选：C.【变式5.2】（梁山县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似【分析】利用△ABC中，∠ACB＝135°,BCAC＝2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可.【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°,AC＝2，BC=,在B、C、D选项中的三角形都没有135°,而在A选项中，三角形的钝角为135°,它的两边分别为1和，因为，所以A选项中的三角形与△ABC相似.故选：A.【变式5.3】（东明县期末）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，①∠BEF＝90°,则图中①、②、③、④四个三角形中，一定相似的是()【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠D＝90°,推出∠ABE=∠DEF，由此证明③和④一定相似.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠DEF，∴△ABE∽△DEF，即③和④一定相似，故选：B.【考点6】相似三角形的性质【例6】（渭滨区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为()【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，当△PAE∽△PBC时即=,解得，x=,当△PAE∽△CBP时即=,解得，x＝2或6，可得：满足条件的点P的个数有3个.故选：C.【变式6.1】（渝中区校级期末）已知两个相似三角形的对应边之比为9：4，则这两个相似三角形的周长之【分析】根据相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比求解.【解答】解：两个相似三角形的对应边之比为9：4，则这两个相似三角形的周长之比9：4.故选：B.【变式6.2】（肇源县模拟）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是()A．12B．16C．12或16D．以上都不对【分析】为两种情况：①∠ADE=∠C，根据△ADE∽△ACB，得出代入求出DE即可；②∠ADE′=∠B，根据△ADE∽△ABC，得出代入求出即可.【解答】解：∵∠A=∠A，分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE=∠C∴△ADE∽△ACB，∴=,∵∠A=∠A，∴=,∴=,故选：C.【变式6.3】（永嘉县校级模拟）两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为()B.D.【分析】由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．利用相似三角形的性质构建方程组，求出x，y（用a表示再利用勾股定理求出AD，CD（用a表示）即可解决问题.【解答】解：由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y.∴AH＝y+2a，BE＝x+a，∵△ADH∽△BAE，∴==,∴==,∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比＝2a2：×a=,故选：D.【考点7】位似【例7】（吉安县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若OA＝2，则点G的坐标为()A3，6）B4，8）C6，12）D6，10）【分析】根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且根据相似三角形的性质求出BG即可得到答案.【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，∴△OAD∽△OBG，∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，∴△OBC∽△OEF，=,∴==,∴=,解得：BE＝12，故选：C.【变式7.1】（建平县期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为()A3，1）B3，3）C4，1）D4，4）【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标.【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2位似比为：1：2，故选：D.【变式7.2】（沙坪坝区校级期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是()【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可.【解答】解：∵△DEF和△ABC是位似图形，位似比为2：3，∴△DEF和△ABC的相似比为3：2，∴△ABC的周长=×△DEF的周长＝4，故选：D.【变式7.3】（襄都区校级月考）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△DEF，下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比1：2；④△ABC与△DEF的面积之比为2：1.其中结论正确的个数是()【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，EF＝BC，DF∥AC，DF＝AC，DE∥AB，DE＝AB，进而证明△ADEF∽△ABC，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可.【解答】解：∵AO、BO、CO的中点分别为D、E、F，∴EF∥BC，EF＝BC，DF∥AC，DF＝AC，DE∥AB，DE＝AB，∴△DEF∽△ABC，∴△DEF与△ABC是位似图形，位似中心为点O，∴△DEF与△ABC是相似图形，∴△DEF与△ABC的周长比是1：2，△DEF与△ABC的面积比是1：4，∴①②正确，③④错误.故选：B.【考点8】相似三角形的性质与判定【例8】（上蔡县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，DE⊥AB于点E.（1）证明：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，AD＝12，求的值.【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC＝90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD.∴AD⊥BC，∵•AD•BD＝•AB•DE，:DE＝【变式8.1】（费县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，上C＝上DEA．（1）求证：△ADE∞△DEC；（2）若CE＝4，DE＝6，求AD的长．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得上ADE＝上DEC，再由上C＝上DEA，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质列出比例式即可求解．【解答】（1）证明：“四边形ABCD是平行四边形，:ADⅡBC，:上ADE＝上DEC，“上C＝上DEA，:△ADE∞△DEC．（2）解：“△ADE∞△DEC，::AD＝，“CE＝4，DE＝6，:AD＝9．【变式8.2】（蓝山县期末）在矩形ABCD中，F为AD的中点，CF丄BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEF∞△BEC；（2）求cos∠BFE的值；（3）当BD＝6时，求CD的长度.【分析】（1）根据两角对应相等证明三角形相似；（2）根据矩形的性质得对边相等，证明△ABE≌△DCF（SAS再根据相似三角形对应线段成比例求出=,进而求出cos∠BFE的值；（3）先证明△DCE∽△DBC，再得△DCE∽△DBC，进而求CD的长度.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FDB=∠DBC，∵∠DEC=∠BEC，∴△DEF∽△BEC；解2）∵F为AD的中点，∴AF＝FD＝AD，∵四边形ABCD是矩形，∴△ABE≌△DCF（SAS∴BF＝FC，∴=,∵△DEF∽△BEC，∴=,∵CF⊥BD，∴cos∠BFE=;解3）∵BD＝6∵CF⊥BD，∴DC2＝BD•DE=2×6=12，【变式8.3】（吉安县期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D在AB上.（1）当△ABC∽△CBD时，求BD的长；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，说明理由；如果不平分，利用备用图，画出∠ACB的平分线CD（CD交AB于D并求BD的长.【分析】（1）根据相似三角形的性质得出比例式，再代入求出BD即可；（2）CD不平分∠ACB，画出图形，求出BC＝CE＝4【解答】解1）∵△ABC∽△CBD，∴=,=∴=解得：BD=（2）在（1）中的CD不平分∠ACB，理由是：过B作BE∥DC，交AC的延长线于E，∵DC∥BE，∴∠E=∠ACD，∠DCB=∠CBE，=, ∴=,∴∠E≠∠CBE，即∠ACD≠∠DCB，当CD平分∠ACB时，如图2，∵DC∥BE，=∴∠E=∠ACD，∠DCB=∠CBE，=∵CD平分∠ACB，∴∠E=∠CBE，∵=,∴=,解得：BD＝2.4.,【考点9】相似三角形的应用【例9】（龙泉驿区期中）小刚测量一棵树的高度，如图所示，他把镜放在水平地面上的C点，沿着直线BC后退到点F，这时恰好在镜里看到树梢顶点A的像，量得BC＝8米，CF＝2米．已知EF，AB均与地面BF垂直，小明的眼睛距离地面1.6米（即EF＝1.6米请你求出树AB的高.【分析】根据镜面反射的性质求出△CFE∽△CDE，再根据其相似比解答.【解答】解：根据题意，得∠ECF=∠ACB，∠CFE=∠CBA＝90°,则△CFE∽△CBA，=解得：AB＝6.4米.答：松树的高AB为6.4米.【变式9.1】（旅顺口区期中）如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，∠DEF＝90°,DF＝0.5m，EF＝0.3m．他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，测得边DF离地面高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB.【分析】利用相似三角形的判定得到△DEF∽△DCB，由相似三角形的性质求得BC的长，则AB＝AC+BC.【解答】解：由题意得：DC⊥BC，∴DE0.4m，答：树高AB为9m.【变式9.2】（浑南区期中）如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上.（1）求证：△AHG∽△ABC；（2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？【分析】（1）利用相似三角形的判定定理解答即可；（2）过点A作AD⊥BC于点D，AD交HG于点M，利用三角形的面积公式求得AD的长，设HG＝xcm，HE＝ycm，则DM＝ycm，AM＝AD﹣DM8﹣y）cm，利用相似三角形的性质列出比例式，得到x，y的关系式，利用矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半列出方程，将x，y的关系式代入，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得结论.【解答】（1）证明：∵四边形EFGH∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC；（2）过点A作AD⊥BC于点D，AD交HG于点M，如图，∵△ABC的面积为48cm2，∵HG∥EF，AD⊥BC，∴AM⊥HG，∴HE＝MD＝GF.设HG＝xcm，HE＝ycm，则DM＝ycm，∴AM＝AD﹣DM8﹣y）cm，由（1）知：△AHG∽△ABC， ∵矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半，=24.解得：x1＝x2＝6，∴y==4，答：矩形的长为6cm，宽为4cm.【变式9.3】（滨湖区校级期中）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G、C、A在同一水平直线上，MG⊥PA，先是小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是贺小明在P处手持自制直角三角纸板DEF（DP⊥PA其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度MN.【分析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论.【解答】解：如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，∴BC∥MG，∴△ABC∽△ANG，同理得：△DEF∽△DMQ，∴=,∵EF＝0.1米，DF＝0.2米，∴DF＝2EF，∴MQ＝DQ=×23.6＝11.8（米答：旗帜的宽度MN是1.3米.【考点10】相似三角形动点问题【例10】（灞桥区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD=2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其中一部分与△ABC相似，设运动时间为t.（1）当P在线段BC上运动时，BP6﹣t）cm，当P在线段AB上运动时，BPt﹣6）cm（请用含t的代数式表示（2）求出满足条件的所有t值.【分析】（1）根据路程＝速度×时间，分两种情形分别求解即可；（2）点P在线段BC上时，有两种情形，点P在AB上时，有两种情形，分别求解即可.【解答】解1）当P在线段BC上运动时，BP6﹣t）cm，当P在线段AB上运动时，BPt﹣6）cm故答案为6﹣t）cmt﹣6）cm.（2）如图，当△CPD∽△CAB时，=,∴t=.∴=,如图，当△ADP∽△ACB时，∴=∴t=.=∴=∴t=.=综上所述，满足条件的t的值为或2或或.【变式10.1】（罗湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式.（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP×CQ求解；（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据=CBA时，根据可求出时间t.,可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△【解答】解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，由勾股定理得PQ=;（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时即，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时即，解得t=.因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.【变式10.2】（新城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为ts（0＜t＜2连接PQ.（1）若△BPQ和△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可.【解答】解1）∵∠ACB＝90°,AC＝6cm，BC＝8cm，分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，器=,∴=,解得，t＝1，②当△BPQ∽△BCA时，=,∴=,解得，t=,∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示，则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC， 解得t=.【变式10.3】（赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°,A发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2连接PQ.（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可.【解答】解1）①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，,;;或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC＝90°,∴△ACQ∽△CMP，,解得：.【考点11】相似与位似作图问题【例11】（钟山区期末）如图①,在△ABC中，点P是AB边上的一个动点（点P不与A、B重合过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.（1）试判断△ABC与△AEP的关系，并说明理由.（2）若把满足（1）的直线PE称作“△ABC的一条相似线”，在图②的△ABC中，∠A＝36°,AB=AC，且点P在AC垂直平分线上，请问过点P的“△ABC的相似线”有几条？并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.【分析】（1）根据∠AEP=∠B，∠A=∠A，可得△ABC∽△AEP；（2）根据相似三角形的判定可得作∠ACB的平分线交AB于P，过点P分别画PM∥AC，PN∥BC，即可得出答案.【解答】解1）△ABC∽△AEP∵∠AEP=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEP；（2）共有3条，如图所示：作∠ACB的平分线交AB于P，过点P分别画PM∥AC，PN∥BC，∴PM、PC、PN所在直线即为所求作相似线.【变式11.1】（王益区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC保留作图痕迹，不写作法）【分析】作∠ABC的角平分线BD交AC于点D.【解答】解：如图，点D即为所求.【变式11.2】（兴庆区模拟）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于原点O中心对称，点A1(﹣1，2）是点A的对应点，点B1是点B（3，1）的对应点.（1）画出线段AB和A1B1；（2）画出线段AB以点O为位似中心，位似比为1：2的线段A2B2，并直接写出的值.【分析】（1）利用中心对称变换的性质作出图形即可；（2）分两种情形画出图形，可得结论.【解答】解1）如图，线段AB和A1B1即为所求；（2）如图，线段A2B2，线段A′2B′2即为所求.=1或3.【变式11.3】（北海期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，3B（3，4C（2，2）.（1）作出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格内将△ABC放大为原图形的2倍，得到△A2BC2，并写出点A2的坐标.【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可.（2）分别作出A，C的对应点A2，C2即可.【解答】解1）如图，△A1B1C1，即为所求作，C1（22）.【考点12】相似综合问题【例12】（砀山县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”.（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°,∠ADC＝145°,AB＝AD，AD∥BD是四边形ABCD的“理想对角线”；（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分上BCD，上BAD+上BCD＝180。，求证：对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”.【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质求出上ADB＝上ABD＝上CBD，求出上ADB＝上ABD=上CBD＝35。，求出上A＝上BDC＝110。，再根据相似三角形的判定推出△ABD∞△DBC即可；（2）设上ACD＝上ACB＝BCD＝x。，上DAC＝a。，根据上BAD+上BCD＝180。求出上BAD=-上ACD-上DAC＝180。-x。-a。，求出上BAC＝上D，再根据相似三角形的判定定理得出即可.【解答】证明1）“AD＝AB，:上ADB＝上ABD，“ADⅡBC，:上ADB＝上CBD，:上ADB＝上ABD＝上CBD，“上ABC＝上ABD+上CBD＝70。，“上ADC＝145。，即上A＝上BDC，“上ABD＝上CBD，:△ABD∞△DBC，:对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；（2）“AC平分上BCD，:上ACD＝上ACB，“上BAD+上BCD＝180。，由三角形内角和定理得：∠D＝180°﹣∠ACD﹣∠DAC＝180°﹣x°﹣a°,∴∠BAC=∠D，∵∠ACB=∠ACD，∴△ABC∽△DAC，∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”.【变式12.1】（郸城县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”.（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°,AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”.（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由.【分析】（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论.（2）如图2中，当∠BAD+∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．证明△ACB∽△DCA，可得结论.∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠C＝35°,∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“理想对角线”.（2）解：如图2中，当∠BAD+∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”.理由：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°,∠BAD+∠BCD=∠BAC+∠C