专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练

1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.（3）公式法：把x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0.（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac）判断方程的根的情况.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+x2q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，,反过来也成立，x1+x2=—，x1x2=（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式的值，如求，x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件.【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）xm−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为()【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二A．ax2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2是一元二次方程，则a的值是()A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正C．2x2−x+2=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1x+20化成一般形式后的常数项是.【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为，它的二次项是，一次项是，常数项是.【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为.【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为.【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为.【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是.【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0a恰好是该方程的根，则a+b的值为.【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为.的形式，则m+n的值为.【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是.【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为.【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1=,x2=.【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为.【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为.【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=a+b2−a−b2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=.【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法(2)3x2−4x−1=0（公式法【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3x＋26【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题.材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0.解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5.问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0.【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k.(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况.【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值.【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程px2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况.【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值.【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x+x+x1x2=19，求k的值.【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根.【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−=0.(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值.【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根.(2)若x1，x2是原方程的两根，且=−2，求m的值.【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2∵(x+3)2≥0∴当x=﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4.请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是.(2)求证：无论x取何值，代数式x2+26x+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值.【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：22=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解.(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求的值.2∴当x=－1时，x2+(1)x2+23x+5=x2+2×3x+( b= ；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值.【变式9.3】（2022·全国·九年