2024年高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素确实定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性阐明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不一样的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后次序，因此判定两个集合是否同样，仅需比较它们的元素是否同样，不需考查排列次序是否同样。(4)集合元素的三个特性使集合自身具备了确定性和整体性。3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示措施：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R有关“属于”的概念集合的元素一般用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的措施。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的措施。①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}4、集合的分类：（1）．有限集含有有限个元素的集合（2）．无限集含有无限个元素的集合（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包括”关系—子集注意：有两种也许（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包括于集合B,或集合B不包括集合A,记作AB或BA2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”结论：对于两个集合A与B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它自身的子集。AA②真子集:假如AB,且BA那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③假如AB,BC,那么AC④假如AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ要求:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（2）全集：假如集合S含有我们所要研究的各个集合的所有元素，这个集合就能够看作一个全集。一般用U来表示。四、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，假如按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：假如只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子故意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式故意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的重要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须不小于零；(4)指数、对数式的底必须不小于零且不等于1.(5)假如函数是由某些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都故意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不能够等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要确保实际问题故意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)组成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）组成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，因此，假如两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断措施：①体现式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页有关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，无论采取什么措施求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．集合C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也也许是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：依照函数解析式和定义域，求出x,y的某些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出对应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换措施有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的措施分析解题的思绪。提升解题的速度。发觉解题中的错误。4．了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．5．什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”给定一个集合A到B的映射，假如a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象阐明：函数是一个特殊的映射，映射是一个特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不一样的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不一样的元素，在集合B中对应的象能够是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1:函数图象既能够是连续的曲线，也能够是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2:解析法：必须注明函数的定义域；3:图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观测函数的特性；4:列表法：选用的自变量要有代表性，应能反应定义域的特性．解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.补充一：分段函数（参见课本P24-25）在定义域的不一样部分上有不一样的解析体现式的函数。在不一样的范围里求函数值时必须把自变量代入对应的体现式。分段函数的解析式不能写成几个不一样的方程，而就写函数值几个不一样的体现式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误以为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数假如y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)7．函数单调性（1）．增函数设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a<b时，都有f(a)<f(b)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）假如对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当a<b时，都有f(a)＞f(b)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当a<b时，总有f(a)<f(b)。（2）图象的特点假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具备(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定措施(A)定义法：任取a，b∈D，且a<b；2作差f(a)－f(b)；3变形（一般是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与组成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性亲密有关注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8．函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数也许没有奇偶性,也也许既是奇函数又是偶函数。2、由函数的奇偶性定义可知，函数具备奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域有关原点对称）．3、具备奇偶性的函数的图象的特性偶函数的图象有关y轴对称；奇函数的图象有关原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否有关原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出对应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域有关原点对称是函数具备奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否有关原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再依照定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑依照是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析体现式（1）.函数的解析式是函数的一个表示措施，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）.求函数的解析式的重要措施有：待定系数法、换元法、消参法等，假如已知函数解析式的结构时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的体现式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知体现式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数体现式，则常用解方程组消参的措施求出f(x)10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）（1）、利用二次函数的性质（配措施）求函数的最大（小）值.（2）、利用图象求函数的最大（小）值（3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，假如，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈*．当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）．当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根能够合并成±（>0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。注意：当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，要求：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没故意义指出：要求了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样能够推广到有理数指数幂．3．实数指数幂的运算性质（1）·；（2）；（3）．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10<a<1图象特性函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象有关原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都不小于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都不小于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增加较慢，到了某一值后增加速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还能够看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

（4）当初，若，则；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）阐明：eq\o\ac(○,1)注意底数的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意对数的书写格式．两个重要对数：eq\o\ac(○,1)常用对数：以10为底的对数；eq\o\ac(○,2)自然对数：以无理数为底的对数的对数．对数式与指数式的互化 对数式 指数式对数底数 ← →幂底数对数 ← →指数真数 ← →幂（二）对数的运算性质假如，且，，，那么：（1）·＋；（2）－；（3）．注意：换底公式（，且；，且；）．利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：eq\o\ac(○,1)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．eq\o\ac(○,2)对数函数对底数的限制：，且．2、对数函数的性质：a>10<a<1图象特性函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象有关原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都不小于0第一象限的图象纵坐标都不小于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0三、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．尤其地，当初，幂函数的图象下凸；当初，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、函数零点的求法：求函数的零点：eq\o\ac(○,1)（代数法）求方程的实数根；eq\o\ac(○,2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数．１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．高中数学必修二知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。尤其地，当直线与x轴平行或重叠时,我们要求它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反应直线与轴的倾斜程度。当初，；当初，；当初，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当初，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的次序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，因此它的方程是x=x1。②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。⑤一般式：（A，B不全为0）注意：各式的合用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（5）直线系方程：即具备某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在是否。（7）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解与重叠（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当初，方程表示圆，此时圆心为，半径为当初，表示一个点；当初，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的措施：一般都采取待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必通过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当初两圆外离，此时有公切线四条；当初两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当初两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当初，两圆内切，连心线通过切点，只有一条公切线；当初，两圆内含；当初，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特性（1）棱柱：几何特性：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特性：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相同，其相同比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：几何特性：①上下底面是相同的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其他三边旋转所成几何特性：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特性：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特性：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特性：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面对背面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反应了物体的高度和长度；俯视图反应了物体的长度和宽度；侧视图反应了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①本来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②本来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为本来的二分之一。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V=；S=4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：假如两个不重叠的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。符号语言：公理2的作用：①它是判定两个平面相交的措施。②它阐明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它能够判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理3：通过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重叠的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行空间直线与直线之间的位置关系①异面直线定义：不一样在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线相互垂直。求异面直线所成角步骤：A、利用定义结构角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aαa∩α＝Aa‖α（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α‖β相交——有一条公共直线。α∩β＝b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，通过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），（2）假如在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）假如两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）（2）假如两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线相互垂直。②线面垂直：假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直：假如两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：假如一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。性质定理：假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：要求为。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中小于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的小于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：要求为。②平面的垂线与平面所成的角：要求为。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思绪类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义核心作射影，由射影定义知核心在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个重要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面假如所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，假如两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的措施定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角高中数学必修三知识点算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上，当代意义上的“算法”一般是指能够用计算机来处理的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，并且能够在有限步之内完成.2.算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应当是确定的并且能有效地执行且得到确定的成果，而不应当是模棱两可.(3)次序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题能够有不一样的算法.(5)普遍性：诸多详细的问题，都能够设计合理的算法去处理，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以处理.1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一个用要求的图形、指向线及文字阐明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括如下几部分：表示对应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字阐明。（二）组成程序框的图形符号及其作用程序框名称起止框不可少的。表示一个算法输入和输出的信息，可用在算输入、输出框法中任何需要输入、输出的位置。赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、处理框公式等分别写在不一样的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立，成立时在出口处标判断框明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具备超出一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，并且有且仅有两个成果；另一类是多分支判断，有几个不一样的成果。5、在图形符号内描述的语言要非常简洁清楚。、算法的三种基本逻辑结构：次序结构、条件结构、循环结构。（三）1、次序结构：次序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的次序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。次序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按次序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。2、条件结构：、条件结构：功效表示一个算法的起始和结束，是任何流程图AB条件结构是指在算法中通过对条件的判断依照条件是否成立而选择不一样流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不也许同时执行A框和B框，也不也许A框、B框都不执行。一个判断结构能够有多个判断框。3、循环结构：在某些算法中，常常会出现从某处开始，按照一定条件，重复执行某一处理、循环结构：步骤的情况，这就是循环结构，重复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包括条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功效是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完成后，再判断条件P是否成立，假如仍然成立，再执行A框，如此重复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功效是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，假如P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。AP不成立pP成立成立A不成立当型循环结构直到型循环结构注意：注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包括条件结构，但不允许“死循环”在循环结构中都有一个计数变量和累加变。2量。计数变量用于统计循环次数，累加变量用于输出成果。计数变量和累加变量一般是同时．．．．．．执行的，累加一次，计数一次。1.2.1输入、输出语句和赋值语句输入、1、输入语句、（1）输入语句的一般格式图形计算器格式INPUT“提示内容”；变量INPUT“提示内容”，变量（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功效；“提示内容”提示用户输入什么样的（3）信息，变量是指程序在运行时其值是能够变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是详细的常数，不能是函数、变量或体现式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。2、输出语句、（1）输出语句的一般格式图形计算器格式PRINT“提示内容”；体现式Disp“提示内容”，变量（2）输出语句的作用是实现算法的输出成果功效；“提示内容”提示用户输入什么样的（3）信息，体现式是指程序要输出的数据；（4）输出语句能够输出常量、变量或体现式的值以及字符。3、赋值语句、（1）赋值语句的一般格式图形计算器格式变量＝体现式体现式→变量（2）赋值语句的作用是将体现式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不一样的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的体现式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是体现式，右边表达式能够是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量能够数次赋值。注意：注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是体现式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行成果是不一样的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不一样。1．2．2条件语句．．1、条件语句的一般格式有两种：、（1）IF—THEN—ELSE语句；（2）IF—THEN语句。2、IF、—THEN—ELSE语句—IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。IF条件语句1ELSE语句2ENDIFTHEN满足条件？是语句1否语句2图1图2分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，假如条件符合，则执行THEN背面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE背面的语句2。3、IF—THEN语句、—IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。IF条件THEN语句ENDIF（图3）（图4）满足条件？否是语句注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操注意：作内容，条件不满足时，结束程序；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，假如条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。1．2．3循环语句．．循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。1、WHILE语句、（1）WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是循环体WHILE条件循环体WEND满足条件？否（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，假如条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，假如条件仍符合，再次执行循环体，这个过程重复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。是2、UNTIL语句、（1）UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是DO循环体LOOPUNTIL条件循环体满足条件？是否（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，假如条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程重复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：（先由学生讨论再归纳）分析：当型循环与直到型循环的区分：（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环1.3.1辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大条约数的步骤如下：（1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商为m，n的最大条约数；若（3）：若商S0和一个余数R0；：若R0＝0，则n（2）R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；R1＝0，则R1为m，n的最大条约数；若R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个依次计算直至S2和一个余数R2；……Rn＝0，此时所得到的Rn?1即为所求的最大条约数。2、更相减损术我国早期也有求最大条约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大条约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执（1）行第二步。：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减（2）小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大条约数。例2用更相减损术求98与63的最大条约数.分析：（略）3、辗转相除法与更相减损术的区分：（1）都是求最大条约数的措施，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，尤其当两个数字大小区分较大时计算次数的区分较明显。（2）从成果体现形式来看，辗转相除法体现成果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0、这么，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。2、两种排序措施、两种排序措施：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（因为算法简单，可以举例阐明）2、冒泡排序基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放背面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......因为在排序过程中总是大数往前,小数往后,相称气泡上升,因此叫冒泡排序.1.3.3进位制1、概念：进位制是一个记数方式，用有限的数字在不一样的位置表示不一样的数值。可使用数概念：进位制字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。目前最常用的是十进制，一般使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们能够用不一样的进位制来表示。例如：十进数57，能够用二进制表示为111001，也能够用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是同样的。一般地，若k是一个不小于一的整数，那么以k为基数的k进制能够表示为：anan?1...a1a0(k)(0<an<k,0≤an?1,...,a1,a0<k)，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数第二章2.1.1简单随机抽样统计1．总体和样本总体：在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．个体：把每个研究对象叫做个体．总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量。．．．．．．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的也许性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其他各种抽样形式的基础。一般只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采取这种措施。3．简单随机抽样常用的措施：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，重要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率确保程度。4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实行抽签，，，（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。2.1.2系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采取简单随机抽样的措施抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量有关的规则分布。能够在调查允许的条件下，从不一样的样本开始抽样，对比几次样本的特点。假如有明显差异，阐明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重叠。2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样措施之一。因为它对抽样框的要求较低，实行也比较简单。更为重要的是，假如有某种与调查指标有关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小次序排队的话，使用系统抽样能够大大提升估量精度。2.1.3分层抽样1．分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特性或标志（性别、年龄等）划提成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采取简单随机抽样或系用抽样的措施抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来组成总体的样本。两种措施：1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的百分比从各层中抽取。2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的次序整洁排列，最后用系统抽样的措施抽取样本。2．分层抽样是把异质性较强的总体提成一个个同质性较强的子总体，再抽取不一样的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：（1）以调查所要分析和研究的重要变量或有关的变量作为分层的标准。（2）以确保各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层辨别的变量作为分层变量。3．分层的百分比问题：（1）按百分比分层抽样：依照各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目标比重来抽取子样本的措施。（2）不按百分比分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该措施，重要是便于对不一样层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。假如要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的百分比，使数据恢复到总体中各层实际的百分比结构。2.2.2用样本的数字特性估量总体的数字特性1、本均值：x=x1+x2+L+xnn2、．样本标准差：s=s2=(x1?x)2+(x2?x)2+L+(xn?x)2n3．用样本估量总体时，假如抽样的措施比较合理，那么样本能够反应总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可防止的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估量，但这种估量是合理的，尤其是当样本量很大时，它们确实反应了总体的信息。4．（1）假如把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）假如把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为本来的k倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x?3s,x+3s)的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理2.3.2两个变量的线性有关1、概念:（1）回归直线方程（2）回归系数2．最小二乘法3．直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估量，即可得到个体Y值的允许区间。（3）利用回归方程进行统计控制要求Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。4．应用直线回归的注意事项（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最佳先作出散点图；（3）回归直线不要外延。第三章3.1.1—3.1.2随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：基本概念：概率（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不也许事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不也许事件；（3）确定事件：必然事件和不也许事件统称为相对于条件S确实定事件；（4）随机事件：在条件S下也许发生也也许不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观测某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的百分比nAfn(A)=n为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，假如伴随试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。（6）频率与概率的区分与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数nnA的比值n，它具备一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且伴随试验次数的不停增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反应了随机事件发生的也许性的大小。频率在大量重复试验的前提下能够近似地作为这个事件的概率3.1.3概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包括、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B为不也许事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不也许事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，因此P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不也许事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，因此P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区分与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其详细包括三种不一样的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1—3.2.2古典概型及随机数的产生1、（1）古典概型的使用条件：试验成果的有限性和所有成果的等也许性。（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；A包括的基本事件数②求出事件A所包括的基本事件数，然后利用公式P（A）=总的基本事件个数3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生—1、基本概念：（1）几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与组成该事件区域的长度（面积或体积）成百分比，则称这么的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：组成事件A的区域长度（面积或体积）；P（A）=试验的所有成果所组成的区域长度（面积或体积）（3）几何概型的特点：1）试验中所有也许出现的成果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的也许性相等．高中数学必修4知识点总结第一章三角函数（初等函数二）2、角的顶点与原点重叠，角的始边与轴的非负半轴重叠，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的措施：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则本来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所正确圆心角叫做弧度．6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：，，．8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．PvxyAOPvxyAOMT12、同角三角函数的基本关系：；．13、三角函数的诱导公式：，，．，，．，，．，，．口诀：函数名称不变，符号看象限．，．，．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到本来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到本来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到本来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到本来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．函数的性质：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③频率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函数，当初，取得最小值为；当初，取得最大值为，则，，．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数函数性质图象定义域值域最值当初，；当时，．当初，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴第二章平面对量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为的向量．单位向量：长度等于个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：首尾相连．=2\*GB2⑵平行四边形法则的特点：共起点．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷运算性质：=1\*GB3①互换律：；=2\*GB3②结合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐标运算：设，，则．18、向量减法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．=2\*GB2⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．19、向量数乘运算：=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．=1\*GB3①；=2\*GB3②当初，的方向与的方向相同；当初，的方向与的方向相反；当初，．=2\*GB2⑵运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐标运算：设，则．20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，其中，则当且仅当初，向量、共线．21、平面对量基本定理：假如、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当初，点的坐标是．23、平面对量的数量积：=1\*GB2⑴．零向量与任一向量的数量积为．=2\*GB2⑵性质：设和都是非零向量，则=1\*GB3①．=2\*GB3②当与同向时，；当与反向时，；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或．设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．第三章三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵（，）．=3\*GB2⑶．26、，其中．必修5知识点总结1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．2、正弦定理的变形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④．（正弦定理重要用来处理两类问题：1、已知两边和其中一边所正确角，求其他的量。2、已知两角和一边，求其他的量。）⑤对于已知两边和其中一边所正确角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。详细的做法是：数形结合思想DbsinADbsinAAbaC当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a<bsinA，则B无解当bsinA<a≤b,则B有两解当a=bsinA或a>b时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推论：，，．(余弦定理重要处理的问题：1、已知两边和夹角，求其他的量。2、已知三边求角)6、怎样判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：=1\*GB3①若，则；CABD=2\*GB3②若，则；=3\*GB3③若，则．CABD正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能抵达，在岸边选用相距千米的C、D两点，并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定次序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．12、递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列（即：an+1<an）．13、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）．14、摆动数列：从第2项起，有些项不小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．17、假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:。注：看数列是不是等差数列有如下三种措施：①②2()③(为常数18、由三个数，，组成的等差数列能够当作最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．19、若等差数列的首项是，公差是，则．20、通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．22、等差数列的前项和的公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．③23、等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．24、假如一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有如下四种措施：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．（注：由不能得出，，成等比，由，，）26、若等比数列的首项是，公比是，则．27、通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．29、等比数列的前项和的公式：①．②30、对任意的数列{}的前项和与通项的关系：[注]：①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充足条件）.②等差{}前n项和→能够为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充足条件；若不为零，则是等差数列的充足条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不也许有等比数列）附：几个常见的数列的思想措施：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值.怎样确定使取最大值时的值，有两种措施：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列（时为一次函数）等比数列（指数型函数）数列前n项和公式对应函数等差数列（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和当作是有关n的函数，为我们处理数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列中，，则.分析：因为是等差数列，因此是有关n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，因此利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和能够当作有关n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，依照题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当初，最大。例题：3递增数列，对任意正整数n，恒成立，求分析：结构一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，因此对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，因此的取值范围是：。结构二次函数，当作函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也能够（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得⑵假如数列能够看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导措施：错位相减求和.例如：⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小