专题4一元二次方程根的判别式根与系数的关系的综合应用问题课件北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程专题4一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合应用问题数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是一元二次方

程中的两种重要工具，前者用来判断根的存在情况，属于定性

判断；后者用来研究根之间的关系，属于定量计算.两者一般结

合使用，先判断根的情况，再计算.由于没有直接求出方程的两

根，因此大大减少了计算量，熟练运用这两种工具可以有效提

高解题效率.◎要点归纳1.我们把

叫做一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的根的判别式，通常用“

”表示.一元二次方程

ax2

＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的根的情况可由Δ＝

b2－4

ac

来判断.（1）若

，则方程有两个不相等的实数根；（2）若

，则方程有两个相等的实数根；（3）若

，则方程没有实数根.b2－4

ac

Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

一元二次方程的根与系数的关系中常见的变形公式：

（5）（

x1＋

m

）（

x2＋

m

）＝

x1

x2＋

m

（

x1＋

x2）＋

m2.注意：运用一元二次方程根与系数的关系时要检查两个隐含条

件：（1）确定方程一定是一元二次方程；（2）确定方程有实

数根.数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

不解方程，判断根的情况

关于

x

的一元二次方程

x2＋（

k

－3）

x

＋1－

k

＝0的根的情

况是

⁠.有两个不相等的实数根

【思路导航】由于一元二次方程的根的情况与判别式Δ存在一个

等价关系，所以只需要判断判别式与0的大小关系即可.【解析】Δ＝（

k

－3）2－4（1－

k

）＝

k2－6

k

＋9－4＋4

k

＝

k2－2

k

＋5＝（

k

－1）2＋4.∵（

k

－1）2＋4＞0，∴Δ＞0.∴方程总有两个不相等的实数根.故答案为有两个不相等的实数根.【点拨】判断含参的一元二次方程的根的情况，一般有以下几

种情况：①Δ＞0⇔原方程有两个不相等的实数根；②Δ＝0⇔原方程有两个相等的实数根；③Δ＜0⇔原方程没有实数根.所以，关键是确定判别式与0的大小关系.

1.（2023·河南）关于

x

的一元二次方程

x2＋

mx

－8＝0的根的情

况是（

A

）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A2.直线

y

＝

x

＋

a

不经过第二象限，则关于

x

的方程

ax2＋2

x

＋1

＝0实数解的个数是（

D

）A.0B.1C.2D.1或2D类型二

根据方程根的情况，求待定系数的取值范围

若关于

x

的方程（

k

－1）2

x2＋（2

k

＋1）

x

＋1＝0有实数

根，则

k

的取值范围是（

D

）A.

k

＞

且

k

≠1B.

k

≥

且

k

≠1C.

k

＞

D.

k

≥

【思路导航】先分两类讨论：①二次项系数为0；②二次项系数

不为0.再根据根的情况，由判别式列不等式求解.D

【点拨】此题中容易将方程默认为一元二次方程，从而得出“

k

≠1”的错误结论.在含参方程问题中，根据根的情况求待定系

数的取值范围，一般解题步骤：（1）讨论二次项系数是否为0.

①若二次项系数等于0，则不是一元二次方程，可能是一元一次

方程；②若二次项系数不等于0，则是一元二次方程.（2）根据

一元二次方程根的情况，判断判别式的正负性，并列不等式.

（3）求解不等式.（4）对于前述的分类讨论，需要写出总结

语，如“综上所述，……”.

1.（2023·聊城）若关于

x

的一元二次方程

mx2＋2

x

＋1＝0有实

数解，则

m

的取值范围是（

D

）A.

m

≥－1B.

m

≤1C.

m

≥－1且

m

≠0D.

m

≤1且

m

≠0D2.已知关于

x

的一元二次方程

x2－3

x

＋

k

＝0有实数根.（1）求

k

的取值范围；

（2）如果

k

是符合条件的最大整数，且一元二次方程（

m

－1）

x2＋

x

＋

m

－3＝0与方程

x2－3

x

＋

k

＝0有一个相同的根，求此时

m

的值.

类型三

利用根与系数的关系求代数式的值

【思路导航】先由根与系数的关系求出

x1，

x2的和与积；再将

代数式变形，用

x1＋

x2及

x1

x2表示；最后代入求值.也可以先求

出两根，再代入求值.－18.5

2.已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－

k

＝0有两个不相等的实

数根.2028

（1）求

k

的取值范围；解：（1）∵该方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4＋4

k

＞0.解得

k

＞－1.∴

k

的取值范围为

k

＞－1.

类型四

利用根与系数的关系求参数的值

若关于

x

的一元二次方程

x2－4

x

＋

m

＝0的两个实数根分别

为

x1，

x2，且

x1＋3

x2＝5，则

m

的值为（

A

）A.

B.

C.

D.0【思路导航】先根据根与系数的关系求出

x1＋

x2的值；再结合

x1

＋3

x2＝5求出

x2；然后根据根与系数的关系求出

m

的值；最后

把

m

的值代入原方程，检验Δ≥0是否成立.A

【点拨】对于根与系数的关系，需要熟练并灵活运用.处理“利

用根与系数的关系求参数的值”问题，核心是列出方程

（组），然后再解方程（组）.需要注意的是，求出参数后，需

要检验：把参数的值代入原方程，求出判别式，检查Δ≥0是否

成立；检查二次项系数是否为0.

1.已知关于

x

的方程

x2＋2（

m

－1）

x

＋

m2－

m

＝0有两个实数

根α，β，且α2＋β2＝12，则

m

的值为（

A

）A.－1B.－4C.－4或1D.－1或4A2.（2023·黄冈）已知关于

x

的一元二次方程

x2－3

x

＋

k

＝0的两

个实数根为

x1，

x2.若

x1

x2＋2

x1＋2

x2＝1，则实数

k

＝

⁠.3.已知关于

x

的一元二次方程

x2－6

x

＋

m

＋4＝0有两个实数根

x1，

x2.－5

（1）求

m

的取值范围；解：（1）∵关于

x

的一元二次方程

x2－6

x

＋

m

＋4＝0有两个实

数根

x1，

x2，∴Δ＝（－6）2－4（

m

＋4）＝20－4

m

≥0，解得

m

≤5.∴

m

的取值范围为

m

≤5.（2）若

x1，

x2满足3

x1＝｜

x2｜＋2，求

m

的值.解：（2）∵关于

x

的一元二次方程

x2－6

x

＋

m

＋4＝0有两个实

数根

x1，

x2，∴

x1＋

x2＝6，①

x1

x2＝

m

＋4.②∵3

x1＝｜

x2｜＋2，∴有以下两种情