同角三角函数的基本关系学案-高一上学期数学人教A版

一、学习目标1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式，并能应用解决一类三角函数的求值问题；2.熟练运用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、证明三角恒等式.重点难点运用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、证明三角恒等式.二、知识回顾1.三角函数的定义及其定义的推广形式？2.三种函数值在各象限的符号？三、预习自学（自主学习课本182184页，了解本节知识体系！）1.探究：公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？2.你能用三角函数的定义，讨论同一个角的不同三角函数之间的关系吗？3.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：__________适用范围：______商数关系：__________适用范围：_______语言叙述：同一个角的正弦、余弦的________等于1，______________________等于角的正切．4.同角三角函数基本关系式的变形：，，，.四、例题导学题型一、基本关系的简单应用例1．(1)已知求的值.(2)已知，求的值.题型二、三角函数式的化简与证明例2．化简(1)(2)例3.求证：探究：证明一个三角恒等式的方法多种多样，此题你能想出多少种证明方法？题型三、三角函数式的求值例4.已知tanα＝2.求eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)的值；例5.已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,2)(0<θ<π)，求sinθcosθ和sinθ－cosθ的值.五、检测反馈1.下面四个命题中可能成立的一个是（）A.且B.且C.且D.（在第二象限）2.已知，并且是第三象限角，求的其他三角函数值．3.求证：（1）（2）4.化简：（1）sin2αtanα＋eq\f(cos2α,tanα)＋2sinαcosα.（2）eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°))（3）（4）课时作业若，且是第二象限角，则的值等于（）B.C.D.2.化简eq\r(1－sin2160°)的结果是()A.cos160°B.±|cos160°|C.±cos160°D.－cos160°且是第二象限角，则=（）B.C.D.（）B.C.D.5.已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，则sinα·cosα=()A.eq\f(\r(7),4)B.－eq\f(9,16)C.－eq\f(9,32) D.eq\f(9,32)6.已知，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．7.已知，，求的值．8.求证：（1）；（2）；（3）；（4）.9.已知.(1)求的值.(2)求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值.10.化简，其中为第二象限角.11.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝________.（***选做题***）1、已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4)))，则sinθ－cosθ等于()A.eq\f(\r(2),3)B.－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3)D.－eq\f(1,3)2、若β∈[0，2π)，且eq\r(1－cos2β)＋eq\r(1－sin2β)＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是________.3、关于x的方程2x2＋(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两个根分别为sinθ和cosθ，则eq\f(sinθ,1－\f(1,tanθ))＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝________.4、(1)分别计算sin4eq\f(π,3)－cos4eq\f(π,3)和sin2eq\f(π,3)－cos2eq\f(π,3)的值，你有什么发现？(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？(3)证明∶∀x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x.答案例1.(1)(2)例2.(1)1,(2)1例4.法一(代入法)∵tanα＝2，∴eq\f(sinα,cosα)＝2，∴sinα＝2cosα.∴eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(2cosα－3cosα,2cosα＋cosα)＝－eq\f(1,3).法二(弦化切)∵tanα＝2.eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)－3,\f(sinα,cosα)＋1)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(1,3).例5.因为sinθ＋cosθ＝eq\f(1,2)(0<θ<π)，所以(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,4)，即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝eq\f(1,4)，所以sinθcosθ＝－eq\f(3,8).由上知，θ为第二象限角，所以sinθ－cosθ>0，所以sinθ－cosθ＝eq\r(（sinθ＋cosθ）2－4sinθcosθ)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8))))＝eq\f(\r(7),2).五、检测反馈1.B2.3.(2)4.(1)原式＝sin2α·eq\f(sinα,cosα)＋cos2α·eq\f(cosα,sinα)＋2sinαcosα＝eq\f(sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α,sinαcosα)＝eq\f(（sin2α＋cos2α）2,sinαcosα)＝eq\f(1,sinαcosα).(2)eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°))＝eq\f(\r(（cos10°＋sin10°）2),cos10°＋sin10°)＝eq\f(|cos10°＋sin10°|,cos10°＋sin10°)＝1.（3）1（4）1课时作业答案B3.A4.B解析因为sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，平方可得1－2sinαcosα＝eq\f(25,16)，所以2sinαcosα＝－eq\f(9,16)，即sinαcosα＝－eq\f(9,32).答案C7.8.9.(1)3(2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2sin2α－sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(2×4－2＋1,4＋1)＝eq\f(7,5).10.11.∵sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169)<0，又α∈(0，π)，则sinα>0，cosα<0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故sinα－cosα＝eq\r(（sinα＋cosα）2－4sinαcosα)＝eq\f(17,13)，可得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，tanα＝－eq\f(12,5).（选做题）B2、eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))3、－eq\f(\r(3)＋1,2)4、(1)解sin4eq\f(π,3)－cos4eq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，sin2eq\f(π,3)－cos2eq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，所以sin4eq\f(π,3)－cos4eq\f(π,3