2021中考一轮几何复习 直角三角形与勾股定理-答案

2021中考一轮几何专题复习直角三角形与勾股

定理-讲评卷

一、选择题（本大题共io道小题）

i.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）

A.平移变换B.相似变换

C.旋转变换D.对称变换

【答案】B

2.如图，△ABOsaC。。，若80=6,DO=3,CD=2,则A8的长是)

A.2D.5

【答案】C

3.下列命题是真命题的是（）

A.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的周长比为2；3

B.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的周长比为4；9

C.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的面积比为2；3

D.如果两个三角形相似，相似比为4；9,那么这两个三角形的面积比为4；9

【答案】B

4.如图，在△ABC中，点。，E分别在A3和AC边上，DE//BC,M为BC边上

一点（不与点8,C重合），连接AM交OE于点N,则（）

A

BMC

ADAN

A.而二而

BDMN

B.而二还

DNNE

C,BM=MC

DNNE

【答案】c［解析］根据。后〃8C,可得AADNsAABM,AANES^AMC,再应

用相似三角形的性质可得结论.

DNAN

,JDN//BM,:.AADNsAABM,.,.丽=丽，'JNE//MC,：.△ANE^^AMC,

NEANDNNE

；.MC=AM,，丽=近故选C.

5.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与

△481。相似的是（）

【答案】B［解析］根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股

定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角

形相似可得结果，△AiBG各边长分别为1,也,6选项A中阴影三角形三

边长分别为:「，&3,三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相

似;选项B中阴影三角形三边长分别为:业，2,回,三边与已知三角形的各边对

应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1,4,2业，三

边不与己知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D中阴影三角形三

边长分别为：2,拜，眄三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不

相似，故选B.

6.如图平行四边形A3CD中，尸为8C中点，延长AO至E,使。

连接EF交0c于点G,则SADEC:SACFG=()

A.2；3B.3：2D.4:9

【答案】D［解析］因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=BC因为DE：

AD=\：3,F为BC中点,所以DE.,。4？；3,因为平行四边形ABC。中，DE

//CF,所以ADEGsACFG,相似比为2：3,所以SADEG；SACFC=4；9.故选

D.

7.如图①，长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②

是此时的示意图，则图②中水面高度为（）

2420国

A.亏D.17

【答案】A［解析］如图所示.设。M=x,则CM=8-x,

1

根据题意得:％8-x+8）x3x3=3x3x6,解得x=4,：.DM=4.

'：ZD=90°.

...由勾股定理得：

222

BM=1BD'2+DM=j4+3=5

过点B作8”，水平桌面于H,'：ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=90°,

：.ZHBA=ZDBM,

,?NA”8=NO=90°,

BHBDBH32424

：.XABHS/\MBD,:.而=丽,即石=耳，解得8”=可，即水面高度为5

8.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交

菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2,BD=1,AP=x,Z\AMN的面积为

y,则y关于x的函数图象的大致形状是（）

【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二

次函数的图象和性质.解题思路：设AC、BD交于点0,由于点P是菱形ABCD

AP

的对角线AC上一动点，所以0VxV2.当OVxVl时，△AMNS^ABD=仄K=

畿，;=^[=MN=xo=42.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x=0,

JDU11z

此时y随X的增大而增大.所以B和D均不符合条件.当1VxV2时，ACMN

CPMN2—xMN11

0°ACBD=>7^=-^r=>-:-=~=MN=2—x=y=5x（2—x）=—5x2+x.止匕二次

K-XUJIJI4乙

函数的图象开口向下，对称轴是x=l,此时y随X的增大而减小.所以A不符

合条件.综上所述，只有C是符合条件的.

9.如图，弦CD垂直于。0的直径AB,垂足为H,且CD=2/,BD=小,则

AB的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B【解析】由垂径定理可得DH=，L所以BH=A/BD2—DH2=1,又

可得△DHBsaADB,所以有BD2=BH-BA,（小）2=1XBA,AB=3.

10.如图，在放AABC中，ZC=90°,NCAB的平分线交BC于D,DE是AB

的垂直平分线，垂足为E.若BC=3,则DE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A【解析】’.•A。是NBAC的平分线，AC1BC,AELDE,：.DC=DE,

AE=AC.又•.•OE是AB的垂直平分线，：.BE=AE,即AB=2AE=2AC,

r1

30。.设OE=x,则3。=3—x.在RtaBOE中，~-=彳，解得x=1,...OE的长为

3—x2

二、填空题（本大题共6道小题）

11.如图，在△ABC中，ZACD=ZB,若A£>=2,BD=3,则AC长为.

【答案】、1°［解析了.•NACD=N8,ZCAD=ZBAC,A△/ICD^AABC,

ACADAC2

：.AB='AC9即2+3=而,

，AC=J1°或AC=-M（舍去）.

12.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼

的影长为90m,则这栋楼的高度为m.

【答案】54

13.如图，在口ABC。中，过对角线BD上一点P作EF//BC,GH//AB,且CG=2BG,

SABPG=1,则

AHD

EP

BGC

【答案】4［解析］由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”

可推出nAEP”的面积等于QPGCP的面积.

'：CG=2BG,：.BG：BC=lZ3,BG：PF：2.

•：XBPGs丛BDC,且相似比为1；3,

/.SABDC=9S&BPG=9.

BPGS/XPDF,且相似比为I；2,

/.SAPDF=4S&BPG=4.

/.SAEPH=SPGCF=9-1-4=4.

14.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二

步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长

直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题

的答案是步.

60

【答案】我［解析］如图①，•.•四边形。EF是正方形，.•.CD=ED=C£

设ED=x,则CD=x,AD=l2-x.

'：DE//CF,：.ZADE=ZC,NAED=NB,

：.^ADE^AACB,

DEADx12-x60

：.BC=AC,.•.亏=F­,：.x=17.

AA

E

如图②，四边形DGFE是正方形，过C作CPA.AB于P,交。G于。

1160

SAABC=^ACBC=2AB-CP.则12x5=13CP,：.CP=^.

DGCQ

设同理得:△CDGsZ^C45,・••丽二而，

60

正-y

上B至2丝

.,.13=15,y=229<17,

6060

...该直角三角形能容纳的正方形边长最大是F步，故答案为:五

15.如图，△OAB与^OCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比为3：4,

NOCD=90°,ZAOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是.

【答案】(2,2琳)［解析］如图,作AEL轴于E,

'：ZOCD=90°,ZAOB=6Q°,

：.ZABO=ZOAE=2>0°.

1

•・•点5的坐标是(6,0),：.AO=^OB=3,

13

・・・OE=2OA=2,

22322

•AE-JOA-OF_J-(I)Jr

/33阴、

：.A\^~T).

。4?与4OCD是以点。为位似中心的位似图形，相似比为3；4,

/343^4.

点C的坐标为~TX3),即(2,2A/3).

16.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=\5,AC=20,点。在边AC上，

AD=5,0EL3C于点£,连接AE,则AABE的面积等于.

;

【答案】78【解析】如解图，过A作AHLBC,VAB=15,AC=20,ZBAC

=90°,...由勾股定理得，BC=^/152+202=25,VAD=5,.*.DC=20-5=15,

VDE1BC,ZBAC=90°,AACDE^ACBA,二法=中/.CE=^x20=12.

CAUJDZJ

法-*：BC,AH=AB-AC,AH—口r——T7=12,SAABE=5X12x13=78.

DUZDz

,,一/-已--------%.A-/口CDED9x20

法—.：DE—,\/15-12=9,由△CDEsaCAH可得，「卜=口A‘AH——rz-=

'LAHAID

12,SAABE=2X12X13=78.

RHEC

三、解答题(本大题共5道小题)

17.如图，ZkABC为锐角三角形，是BC边上的高，正方形EFGH的一边EG

在BC上，顶点£,“分别在AB,AC上，己知BC=40cm,49=30cm.

(1)求证:△AEH^AABC;

(2)求这个正方形的边长与面积.

BFDGC

【答案】

［解析］(1)根据EH//BC即可证明.

(2)设与EH交于点M,首先证明四边形是矩形，设正方形边长为％,

EHAM

利用△AE”SA4BC,得前=而，列出方程即可解决问题.

解:(1)证明:•.•四边形EFG”是正方形，

J.EH//BC,

：.ZAEH=ZB,NAHE=/C,

ABC.

(2)如图，设AD与E”交于点M.

/EFD=NFEM=NFDM=90°,

四边形EFDM是矩形,

：.EF=DM.

设正方形EFGH的边长为xcm,

VA

EHAMx30-x

：.^C=AD,：.40=30,

120

'.X=7,

120

，正方形EFGH的边长为〒cm,

14400

面积为49cm2.

18.如图,A8是。。的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作ECLOB

交。。于点C,作直径CD过点。的切线交08的延长线于点P,作A凡LPC于

点、F,连接CA

(1)求证：AC平分N物8；

(2)求证：BC2=CECP-,

(3)当AB=4小且音=［时，求劣弧劭的长度.

【答案】

(1)证明：尸切。。于点c,co是。。的直径,

：.CD±PF,

XVAF1PC,

：.AF//CD,

：.ZOCA=ZCAF,

\'OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZCAF=ZOAC,

平分N物&

(2)证明：•••AB是。。的直径，

ZACB=90°,

'：ZDCP=9Q°,

：.ZACB=ZDCP=^°,

又,：4BAC=/D,

AACB^ADCP,

：.ZEBC=ZP,

'：CELAB,

：.ZBEC=90°,

•.•CD是。。的直径，

：.ZDBC=90°,

：.ZCBP=90°,

：./BEC=/CBP,

:.△CBEs^CPB,

・5C=CE

'，PC~CB,

BC2=CECP；

(3)解：平分NE48,CFLAF,CE1AB,

：.CF=CE,

..CF=3

,赤一加

.QE=3

,•CP-4J

设CE=3k,则CP=4k,

：.BC2=3k-4k=\2k1,

：.BC=2y[3k,

CE_3k

在RJBEC中，•；sinNEBC=BC=2^3k=2'

：.ZEBC=60°,

...△OBC是等边三角形,

AZDOB=120°,

.12071-2^34V37T

•・BD-180~3­

19.如图，已知△ABCSAAIBICI,相似比为左伙>1),且AABC的三边长分别

为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为ai、b\>ci.

(1)若c=m,求证：a=kc；

(2)若c=ai,试给出符合条件的一对AABC和△AIBICI,使得a、b、c和小、历、

a都是正整数，并加以说明；

(3)若。=ai,c=b\,是否存在AABC和AAiBiCi使得攵=2?请说明理由.

【答案】

(1)证明：•••△ABCS^AIBICI,且相似比为依t>l),

a

••k.••u^kcix9J4•c=ai,・・a=Zc.

31

(2)解：取Q=8,b=6,c=4,同时取ai=4,b\=3,c\=2.

abc

此时'_h_c_2,△SIII且c=ai.

aibici..ABC^ABC

(3)解：不存在这样的AABC和△AiBiCi.理由如下：

若k=2,则a=2ai,b=2bi,c—2,c\.

乂•h=ct\>c=b\>

•*.ci~2tzi=28=4bi=4c,

，/?=2c.(12分)

.,.b-\-c=2c+c<4c=a,与。+c>a矛盾，

故不存在这样的AABC和△AiBiCi,使得％=2.

20.如图①，。。是△A8C的外接圆，A3是。。的直径，0O〃AC,OD交00

于点E,且NCBD=NC。。.

(1)求证：B。是。。的切线；

(2)若点E为线段。。的中点，求证：四边形OACE是菱形.

FG

(3)如图②，作于点E连接A。交C尸于点G,求定的值.

AA

图①图②

【答案】

(1)证明：•••AB是。0的直径，

/.ZBCA=90°,

，ZASC+ZBAC=90°,

'.'OD//AC,/.ZACO=ZCOD.

'：OA=OC,：.ZBAC=ZACO,

又•：NCOD=NCBD,

:.NCBD=NBAC,

：.ZABC+ZCBD=90°,

：.NA8£>=90。，

即OBLBD,

又「OB是。O的半径，

...8。是。。的切线；

(2)证明：如解图，连接CE、BE,

VOE=ED,ZOBD=90°,

：.BE=OE=ED,

...△OBE为等边三角形，

：.ZBOE=60°,

^：AC//OD,

：.ZOAC=6Q°,

又•.•OA=OC,

.,.△OAC为等边三角形，

.,.AC=OA=OE,

：.AC//OESLAC=OE,

二四边形OACE是平行四边形，而