高三数学一轮复习第八章解析几何培优专题13与圆有关的综合问题学案

与圆有关的综合问题[培优技法]1．圆的几种特殊弦(1)过圆内一点的最长弦和最短弦圆的最长弦一定是直径，因此求过圆内一点的最长弦所在直线方程就是求过圆心和该点连线的方程；由垂径定理知最短弦满足其所在直线与前面所说的最长弦所在直线垂直．(2)以圆内一点为中点的弦根据圆的几何性质知，弦的中点与圆心的连线与弦所在直线垂直，因此求以圆内一点为中点的弦所在直线方程的方法如下：先求出中点(已知点)与圆心连线的斜率(若不存在，则所求直线的斜率为0)，从而得出所求直线的斜率(若前面所求斜率为0，则此处斜率不存在)，再根据直线的点斜式方程写出所求直线方程即可．(3)两圆相交时的公共弦求两相交圆的公共弦所在的直线方程，只需将两个圆的一般方程直接相减消去二次项即可，弦长的求解还是运用垂径定理．2．圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题(1)圆上的点到圆外定点的距离的最值设圆C的半径为r，点Q为圆外一点，点P为圆C上任意一点，则|PQ|的最小值为|QC|－r，最大值为|QC|＋r.当P，Q，C三点共线，即点P与点N或点M重合时，分别取得最小值和最大值，如图所示．(2)圆上的点到定直线的距离的最值已知直线l和圆C，圆C的半径为r，点P为圆C上任意一点．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点Q，交圆C于点M，N.①若直线l与圆相离或相切，则点P到直线l的距离的最小值为|NQ|＝|CQ|－r，最大值为|MQ|＝|CQ|＋r，如图1和图2所示．②若直线l与圆相交，则点P到直线l的距离的最小值为0，最大值为|MQ|＝|CQ|＋r，劣弧上的点到直线l的最大距离为|NQ|＝r－|CQ|，如图3所示．[培优案例][例1]已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；(2)若k＝12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD[解](1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线l：y＝kx－2代入x2＋y2＝2，整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，∴x1＋x2＝4k1+k2，x1x2当∠AOB为锐角时，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝6-2k21+k2＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴－3故k的取值范围为(－3，－1)∪(1，3)．(2)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设Pt，12t-2，以OP为直径的圆的方程为x(x∴x2－tx＋y2－12t又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，两圆作差得lCD：tx＋12t即x+y2t－2由x+y2∴直线CD过定点12立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．[例2]如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝2BC.(1)建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程；(2)求△ABC的面积的最大值．[解](1)以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，则由AC＝2BC，得x+12+y化简整理得(x－3)2＋y2＝8.故顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8(y≠0)．(2)当点C位于圆D：(x－3)2＋y2＝8的最高点(如图所示中的点C，且CD⊥x轴)时，△ABC的面积最大，且最大值为12×2×22＝22在直线与圆的问题中，题设条件通常不明确给出圆的相关信息，而是需要通过分析、转化等途径发现其中隐含的圆，再利用圆的性质解决问题，我们称这类问题为“隐圆问题”，此类问题在近年的高考及模考中经常出现，难度为中高档，解决此类问题的关键是能够从题干中挖掘出“隐圆”．发现“隐圆”的途径主要有：(1)利用圆的定义确定“隐圆”；(2)动点到两定点的张角为直角构造“隐圆”；(3)平面内，已知两定点A，B，若动点P满足|PA|＝λ|PB|(λ>0且λ≠1)，则动点P的轨迹是圆．培优训练(十三)与圆有关的综合问题1．(2024·哈尔滨模拟预测)圆O：x2＋y2＝4与直线l：x＋(λ－1)y－λ＝0交于M，N，当|MN|最小时，λ的值为()A．－2B．2C．－1D．1B[直线l：x＋(λ－1)y－λ＝0，即(y－1)λ＋(x－y)＝0，令y-1=0即直线l恒过定点C(1，1)，又12＋12＝2<4，所以点C(1，1)在圆内，如图所示，当OC⊥l时弦|MN|最小，因为kOC＝1，所以kl＝－1，即11解得λ＝2.故选B.]2．已知点P是曲线1-x2－y＝0上的动点，则点P到直线3xA．1，75C．75，135D[曲线1-x2－y＝0是圆心为(0，0)，半径为1的圆的上半部分，如图所示，点P是曲线1-x2－y＝0上的动点，原点O到直线3x－4y－10＝0的距离为1032+-42＝2，设点P到直线3x－4y－10＝0的距离为d由图可知，dmax＝2＋r＝2＋1＝3，所以点P到直线3x－4y－10＝0距离的取值范围是753．(2024·山东师范大学附中校考模拟预测)在平面直角坐标系Oxy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为()A．0，125C．-125，12D[因为圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为(a，2a－4)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1，设M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得x2+y-32＝2x2+则圆(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1与圆x2＋(y＋1)2＝4有公共点，则2－1≤0-a即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤1254．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1B．154C．104B[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为2-02+0+22＝22，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝]5．(多选)(2024·浙江杭州模拟预测)已知圆O：x2＋y2＝1，P是直线l：x－y＋2＝0上一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则()A．直线MN恒过定点B．|MN|的最小值为2C．点(2，0)到直线MN的距离的最大值为5D．∠MPN是锐角AB[设P(x0，x0＋2)，则以OP为直径的圆的方程为x-x022化简得x2－x0x－(x0＋2)y＋y2＝0，与x2＋y2＝1联立，可得MN所在直线方程：x0x＋(x0＋2)y＝1，即x0(x＋y)＋2y－1＝0，故可知恒过定点-12，12，A正确；O到过定点-12，12的直线MN距离的最大值为：-12-02+12-02＝22，|MN|min＝21-222＝2，故最小值为2，B正确；当点(2，0)与定点-12，12的连线与直线MN垂直时，此时点(2，0)到直线MN的距离最大，且最大值为-12-22+12-02＝262，故C错误；圆心O到直线x－y＋2＝0的距离为226．(2024·黑龙江哈尔滨市尚志中学期中)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围是________．[－2，2][根据题意，PA，PB为圆O的两条切线，切点分别为A，B，则OA⊥PA，OB⊥PB，又PA⊥PB，则四边形OAPB为正方形，则|OP|＝2，则P的轨迹是以O为圆心，半径r＝2的圆，其方程为x2＋y2＝2.若圆M上存在这样的点P，则圆M与圆x2＋y2＝2有公共点，则有2-2≤a2+4≤7．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1及点A(0，2)，点P，Q分别是直线x＋y＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．3[作出点A关于直线x＋y＝0的对称点A′，如图．设点A′(x0，y0)，则有y解得x即A′(－2，0)，而C(2，0)，连接PA′，则(|PA|＋|PQ|)min＝|A′C|－1＝3，故|PA|＋|PQ|的最小值为3.]8．(2024·赤峰模拟预测)已知直线l：ax＋by＋c＝0，其中a，b，c成等差数列，则直线l恒过定点________，若P(－1，0)，N(2，1)，过点P作直线l的垂线，垂足为M，则|MN|的最大值为________．(1，－2)32[由题意得：a＋c＝2b，所以ax＋by＋c＝0恒过点A(1，－2)，因为过点P作直线l的垂线，垂足为M，所以点M的轨迹为以PA为直径的圆，圆心为B-1+12，0-22，即B(0，－1)，半径为-1-02+0+12＝2，所以M的轨迹方程为：x2＋(y＋1)2＝2，则|MN|的最大值为NB的长度加上半径，由于|9．已知直线l经过点P(－2，3)，且其倾斜角α的余弦值为25(1)求直线l的方程；(2)判断直线l与圆C：________的位置关系；如果相交，记交点A，B，求经过A，B两点的圆的面积的最小值；如果相离，过直线l上的点E作圆C的切线，切点为F，求EF长的最小值．现给出两个条件：①(x＋3)2＋y2＝25；②(x－2)2＋y2＝16，从中选出一个条件填在横线上，写出一种方案即可．[解](1)因为直线l的倾斜角的余弦值为255，则倾斜角的正切值为12，所以直线l的斜率k＝12，即直线l的方程为y－3＝12(x(2)选①.圆心C(－3，0)，r＝5，则圆心C到直线l的距离d＝-3+81+4＝5<5，所以直线l与圆易知以AB为直径时，所求圆的面积最小．由x-2y+8=0，x+3不妨令A(－8，0)，B(0，4)，则|AB|＝64+16＝45，面积最小值为π×选②.圆心C(2，0)，r＝4，则圆心C到直线l的距离d＝2+81+4＝25>4，所以直线l与圆C因为|EF|＝CE2-r所以当CE⊥l，即|CE|＝d＝25时，|EF|最小，此时|EF|＝20-10．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)设圆心C(a，0)a>-52，则4a+105＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)，所以圆C的方程为x2(2)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2+y2=4，y=kx-1，得(k2Δ＝(－2k2)2－4(k2＋1)(k2－4)＝12k2＋16>0，所以x1＋x2＝2k2k2+1，x1若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒y1x1-t+y2x2-t＝0⇒kx1-1x1-t+kx2-1x2-t＝0⇒2x综上，存在定点N(4，0)满足题意．【教师备用】课本习题是如何变为高考题的？1．(人教B版选择性必修第一册P120)探索与研究：同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线，探索平面内两个圆的公切线条数与它们的位置有什么关系，并求出圆C1：x2＋y2＝2与圆C2：(x－2)2＋y2＝8的公切线．[提示]两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线．两圆的公切线有如图所示的5种情况：(1)外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；(2)外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；(3)相交时，有2条外公切线；(4)内切时，有1条外公切线；(5)内含时，无公切线．[解]圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为2，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为22，故可判断两圆相交，有2条公切线，且两条公切线的斜率都存在，设公切线方程为y＝kx＋b，则由C1到公切线的距离为2和C2到公切线的距离为22，列方程组得b解得k=1，b=2所以公切线方程为x－y＋2＝0和x＋y＋2＝0.2.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．y＝－34x＋54或y＝724x－25[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为32如图，当切线为l时，因为kOO1＝43，所以kl＝－34，设直线l的方程为y＝－34O到直线l的距离d＝t1+916＝1，解得t＝54，所以直线l的方程为y＝－3当切线为m时，设直线m的方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，由题意p解得k=-724，p=2524，所以直线m当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.]阶段提能(十五)直线与圆、圆与圆1．(北师大版选择性必修第一册P46复习题一C组T3)已知直线l与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，是否存在斜率为1的直线l使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解]存在．设直线l的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为以AB为直径的圆恰好经过原点，所以OA·即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.由x得x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0，整理得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，所以Δ＝(2b＋2)2－4×2(b2＋4b－4)>0，即b2＋6b－9<0(*)．而x1＋x2＝－2b+22＝－b－1，x1x2＝b所以b2＋4b－4＋b(－b－1)＋b2＝0，所以b＝1或b＝－4，满足(*)式，所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4.2．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T4)求圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程．[解]由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝r2，则圆心(a，3a)到直线x－y＝0的距离d＝a-3a2＝2依题意，r=3a，2a所以所求圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.3．(人教A版选择性必修第一册P103复习参考题2T20)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.(1)求证：直线l恒过定点；(2)直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长．[解](1)证明：直线l的方程(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，整理得m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0.由2x+y-7=0所以直线l恒过定点D(3，1)．(2)由(1)知直线l恒经过圆C内的定点D，所以当直线l经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l垂直于CD时被截得的弦最短．由C(1，2)，D(3，1)，可知kCD＝－12所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，于是有－2m+1m+1＝2，解得m＝－3此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.又|CD|＝1-32所以，最短弦长为2×25-5＝4所以直线l被圆C截得的弦长最短时，m的值是－34，最短弦长是454．(人教B版选择性必修第一册P116练习BT4)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点．(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)若|AB|＝22，求m的值；(3)在(2)的条件下，求过点P(4，4)的圆C的切线方程．[解](1)依题意，所求直线过圆心且与x－y＋1＝0垂直，易得圆心C(2，1)，所以所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.(2)圆心(2，1)到直线AB：x－y＋1＝0的距离d＝2-1+11由垂径定理可得圆的半径为2，则12-4(3)由题意，知点P(4，4)不在圆上，①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－4)，即kx－y－4k＋4＝0，由圆心到切线的距离等于半径2，即2k-1+4-4kk所以所求切线方程为5x－12y＋28＝0.②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x＝4.综上，所求切线的方程为x＝4或5x－12y＋28＝0.5．(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为()A．±2B．±2C．±3D．±3C[因为直线l截得圆C弦长的最小值为2，所以圆心C(0，0)到直线l的最大距离dmax＝22-12×22＝3，由题意知直线l的方程为kx－y＋m＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝mk2+1，当k＝0时，d6．(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1B．2C．3D．4B[将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝3-12+0-22＝22，所以|7．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A．55B．255C．B[因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为2×1-1-322+8．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，直线AB关于直线y＝a的对称直线为l，已知l与圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为________．13，32[由题意知，点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，所求直线l的方程为y＝2a-3-a-2-0x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0，所以3a-3+4+2a4+3-9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝