高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第3课时平面向量的数量积及其应用学案

第3课时平面向量的数量积及其应用[考试要求]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．考点一平面向量数量积的运算1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．当θ＝π2时，a与b相互垂直，记作a⊥b当θ＝0时，a与b共线且同向；当θ＝π时，a与b共线且反向．2．平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．规定：0·a＝0．3．投影向量设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθbb＝a4．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2[典例1](1)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·A．－3 B．－2C．2 D．3(2)在边长为2的正△ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若BD＝xBA＋yBC，则x＋y＝________；②BD·(1)C(2)①34②1[(1)因为BC＝AC-AB＝所以|BC|＝12+t-3所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3(2)①∵M是BC的中点，∴BM＝12∵D是AM的中点，∴BD＝12BA＋12BM＝∴x＝12，y＝14，∴x＋y＝②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，BDcos∠DBM＝BM．∴BD·BM＝|BD||BM|cos∠DBM＝|BM|2数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．解题时一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．跟进训练1(1)(2024·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为()A．bB．－2bC．－12bD．－(2)在Rt△ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD＝32AB，A．－18 B．－63C．18 D．63(1)B(2)C[(1)因为a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，所以(a－2b)·b＝a·b－2所以向量a－2b在向量b上的投影向量为a-2b·(2)法一(基向量法)：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA·CB＝0，CD·CB＝(CA+AD)·CB＝法二(坐标法)：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD＝32AB，所以D(－1，33)，则CD·CB＝(－1，33)考点二平面向量数量积的应用1．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2．(2)模：|a|＝a·a＝(3)夹角：cosθ＝a·ba(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔向量的模[典例2](2024·江苏无锡模拟)已知向量a＝(0，－1)，b＝(1，3)，x∈R，则|b＋xa|的最小值是()A．1 B．0C．2 D．4A[因为b＋xa＝(1，3)＋x(0，－1)＝(1，3－x)，所以|b＋xa|＝1+3因为x∈R，所以|b＋xa|＝1+3-x2≥1，当且仅当向量的夹角与垂直[典例3](1)(2024·耒阳模拟)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，若b与λa＋b(λ∈R)垂直，则λ＝()A．54 B．－C．－12 D．(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．(1)A(2)-∞，-92∪-92，3[(1)依题意，λa＋b＝(2－λ，2λ－1)，又b与λ所以(λa＋b)·b即2(2－λ)－(2λ－1)＝0，所以λ＝54(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3．又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－92当k＝－92时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c此时2a－3b与c反向，不合题意．综上，k的取值范围为-∞，-9(1)求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝a2＝x2(2)求两向量a，b的夹角θ，通常采用公式cosθ＝a·(3)两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟进训练2(1)已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝__________，|a－3b|＝__________．(2)(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则()A．|a＋b|＝2B．a与b垂直C．a与a－b的夹角为πD．|a－b|＝1(1)21963(2)BC[(1)因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×12(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，所以|a＋b|＝219，|a－3b|＝63．(2)|a＋b|＝12+-1因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝2，|a－b|＝2，故D错误；cos〈a，a－b〉＝a·a-ba所以a与a－b的夹角为π4考点三平面向量的应用平面几何中的向量方法(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[典例4]如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80N，则G的大小为________N，F2的大小为________N．160803[根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示．∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，∴OC＝160，OA＝803，∴G的大小为160N，F2的大小为803N．解决本题的关键是利用物理中的力的平衡建立向量的等量关系求解．跟进训练3(2024·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h．设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应()A．在A′东侧 B．在A′西侧C．恰好与A′重合 D．无法确定A[建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6，0)，所以ν1＋ν2＝(1，53)，说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧．]【教师备用】(多选)(2024·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是()A．|F1|的最小值为12|GB．θ的范围为[0，π]C．当θ＝π2时，|F1|＝22|D．当θ＝2π3时，|F1|＝|ACD[由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cosθ＝2|F1|2＋2|F1|2cosθ，所以|F1|2＝G2当θ＝0时，|F1|min＝12|G当θ＝π2时，|F1|＝22|当θ＝2π3时，|F1|＝|当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．]课后习题(二十九)平面向量的数量积及其应用1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为()A．6365B．65C．135A[|a|＝32+42＝5，|a·b＝3×5＋4×12＝63．设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝635×13＝632．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．－34e[向量b在向量a上的投影向量为a·ba·3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．23[a·b＝|a||b|cos60°＝1，|a＋2b|＝a2+4b2+44．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB·8[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，AM＝12AB，所以AB·AC＝|ABcos∠BAC＝|AB||AM|＝12|AB|25．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4 B．3C．2 D．0B[因为a·(2a－b)＝2a6．(2024·沈阳质检)已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为2π3，则|a－A．7 B．6C．5 D．3D[因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×1×-1所以|a－b|＝3，故选D．]7．(2024·北仑中学模拟)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是()A．30° B．60°C．90° D．120°D[设a与b的夹角为θ，因为|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，所以a2＋a·b＝1＋2cosθ＝0，即cosθ＝－12，因为0°≤所以a与b的夹角θ＝120°，故选D．]8．已知a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为()A．255B．-25C．2D．-A[由题意得a－2b＝(－2－2k，7)，∵(a－2b)⊥c，∴(a－2b)·c＝0，即(－2－2k，7)·(1，2)＝0，－2－2k＋14＝0，解得k＝6，∴b＝(6，－3)，∴与b共线的单位向量e＝±b62+9．(多选)(2024·湖北天门模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影向量为22C．2m＋n＝4D．mn的最大值为2CD[对于A，向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为a·bb·对于C，a－b＝(1，2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝12(2m·n)≤122m+n10．(2024·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平方向的夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝102N，则物体的重力大小为________N．20[如图所示，∵|F1|＝|F2|＝102N，∴|F1＋F2|＝102×∴物体的重力大小为20N．]11．(2024·北京朝阳区模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则|a＋b|＝________，b在a上的投影等于________．712[因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2