人教A版普通高中数学一轮复习第七章第三节等比数列学案

第三节等比数列考试要求：1．理解等比数列的概念及通项公式的意义．2．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．3．能在具体的问题情境中，发现等比关系，并解决相应的问题．体会等比数列与指数函数的关系．自查自测知识点一等比数列的有关概念1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)常数列一定是等比数列．(×)(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．(√)(3)若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．(×)(4)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(√)2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝－3，ac＝9 B．b＝3，ac＝9C．b＝－3，ac＝－9 D．b＝3，ac＝－9A解析：根据等比中项的定义得a①×③，得a2c2＝9b2，即ac＝±3b④，将④代入②，得b2＝±3b，解得b＝±3.又由③知b<0，所以b＝－3，ac＝b2＝9.核心回扣1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．2．递推关系：anan−1＝q(n≥2，n∈N*，3．等比中项：a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．注意点：(1)等比数列中没有0项，公比也不为0.(2)当两个数同号时才有等比中项，且等比中项有两个．自查自测知识点二等比数列的有关公式1．在等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为()A．1 B．－1C．1或－12 D．－1或－C解析：因为S3＝18，a3＝6，所以a1＋a2＝a3q2(1＋q)＝12，整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q2．(教材改编题)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝，S5＋a5＝．3202解析：由题意得2a1＝2，所以a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，解得q＝3或q＝－72．因为an>0，所以q＝－72不符合题意，故q＝3，所以S5＋a5＝1×1−35核心回扣1．通项公式：an＝a1qn-1．2．前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11−q注意点：应用等比数列前n项和公式时，需要对公比是否为1进行讨论．(1)an＝a1qn-1＝a1q·qn，当q≠±1时，是关于(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式可写成Sn＝－a11−q·qn＋a11−q的形式，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是指数型函数y＝－Aq(3)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数y＝a1x图象上的一些离散的点．自查自测知识点三等比数列的常用性质1．(教材改编题)在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则a20A．1 B．－3C．1或－3 D．－1或3A解析：由a2a6＝16，得a42＝16，所以a4＝±4.又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，因为q4>0，所以a4＝4，q2＝1，则a20a2．设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若－a1＜a2＜a1，则()A．数列{Sn}为递减数列 B．数列{Sn}为递增数列C．数列{Sn}有最大项 D．数列{Sn}有最小项D解析：由－a1＜a2＜a1，可得a1＞0，所以q＝a2a1＜1.因为－a1＜a2，则q＝a2a1＞－1，所以－1＜q＜0或0＜q所以当0＜q＜1时，{Sn}为递增数列；当－1＜q＜0时，{Sn}为摆动数列，故A，B错误．当0＜q＜1时，易知数列{Sn}的最小项为S1，没有最大项；当－1＜q＜0时，数列{an}的奇数项为正，偶数项为负，且满足a2k＋a2k＋1＜0(k∈N*)，a2k－1＋a2k＞0(k∈N*)，所以数列{Sn}有最大项S1，最小项S2，故C错误，D正确．3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝242243，则公比－13解析：由S10S5＝242243，a1＝－1，知公比q≠1，S10−S5S5＝－1243．由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为核心回扣1．an＝amqn－m.2．若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aw3．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．4．若a1>0，q>1或a1<0若a1>0，0<q<1或a1<0【常用结论】1．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)．2．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{λan}，{pan·qbn}和pa(2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T(3)若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇−a1(4)当q＝1时，SnSm＝nm；当q≠±1时，(5)Sn＋m＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.应用1设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：①{an3)}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋A．1个 B．2个C．3个 D．4个C解析：①因为an+13an3＝an+1a②因为pan+1pan＝an+1③因为an+1·an+2an·an+1＝an+2a④因为当q≠－1时，an+1+an+2an+an+1＝qan+an+1an+an+1应用2已知数列{an}的前n项和Sn＝22n+1＋a，若此数列为等比数列，则a＝．－2解析：因为数列{an}的前n项和Sn＝22n+1＋a＝2×4n＋a，所以a＝－2.等比数列基本量的运算1．(2024·苏州模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a4＝()A．16 B．8C．4 D．2B解析：由题意可设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则a解得a1=1，q=2(负值舍去)，所以a4＝a2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()A．14 B．12C．6 D．3D解析：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，又a2－a5＝42，所以q≠1.因为前3项和为a1＋a2＋a3＝a11−q31−q＝168，a2－a5＝a1q－a1q4＝a1解得q＝12，a1所以a6＝a1q5＝96×1323．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a32，且S8＋S24＝mS16，则mA．－4 B．4C．－83 D．D解析：因为a3a11＝2a32，且an≠0，所以a11＝2即a1q10＝2a1q2，解得q8＝2或q＝0(舍去)．因为S8＋S24＝mS16，所以a11−q81−q＋a又因为q8＝2，a1≠0，所以代入化简得－8＝－3m，解得m＝83等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个基本量：a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求解即可．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．等比数列的判定与证明考向1定义法证明等比数列【例1】(2024·泰安模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn(1)解：设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22＝5，解得b1＝54所以数列{bn}是以54其通项公式为bn＝54·2n-1＝5·2n-3(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝541−2n1−2＝5·2即Sn＋54＝5·2n-2所以S1＋54＝52，Sn+1因此数列Sn+5定义法证明等比数列的注意点(1)判定或者证明数列是否为等比数列最基本的方法是定义法．(2)若要判定一个数列不是等比数列，只需判定该数列中存在连续的三项不成等比数列．考向2等比中项法证明等比数列【例2】在数列{an}中，an+12＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.证明：数列{证明：因为an+12＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)．因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，则对任意n∈N*，an＋1≠0恒成立，所以an+1+1an+1所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．等比中项法证明等比数列的注意点1an2＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{(2)证明数列{an}为等比数列时，不能仅仅证明an＋1＝qan，还要说明q≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，断定数列{an}为等比数列．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝12，2an＋1＝an＋12bn，2bn＋1＝12an＋bn.证明：数列{an＋bn}，{an－证明：依题有2①－②并整理得an＋1＋bn＋1＝34(an＋bn又a1＋b1＝32所以{an＋bn}是首项为32，公比为3①＋②并整理得an＋1－bn＋1＝14(an－bn又a1－b1＝12所以{an－bn}是首项为12，公比为1等比数列的性质【例3】(1)(2024·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则a2A．13 B．3C．±13 D．±3B解析：因为a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，所以a1＋a13＝13，a1a13＝9，所以a1>0，a13>0，a1a13＝a2a12＝a7又数列{an}为等比数列，奇数项符号相同，可得a7＝3，所以a2a12(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为．24解析：由S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6.由等比数列前n项和的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝S4+62S4＝又由题意知Sn＞0恒成立，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S4＋36S4＋12当且仅当S4＝6时，等号成立．综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.[变式]本例(1)中，其他条件不变，若lga1，lga13是已知方程的根，则a2a1210132解析：由题意，lga1＋lga13＝13，则lg(a1a13)＝13，所以a1a13＝1013，所以a72＝1013.又a7与a13符号相同，所以a7＝10132，a21．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2．巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．1．(2023·新高考全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120B．85C．－85D．－120C解析：在等比数列{an}中，S4＝－5，S6＝21S2，显然公比q≠1.设首项为a1，则a11−q41−q＝－5①，化简②得q4＋q2－20＝0，解得q2＝4或q2＝－5(不合题意，舍去)，代入①得a11−q＝所以S8＝a11−q81−q＝a11−q(1－q4)(1＋q2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若an>0，S3＝5，a7＋a8＋a9＝20，则S15＝．155解析：由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12是等比数列，设此数列的公比为q，且S3＝5，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝20，则q2＝205又an>0，所以q＝2，S15＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＋(S15－S12)，所以S15＝5×1−[试题呈现]已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝20，S20＝60，则S30＝．[四字程序]读求S30想利用基本量求和，或利用等比数列前n项和的性质算1.列方程组求基本量．2．利用性质直接求解思转化与化归，即将求和问题转化为基本量求解，或通过通项与前n项和性质间接解决问题[一题多解]思路参考：先由S10＝20，S20＝60，列出关于a1，q的方程组，化简得q10的值，再利用S30＝S10＋q10S20求得S30的值．140解析：设数列{an}的公比为q.因为S20≠2S10，所以q≠±1.又S10＝20，S20＝60，所以a两式相除，化简得q10＝2，所以S30＝S10＋q10S20＝20＋2×60＝140.思路参考：先由S10＝20，S20＝60相比得q10的值，再利用S30S10求出140解析：由S10＝20，S20＝60，易得公比q≠±1.根据等比数列前n项和公式，可得S10＝a11−q101−q＝20，S20＝a11−q201−q＝60，所以S20又S30＝a11−q301−q，所以S30S所以S30＝140.思路参考：由等比数列前n项和性质，得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，进而解出S30的值．140解析：根据等比数列前n项和的性质，可知S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(60－20)2＝20(S30－60)，解得S30＝140.课时质量评价(四十二)1．已知公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn＝2a1－2qn，则a1＝()A．12 C．2 D．4B解析：由题意可得a1＝S1＝2a1－2q，即a1＝2q，又a2＝S2－S1＝2a1－2q2－a1＝2q－2q2，故a2a1＝2q−2q22q＝故a1＝2q＝1.2．(2024·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于()A．1 B．－1C．3 D．－3A解析：由题知a5－a3＝8，a6－a4＝24，即a解得a1=19，q=3，所以a3＝a13．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于()A．2 B．3C．4 D．5C解析：令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an.又由题设易知an≠0，则an+1an＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.故ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×2×1−2101−2＝2k+1×(210－1)＝215－25＝24．已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝()A．43 B．－C．－83 B解析：因为{an}为等比数列，且a2a10＝a62＝4a6，所以a6＝4.设等差数列{bn}的公差为d，因为S6＝S10，所以b7＋b8＋b9＋b10＝2(b7＋b10)＝0，则b7＋b10＝0.因为b7＝a6＝4，所以b10＝－4，所以3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，所以d＝－83，所以b9＝b7＋2d＝4＋2×−5．(多选题)(数学与文化)古书有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”现打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()A．a＝50B．c＝50C．a，b，c依次成公比为2的等比数列D．a，b，c依次成公比为12BD解析：由题意得a，b，c依次成公比为12的等比数列，则c＋2c＋4c＝50，解得c＝506．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为．(写出一个即可)an＝3n-1(答案不唯一)解析：设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2.因为{bn}是等比数列，所以b22＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3.取a1＝1，则an＝3n-1，经验证成立．(注：a7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝647(1－2-3n)解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝a5a2＝18，解得q＝12，所以a1＝a2q＝4，a3＝a2q＝1.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝18的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋2n－3.(1)若bn＝an＋2n－1，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求{an}的前n项和Sn.(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n－3，bn＝an＋2n－1，易知bn≠0，所以bn+1bn＝a又b1＝a1＋2－1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)可知bn＝2n，则an＝2n－2n＋1，故Sn＝21－1＋22－3＋…＋2n－2n＋1＝21＋22＋…＋2n－(1＋3＋…＋2n－1)＝2−2n+11−2－n1+2n−12＝2n9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}()A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项A解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，a1＝8，a4＝－1，则q3＝a4a1＝－18，则Sn＝a11−qn1−q若n为奇数，则Sn＝1631+12n，此时有S1>S3>…>若n为偶数，则Sn＝1631−12n，此时有S2<S4<…<故S1最大，S2最小．10．(多选题)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是()A．{an＋Sn}是等差数列B．{an·Sn}是等比数列C.{aD．SnACD解析：由数列{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，所以a2＝a3.因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以a2＝a2q，可得q＝1.所以an＝a1>0，Sn＝na1.an＋Sn＝(n＋1)a1，所以数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确；an·Sn＝na12，所以{an·an2＝a1Snn＝a1>0，所以11．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝．－9解析：因为数列{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中，且bn＝an＋1，则an＝bn－1，所以{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项．又|q|＞1，则等比数列各项的绝对值递增，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值为18，－24，36，－54，81.相邻两项相除得−2418＝－43，36−24＝－32，−5436＝－3由此易知，－24，36，－54，81是{an}中连续的四项，所以q＝－32，所以6q12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝，Tn＝．12n1151−116n解析：由题意，得a1＝1－a1，则a1＝12．又当n≥2时，由Sn=1−an，Sn−1=1−an−