2021届高三数学“小题速练”含答案解析24

2021届高三数学“小题速练”24

答案解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1.已知函数y=J—x2+2x+3的定义域为集合M,集合N={X|0WXW2},则MCN=（）

A.[-1,3JB.[0,2]C.10,IJD.[-1,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知条件求出集合M,结合集合77={»0<X«2},由交集的性质可得McN的值.

【详解】解：由题意：令—炉+2》+3..0得—啜k3,

所以M={x|-啜k3},所以McN={x|噫/2},

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的性质，考查学生对基础知识的理解，属于基础题.

2.平流层是指地球表面以上10k〃到50k〃的区域,下述不等式中，x能表示平流层高度的是（）

A.|%+10|<50B.|x-10|<50C.|x+30|<20D.|x-30|<20

【答案】D

【解析】

【分析】

根据绝对值的几何意义即可得解IX-301<20.

【详解】解析:如图：设4(10),8(50),则AB的中点为M(30),

由距离公式可得|x-30|<20

AV8

A1Ai11

OH)2()30405()/

答案:D

【点睛】此题考查根据绝对值的几何意义解决实际问题，关键在于正确理解绝对值的几何意义.

3.命题“也€[2,+00),/»4，，的否定是()

A.Vxe[2,+oo),x2<4B.Vxe(-oo,2),x2>4

C.3x0e[2,+oo),x^<4D.3x0e[2,+oo),%2>4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定形式书写.

【详解】命题“Vxe[2,+8),/n4”的否定是

2

e[2,+oo),x0<4.

故选C

【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.

4.某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年II月期间该“跑团”

每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）

A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8.9月份

D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】D

【解析】

分析】

由折线图的意义、及中位数的定义即可判断出A错误；根据折线图中增减的几何意义可以判定B错误；根

据纵轴的意义，观察最高点的大约月份可判定C错误，根据图形的波动幅度可以判定D正确..

【详解】解：由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3个月，低的有1,2,3,4,5,7,8

共7个月，

故6月份对应里程数不是中位数，因此A不正确；

月跑步平均里程在1月到2月，7月到8月，10月到11都是减少的，故不是逐月增加，因此B不正确；

月跑步平均里程高峰期大致在9,10,11三个月，8月份是相对较低的，因此C不正确；

从折线图来看，1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正

确.

故选:D.

【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.已知二次函数/(工)=(工一机)(工一〃)+1,且须，々是方程/(x)=0的两个根，则须，x,,in,〃的大

小关系可能是()

A.xx<x2<m<nB.<m<x2<n

C.m<n<x}<x2D.m<xx<x2<n

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，结合二次函数解析式和零点的定义，可知/(〃?)==/(%)=/(9)=0,而抛物线

>=/(力开口向上，可得加，〃在两根冷々之外，结合选项即可得出答案・

【详解】解：由题可知，/(x)=(x-m)(x-n)+l,并且知再是方程〃x)=0的两根,

即有./1(，〃)=.〃")=1,/a)=f(w)=o,

由于抛物线y=/(x)开口向上，可得加，〃在两根孙忍之外，

结合选项可知A,B,C均错，D正确，如下图.

故选：D.

【点睛】本题考查函数的零点的定义以及二次函数的图象与性质，属于基础题.

6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池

盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量

（盆中积水体积与盆口面积之比）为（）（台体体积公式：vffM；=1（S1+75^+52）A,S,,S?分别

为上、下底面面积，〃为台体的高，一尺等于10寸）

237474

A.3B.4C.---D.——

4949

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意计算出盆中积水的体积除以盆口面积可得该处的平地降雨量.

【详解】解：由题意可得：池盆盆口的半径为14寸，盆底半径为6寸，盆高为18寸，

因为积水深九寸，故水面半径为2x（14+6）=10寸，

2

则盆中水的体积为g乃x（6?+1（）2+6x10）x9=588万（立方寸），

故该处的平地降雨量为：/空=3（寸），

开xl4~

故选：A.

【点睛】本题主要考查圆台的体积计算公式，考查学生的基础计算能力，属于基础题.

工农〉0

7.已知符号函数能n(x)=<0,?r=,f(x)=2x,若夕(x)=/(3x)-/(x),则()

—1,2V<(

A.f(x)=2xsgnxB./(x)=-2xsgnx

c.sgn[/(x)]=sgn[^(x)]D.sgn[/(%)]=-sgn[^(x)]

【答案】c

【解析】

【分析】

—1,x>0

根据题意，求出。(X)的解析式，根据新函数的定义，分类讨论可得sg〃"(x)]=sg〃即(x)]=<O,X=O,

l,x<0

即可得出答案.

【详解】解：根据题意，/(x)=2x,e(x)=/(3x)-/(x)=6x-2x=4x,

当x>0时，可知/(x)>0,°(x)>0,则sgn[/(x)]=sgn取切=1,

当尤=0时，可知/(x)=0,<p(x)=0,则sgn[/(x)]=sgn[e(x)]=0,

当x<0时，可知/(x)<0,(p(x)<0,则$8吐，(切=$811[双切=-1,

-1,尤〉0

则有sg〃"(x)]=sg〃S(x)]=<0,x=0,

l,x<0

所以sgn[/(x)]=sgn[0(切.

故选：C.

【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及新函数的定义，属于基础题.

8.若定义域为R的函数/(》)的导函数为了'(X),并且满足/(%)<./(％)—2,则下列正确的是()

A./(2021)-ef(2020)<2(e-l)B,/(2021)—加2020)>2(e—1)

C./(2021)-^(2020)>2(e+1)D./(2021)-ef\2020)<2(e+1)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，可知r(x)一/(划一2>0,构造函数g(x)="幻+2,利用导数研究函数的单调性，可知g(x)

e

在R上单调递增，得出§(2021)>§(2020),整理即可得出答案.

【详解】解:由题可知解X)<f'(x)-2,则/'(x)—/。)一2>0,

人/、/(x)+2

令g(x)=——,

e

而/>0,则g'(x)=/'3一?

e

所以g(x)在R上单调递增，

故5(2021)>g(2020),即+2>"2。*2,

e~~e~

故/(2021)+2>歹'(2020)+2e,

即/(2021)-呢2020)>2e-2,

所以/(2021)-ef(2020)>2(e-l).

故选：B.

【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档

题.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.若函数与g(x)=or的图象恰有一个公共点，则实数。可能取值为()

A.2B.OC.1D.-1

【答案】BCD

【解析】

【分析】

作出/(x)=e'-l的图像，利用数形结合可判断a40满足恰有一个公共点；当。>0时，需直线与曲线相

切即可.

由〃=与g(x)=ax恒过(0,0),如图,

当a40时，两函数图象恰有一个公共点，

当a>0时，函数/(x)=e*-1与g(X)=奴的图象恰有一个公共点,

则g(x)=ar为/(x)=e'-l的切线，且切点为(0,0),

由/'(x)=e*，所以a=/'(0)=e°=1,

综上所述，。=0,-1或1.

故选：BCD

【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.

10.设正项等差数列｛。“｝满足（％+40）2=2。2。9+20，则（）

A.的最大值为10B.。2+“9的最大值为2jid

11144

C./+/的最大值为mD.W+公的最小值为200

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质，求得外,%的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.

【详解】因为正项等差数列｛%｝满足（勾+40）2=2。24+20，

所以（4+4）~=2。2佝+20,

即a；+a；=20.

①a2a94”爱=弓=10，当且仅当4=%=何时成立，故A选项正确.

②由于［气发）4邑等=io,所以气为《厢，4+%〈2，市，当且仅当外=%=J而时成立,

故B选项正确.

+_20〉20=20_1

③嬉a；色飞力高一102S,当且仅当&=氏=&5时成立，

111

所以方+二•的最小值为一，故C选项错误.

。2“95

④结合①的结论，有a；+a；=（a；+a：丫一2域•a；=400-2城•W2400—2xIO?=200,

当且仅当4=%=’而时成立，故D选项正确.

故选：ABD

【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.

11.过抛物线C：V=8x的焦点尸且斜率为6的直线/与抛物线交于P,。两点（尸在第一象限），以

PF,QF为直径的圆分别与丁轴相切于AB两点，则下列结论正确的是（）

32

A.抛物线C：V=8x的焦点/坐标为（2,0）B.1^2l=y

C.“为抛物线。上的动点，N（2,l）,则（IMFI+IMNDms=6D.|A8|=#

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A,由抛物线方程可得焦点坐标；B,由题意可得直线P。的方程与抛物线联立求出P,。的坐标，进而可

得PQ的长度；C,由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离距离可得明的最小值；D,由题

意可得4,B的坐标，进而求出4B的值；然后判断所给命题的真假.

【详解】A,由题意可得抛物线的焦点尸（2,0）,所以4正确；

B,由题意设直线P。的方程为：y=£（x-2）,

2

与抛物线联立整理可得：3N-20x+12=0,解得：X二—或6,

3

代入直线尸。方程可得y分别为：一如1,46，

3

由题意可得P（6,4拒），。（2，-生A）;

33

232

所以|PQ|=6H----h4=—,所以B正确；

33

C,如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E,可得=

所以|M/q+|MN|=|M£1+|MN]2NE=2+2=4,当N,M,E三点共线时，最小，且最小值为4,所以

C不正确;

D,因为P（6,4百），2（-）一生叵），所以PF,QF的中点分别为：（3,2百），273、

3333

所以由题意可得A（0,273），B（0,一2叵）,

3

所以|48|=26+2叵=述，所以。正确;

33

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查抛物线的性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值的解答，意在考

查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

An

12.在边长为2的等边三角形ABC中，点2E分别是边4CA8上的点，满足DE〃BC且一=/1

AC

（AG（0,1））,将AAOE沿直线折到"，。后的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（）

A.在边AE上存在点尸，使得在翻折过程中，满足5b〃平面4CD

B.存在九使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABC,平面3CDE

C.若彳=1,当二面角A'—DE—6为直二面角时，

24

D.在翻折过程中，四棱锥A'—8C0£体积的最大值记为/(%),/(%)的最大值为逑

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对于A.在边AE上点F,在A'£＞上取一点M使得FN//ED,在上取一点〃，使得NH//EF,作

”G//6£交于点G,即可判断出结论.

对于B,在翻折过程中，点4在底面BQDE的射影不可能在交线3c上，即可判断出结论.

对于C,2=；,当二面角A—为直二面角时，取ED的中点M,可得AA/_L平面BCOE.可得

\A'B\=y/AM2+BM2,结合余弦定理即可得出.

对于D.在翻折过程中，取平面AED_L平面四棱锥A—BCDE体积

3

/(A)=1-SBCD£.A/3A=A-A,2G(0,1),利用导数研究函数的单调性即可得出・

【详解】对于A.在边A!E上点F,在A'D上取一点N,使得FN/IED,在ED上取一点H,使得NH//EF,

作“G//6E交8C于点G,如图所示，

则可得FN平行且等于BG,即四边形BGNF为平行四边形,

NGUBE,而GN始终与平面AC。相交,

因此在边AE上不存在点F,使得在翻折过程中，满足BF〃平面A'CD,A不正确.

对于B,2e^0,^,在翻折过程中，点4在底面BCQE的射影不可能在交线8C上，因此不满足平面

ABCJ_平面BCDE,因此B不正确.

对于C.4=；,当二面角4-。七一8为直二面角时，取EZ)的中点M，如图所示：

可得AM,平面5COE,

则图却=y/AM2+BM2=J(^)2+l+(1)2-2xlx|xcosl20°=粤丰粤,因此C不正确；

对于D.在翻折过程中，取平面平面BCDE,四棱锥4一5CDE体积SBCDE•寂=几一万,

AG(0,1),广(4)=1一3#，可得;I邛时，函数/⑷取得最大值/(力£1一扑苧，因此

D正确.

综上所述，不成立的为ABC.

故选：ABC.

【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利

用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.

第II卷非选择题部分(共90分)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，且。＞0,则实数6的最小值是.

【答案】-2

【解析】

【分析】

求出y=2alnx的导数，设切线为(利,〃)，由切点处的导数值为切线斜率求出机=。，再由切点坐标可把人

表示为。的函数，再利用导数可求得Z?的最小值.

【详解】y=2alnx的导数为，由于直线y=2x+〃是曲线y=2alnx的切线，设切点为(根,〃)，

x

则网=2,

m

：,m-a,又2，〃+b=2alnm,h=2a\na-2a(a>0),b'=2(Ina+l)-2=21na,

当a>l时，">0,函数6递增，当0<a<l时，b'<0,函数人递减，

••・a=l为极小值点，也为最小值点，...6的最小值为21nl—2=—2.

故答案为：-2.

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值.在求切线方程时要注意“在”某点处的切

线与“过”某点的切线.如果是过某点的切线可设切点坐标为(为,%),利用导数几何意义求出切点坐标.

14.已知函数/(x)=-cos2x+2asin'cost-@(0WxW工)的最大值为理--,则实数a的取值范围

222424

是.

【答案】a>2

【解析】

【分析】

通过换元法将/(x)的最值问题转化为g(r)=—/+w—\+的最值，利用二次函数的性质列不

等式求解即可.

【详解】解：由已知/(幻=—(l-2sin2x)+tzsinx--=-sin2x+6zsinx--+—

2V7442

令1=sinx,

cCl1

则gQ)=一厂+R----1—,0<£<1,

42

八、{。13。-2

因为g(l)=-1+。——+—=------，

424

则g(f)在区间［0』的右端点取最大值,

故则。22.

2

故答案为：a>2.

【点睛】本题考查二次型三角函数的最值问题，通过换元法可将问题简单化，是一道基础题.

15.点48是抛物线。：丁2=2*(0>0)上的两点，F是抛物线C的焦点，若N4FB=120°，AB中点。

到抛物线C的准线的距离为d,则-4―的最大值为______.

IAB|

【答案】@

3

【解析】

【分析】

过A3,£>作准线的垂线,垂足分别为N,P,M,则d=\MD\=|(|AN|+忸4)=^(\AF\+\BF\),在MBF

中寻找它们的关系，求出比值的最大值。

【详解】

如图，过4民。作准线的垂线，垂足分别为则。=眼。|=；（|47|+忸丹=；（|4月+忸可）,

△AB/7中，

|AJ?|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||/?F|COS120°=|AF|2+|5F|2+|AF||BF|

22

=(|AF|+1BF\)-1AF||5F|>(|AF|+1BF\)-(M±M)2=|(1^/7]+|5F|)2,当且仅当|AF|=|B同时

取等号。

■,\AB\~\3~31

d_1\AF\+\BF\^即士的升值均百

加|一31AM丁,即网的最大值为丁

故答案为：且。

3

【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的