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文档简介
初中数学代数知识大全
一、有理数的运算
1、相反数:a的相反数为:-。—a的相反数为:。0的相反数为:0
a(a>0)
2、绝对值:|。|=40(。=0)
<-a(a<0)
3、倒数:ab=l,。和〃互为倒数.或。=!
b
4、有理数的加法:+。+人=+(|。|+|〃|)-a+(-b)=+1。I
-a+h=-(\a\-\b\)a+(-h)=^\a|一力|)4|>匕
5、有理数的减法:a-b=a+(-b')
6、有理数的乘法:axb=+\a\x\b\-axb=]-a\*2(«>0,Z?>0)
7、有理数的除法:a-^h=+\a\^-\b\一。子〃=卜4k(a>0,b>0)
8、有理数的乘方:a〃=axaxXQXQ(〃个Q)
(一")"=""’(一〃)""‘=—a"'"320
二、整式的运算
1、整式的加减:
(1)非同类项的整式相加减:ab±mn-ab±mn(不能合并!)
(2)同类项的整式相加减:ab±an=(b+n)a(合并同类项,只把系数相加减)
2、整式的乘除:
(1)塞的八种计算
(a)同底数幕相乘:a"xa"=a"+"
(b)同底数幕相除:3。0)
(C)零指数:Q°=l(aw0)
(d)负指数:Q"=’73。0)
a
(e)积的乘方:(ab)=/义b
(f)累的乘方:")=/"
(g)同指数的基相乘:a"'xb"1=W"
m
(h)同指数的幕相除:/'+//=(£)Sw°)
(2)整式的乘法:
(a)单项式乘单项式:maxnb=rruuib
(b)单项式乘多项式:m(a+b+c)=ma+mb+me
(c)多项式乘多项式:(。+,)(加+〃)=am+an+hm+hn
(3)乘法公式:
77
(a)平方差公式:(。+3(。一人)=4--//
<b)完全平方公式:(a+b\=a+b'±2ab
(c)三数和的完全平方公式:(a+b+c)2=q2+y+c2+2(ab+bc+ac)
(d)立方和公式:(a+b)(q--ab+b)=a+b
(e)立方差公式:(a_b)(a~+ab+b)=Q-。
(f)完全立方公式:(〃±,)=Q-^CL^^~^ab-1}
(g)三数和的完全立方公式:(Q+b+c)'=4Z+Z?+3abe+b+c)
(4)整式的除法:
(a)单项式除以单项式:irta^nb=(―)(tz4-b)
n
(b)多项式I除以单项式:(ma+mb+/nc)+m=ma+m+mb+m+me+m=a+b+c
三、因式分解的运算
1、提取公因式法:ma+mb+me=m(a+b+c)
2、公式法:/-82=(〃+0)(〃一〃)〃2±2"+//=(〃±/2).
2
3、十字相乘法:〃~+(加+〃)。+加1=(a+m)(a+n)
四、分式的运算
/J7mb
1、分式的通分:匕=々(。工0/。0)
aab
/v_u^/i八、mbmb+bm八,八、
2、分式的化简(约分):一=------=—3z。0,力。0)
abab+ba
3、分式的加减:
/77nm+〃
(1)同分母的分式相加减:竺±2=竺」(。工0)
aaa
/77nmb+nci
(2)异分母的分式相加减:竺±q=竺二吧(。工0/。0)
abab
4、分式的乘除:
(1)分式的乘法:‘x'="
abab
,、八mnmbinb„,八、
(2)分式的除法:一+—=—x—=—w0,。w0z,〃w0)
abanan
五、根式的运算
1>根式的加减:m-Ja±ny/a=(m±n)y/a(同类根式才能相加减)
2、根式的乘除:m-Jaxny/b=(mn)y/abm^a+n(〃。0力。0)
(同次根式才能相乘除)
3、根式的乘方:(〃)=。(a>0)
a(a>0)
=Ia1={0(a=0)
-a(a<0)
4、分母有理化:?=叱坦=9_g0)
8(«)0
mm(y/ab)m-/amb
4a±b士b)(8b)a-B
六、方程的运算
1>一元一次方程
步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,化未知数的系数为1。
注意:移项时,此项前的符号要变号;去括号时,括号前是“一”时,括号内的每一项都要变
号。
2、关于x的一元一次方程方=人的解的三种情况
(1)a=0,b*0,方程无解
(2)a=Q,b=0,方程无数多个解
(3)方程只有一个解
3、二次一次方程(组)
(1)二元一次方程的正整数解(不定方程)
(a)不定方程的概念:一个方程,两个未知数。
(b)不定方程的解:有无数组解,这些解有一定的规律。一般只讨论正整数解。
(C)不定方程的一般解法(选学内容******)
对于不定方程3x+4y=90来说:
解法步骤为:(1)整理:用一个未知数表示另一个未知数。x=90~4v=30--y
33
(2)求解:令y=1,2,3,4,求出x的整数解。
4
(3)设参数::x=30--y,且x为整数。
3
4
显然是3的倍数。
故y=3—伏=1,2,3,4)
'x=30—4Z
所以符合要求的解集为:V
y=3k
(2)二元一次方程组的解法
(a)代入消元法
要点:用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,代入方程求解。
(b)加减消元法
要点:通过加减消去一个未知数,求出另一个未知数,代入方程再求出消去的未知数。
(3)三元一次方程组的解法
主要是加减消元法
要点:先用①式与②式消成二元一次方程,再用②式与③式消成二元一次方程,然后组
成新的二元一次方程组再求解。
4、分式方程
(1)步骤:方程两边同时乘最简公分母,去分母,化为整式方程求解,检验。
(2)要点:增根的检验很必要,不然方程中分母为0,无意义!
(3)增根的检验:代入原方程的分母,看分母是否为0。为。则是增根,不为0则是原
方程的根
(4)拓展提高:已知增根,求分式方程中的参数的值。先公为整式方程,代入增根的值,
即可求出原方程中的参数的值。(注意,不能先代入,否则分母为0,无法计算。)
5、一元二次方程
(1)三种解法
(a)配方法
步骤:一化(化二次项的系数为1)
二移(把常数项移到方程右边)
三配(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)
四整理(写成完全平方式,两边开方)
五写根(通过开方的两个答案,写出两个根)
(b)公式法
步骤:一、找系数
二、算A=//-4ac的值
一力八一—b±db~-4ac
二、代公式工二--------------
2a
四、写出两根
(c)因式分解法
步骤:一整理(方程整理成右边二0的形式)
二分解(把方程左边分解成两个整式之积)
三求根(根据每一个整式为0,求出两根)
(2)求根公式的理解x=——------
2a
(a)Q不能为0。因为。=0,分母=0。式子无意义
,八-b±yjb~-4ac±yJ-ac
(b)〃=0,x=------------------=---------
2aa
两根互为相反数。
_-b±yjb2—4ac_—b±_—b±b
(c)
2a2a2a
-b+b-b—bb
K=k=0,%=
两根之中至少有一个根为0。
(3)根的判别式△=//_4ac
(a)当△=//-4。,〉0时,方程有两个不相等的实数根。
(b)当△=//-4ac=0时,方程有两个相等的实数根。
(c)当△=//-4ac<0时,方程元实数根。
(d)当△=//-4acN0时,方程有两个实数根。
(e)。、。异号时,方程必有实数根。
(4)方程的特殊解与系数的关系
b
(a)当方程有一个根为。时,c=0,另一根为一一
a
(b)当方程有一个根为1时,a+0+c=0,另一根为上
a
(c)当方程有一个根为—1时,a-b+c=O,另一根为一$
a
(5)根与系数的关系(韦达定理)
”f+bx+c=0的两个根为M和尤,则无和工?满足以下关系:
,bc
+==
XiX2--,X)x2~
根据以上规律还可以得到以下关系:
2
+52c_52ac
XlX2=(沏+%2,-2%%2=(-----)-2x-=
22
a
adaa
b
111=X^+Xi=~a=t>
XiXXiXi-c
2a
h2-2ac
2222
X,X1_X1+X2_
2I———a——_b_2ac
XiX九2-ac
2a
-2
Ixrx,1=V(X1~X2)=Jxi+X2~XIX2
4422、222
Xl+X2=(xi+%2)-2汨X2
3
%]+2--acX,的分析如下:
a
/2hc、b2
••.(/+”+/'+/z%+5+0=0
2
3b2cb2Kbe八
即:X\++
-Xal+-Xa.+a-X2—X2+—a=°
2
3b,22cz.h-ache
X\+T<X1+X2)+=(无+工2)+------X2+~
aaaa
2
3b,2abcJO—acabc
Xi+3——Xi+~r
aaa
3V)-acjy-labc
+
=X1+.....-X2------3—=o
aa
3—ac2abc-l)
X\+~Xl=3
aa
七、不等式(组)的运算
i、不等式的三条性质
(1)若a>/?,贝土加〉6±/〃
(不等式两边同时加减相同的代数式,不等号方向不变)
(2)若a>。,m>0,贝必根〉。机或0>2
mm
(不等式两边同时乘或除以一个正数,不等号方向不变)
_ab
(3)若4>/?,/〃<0,贝胸〃?<加1或一<—
mm
(不等式两边同时乘或除以一个负数,不等号方向改变)
2、不等式的解法
步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,化未知数的系数为1。
注意:移项要变符号,两边同时乘或除以一个负数,不等号要改变。
3、不等式的解集在数轴上表示
(1)“>和<”,用空心圆圈
(2)“2和<”,用实心圆圈
4、求符合不等式解集的特殊解
(1)正整数解
(2)非负数解
(3)与一元二次方程的判别式相结合的求解集。(分△>0,A=0,A<0,A20)
(4)知道特殊解的个数,反过来求不等式中的参数的取值范围。
5、不等式组的四种解集
(1)两个都是大于:大大取较大。
x>a,x>b(a>b)解集为:x>a
(2)两个都是小于:小小取较小。
x<a,x<b(a>b)解集为:x<b
(3)大于小的,小于大的:大小小大中间找。
x>a,x<b(«</>)解集为:a<x<b(a>力之间)
(4)大于大的,小于小的:大大小小没法找。
x>a,x<h(a>b)解集为:无解
6、用图像解不等式
(1)一次函数
分自+人>0和<0两种,即横轴之上与横轴之下两种图象来考虑。
刚好在x轴上,即辰+匕=0。
分三种情况来考虑:
①图象与x轴的交点:kx+b^O
②图象在x轴之上的部分:kx+b>0
③图象在x轴之下的部分:kx+b<Q
(2)一次函数与反比例函数
分kx+b>七kx+—kx+be.—三种情况考虑
xxx
如图:交点坐标很重要。
每种情况都要分几个区域来考虑。
①直线在曲线之上:一次函数大于反比例函数
②直线在曲线之下:一次函数小于反比例函数
③直线与曲线的交点:一次函数等于于反比例函数
(3)二次函数
2,八
ay4-PX+OO
从开口方向、图象与X轴交点坐标、图象在无轴之上、与在X轴之下几个因素来考虑
7
①图象在x轴上方的部分:ajQ-\-bx-\-oQ
7
②图象在X轴下方的部分:ax-+bx+c<0
③图象与x轴的相交处:a^Q+bx+c=Q
④无交点时,整个图象在上与在下两种。
八、直角三角形边角关系(三角函数)的运算
1、四种三角函数的(直角三角形)定义
(1)正弦:(对边比斜边)sinA=-
c
h
(2)余弦:(邻边比斜边)cosA=—
C
(3)正切:(对边比邻边)tanA=-
h
(4)余切:(邻边比对边)cotA=-
2、四种三角函数的(直角坐标)定义
.y
(1)正弦:sma=—
c
X
(2)余弦:cosa=—
c
y
(3)正切:tana=—
X
X
(4)余切:cota=一
y
注意:(A)当角a是锐角时,四种三角函数都是正数;
(B)当角a是钝角时,P点转到第二象限,x的值为负数,
此时只有正弦为正数,其余的三种三角函数都是负数。
(C)由对称可知:
互补的两角的正弦相等,如:sin60°=sinl20°,sin30°=sinl50°
互补的两角的其他三种三角函数互为相反数,
如:cos120°=-cos60°,tan150°=—tan30°cot135°=—cot45
3、特殊角的三角函数值
X0°30°45°60°90°
sinA0也显1
22
\_
cosA1也在0
222
tanA01忑—
3
cotA—1县0
口诀:正弦,余弦分分母2,分子根号1,2,3;正切余切分母3,分子根号3次方。
4、三角函数的关系
(1)倒数关系:tanAxcotA=l(两切相乘积为1)
(2)平方关系:silVA+cOS-A=1(两弦平方和为1)
、sinA,c(8A
(3)商数关系:-------tanA-------cot/(两弦相除得到切)
cosAsin4
(4)互为余角的三角函数:
siiw=cosR90cos«=sin(90°-a)
tana=cot(90°-a)cota=tan(90°-a)
(5)互为补角的三角函数:
sim=sin(<l-8tf)cosa--cos(l800-a)
tam=-tan(1-84)cota--cot(l80°-a)
5、直角三角形的边角计算
b
(1)计算对边:=cxsinAa-Zzxtan/a=-------
cotA
nh
(2)计算斜边:c=/一c=—
sinAcosA
(3)计算邻边:b=―-—h=acotAh=cxcosA
tanA
(4)规律:不必死记硬背,只记定义变形。先写相关定义,再作乘除变形。
如:sinA=—可以推出:a=cxsinA和c="
csinA
6、三角形中重要的三角函数公式
(1)三角形的面积公式:
q=—xABxACxsinA=—xABxBCxsinB=—xACxBCxsinC
222
三角形的面积=夹角的正弦与这两边乘积的一半。
(2)正弦定理:
~^—=~^—=~^=2R(火为AABC的外接圆的半径)
sinAsinBsinC
三角形中任一边与这边的对角的正弦比值相等。
(3)余弦定理:A
222
a^b'+c~2bccofiA
222
b=a+C-2accosB
222
c^a+b'-2abcofiC
三角形中任一边的平方=另两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍。
(4)规律与用途
A、用两边夹一角计算三角形的面积。
不知道高时,使用这种方法可使计算简便。尤其适用夹角是特殊角时。
在求夹角是60°、30°、120°、150°等三角形的面积时,可以直接使用这种公
式计算,不需要作高来分析。
q=—xaxaxsin60q=—xaxxsin60"q=—xaxZ?xsin150°
020202
=—"sin30°
12G上2
=5x4x-y41,
--ab
4
\[32
7a
B、己知两角及其中一个对边,求另一条对边。
用正弦定理列出比例式计算。知道两角夹一边也可以转化为正弦定理解。
ax
sinasin0
a.八asinB
x=------xsinp=-------
sinesine
当a和尸是特殊角时计算尤为简便。
C、已知两边夹一角计算第三边。
用余弦定理计算。夹角一般要特殊角才好计算。
x=a+b"-2abcosa
x=yja+b'—2abcosa
当a是特殊角时,计算很简便。特别是。=60°和a=120°时可以直接使用
(5)典型例题
①非直角三角形求解
如图:已知NB=60°,ZC=45°,BC=6,求。$M〜wC
方法1:作高
作高AD,设AD=X,
贝ijRtAACD
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