初高中衔接教材(自己修订版)

第一节数与式的运算

1.1.1.绝对值及零点分段法

一、知识点

1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即

。〉0,

\ci\=<0,67=0,

-a,a<0.

2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

3.两个数的差的绝对值的几何意义：卜-q表示在数轴上，数。和数。之间的距离.

二、例题

例1:在下列条件下去掉绝对值

(1)|x-l|-|x-2|(x>2);(2)|x-l|-|x-3|(l<x<3)；(3)|x-l|+|x-3|

例2:解绝对值不等式

(1);(2)|2x-l|<2;(3)gx+l>3;(4)|5x+7|>0;

(5)|2x+l|<0;(6)|2x+l|<0;

练习：①W<5;②国>1();③|3乂<12;@|3X3+5X2|+1>0;

(?)|3x~•5|+1<0;⑥]3x-5区0

例3:解不等式

(1)|x-l|+|x-3|>4;(2)|x-l|+|2x-4|<5

例4:(1)求函数)，=&—2x+i+VX2-4X+4的最小值

(2)求函数y=&-2x+l-VX2-4X+4的最大值

例5:作出下列函数图像

(l)y=N；(2)y=|x-l|；(3)y=|x-l|+|x-2|;

(4)y=\x-l\(x+2);⑸y=,2_2x—3|；(6)y=x2-2\^-3

例6:(1)方程苗—2%-3|=加有4个解，求加的取值围；

(2)不等式卜一1|+上一3|2加+1的解为一切实数，求加的围。

氏小1

练习：不等式组・无解，求a的围。

|x-3|<a

1.1.2.乘法公式

一、知识点

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b”;

(2)完全平方公式(a+b)2=a2±2ab+b2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(Q+-ah+h~)="+S；

(2)立方差公式(a-b)(a2-\-ab-\-b1)=a3-b3);

(3)三数和平方公式(Q+b+3=3+b+c-2(ab+bc\-;

(。+〃)3=/+3。2〃+3加+/；

(4)两数和立方公式

(5)两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.

二、例题

例1id-M：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+x+l).

例2已知a+6+c=4,"+Z?c+ac=4,求£+匕2+/的值.

练习

1.填空：

1,1,11

(1)-a2——b2=(-b+-a)();

9423

(2)(4根+)2=16m2+4/n+();

(3)(a+2b-c)2=/+破+。2+().

2.选择题：

(1)若f+Lnr+A是一个完全平方式，则攵等于()

2

(A)nr(B)-m2(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不论。，。为何实数，/+〃一2。—42+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

例3(1)已知》+、=3,孙=2，求/+y3与/+y2的值；

(2)已知：x+y+z=6.xy+xz+yz=1l,xyz=6,求『+y2+z?与(x_])(y_l)(z—l)的值；

（3）已知：a=6-0由=0四,求/+/与的值;

]1V6J-1

(4)已知：x2+3x+l=0,求值：@x2+—；@x4+—；©^-^―

XXX'

练习：

1,已知：a+b=2，求/+6ab+Z?3的值；

2.已知：x—，=3,求——二的值；

XX

3,若3y=%+2z，求x?—9j2+4z2+4xz的值；

4.设。（。-1）一（〃一切=一2,求.一+'一帅的值;

2

5.计算：(1)(x+y)2(Y一孙+y2)=；

(2)(2y-z)[2y(z+2y)+z2]=；

(3)(x2-；)(丁-gx++；)=；

(4)(x-y)[(x+y)2-孙账x+"(x-y)2+xy^=；

,311

(5)(9X2--X+—)(3X+-)=；

4164

(6)[(«2-2)(/+2a2+4)f=；

6.已知：x+y=6,x2+4y2<4xy,求Y+的值。

7.若y=7,13-y3=56，求冗2+盯+y2的值；

8.已知：X、y、2是正实数，且不一丁=一2,丁3-23-丁2-*-22=。，求工一2的值；

1.13.二次根式

一、知识点

一般地，形如GmNO)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例

如3a+yla2+b+2b,耳+附等是无理式，而也、+孝彳+1,x2+y/2xy+y2,后等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概

念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例

如血与夜，3G与石,G+#与百一#,2G-30与26+3&,等等.一般地，。6与4,

ajx+hy/ya4x-byfy,+b与a6-/?互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母

和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

=岚(a>0,^>0);而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；

二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式"的意义

77=1”卜/。，

11[-a,a<0.

二、例题

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1);(2)V^(aN0);(3)，4巧(><0).

例2计算：6+(3-石).

例3试比较下列各组数的大小：

(1)屈一而和VH—屈；(2)-j=2—和2&一#.

V6+4

例4化简例G+痣严•(6-V2)2005.

例5化简：(1)79-475;(2)^X2+--2(0<X<1)

A/3—5/2V3+V2

例6已知x=求3x2-59+3y之的值.

A/3—5/2

练习：

1.填空：

(2)若J(5-x)(x-3)2=(x—3)乒^,则x的取值围是_

(3)4724-6754+3796-2^/i50=;

/4、号V5.x/x+l—V-V—1,x/x+1+V-V-l

(4)右'X=/人」一IIHiI

2\/xyjx—1。尤+1—yjx—1

2.选择题：

等式'巨=成立的条件是

VX-2yjx-2

(A)x。2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

1.1.4.分式

1.分式的意义

AA

形如一的式子，若8中含有字母，且8,则称一为分式.当M=0时，分式具有下列

BB

ffig：

A_AxM_A_M

~B_BxM'~B—B+M-

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像上，这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

,,5x+4AB

例1若-------=一+----，求常数A,3的值.

x(x+2)xx+2

(1)试证：一-［-=~-一］(其中"是正整数);

例2

“(〃+1)n〃+1

111

(2)计算：---+---------FH-----------

1x22x39x10

(3)证明：对任意大于1的正级,有人+」

nH--------------<一

2x33x4〃(〃+1)2

拓展练习：

1.解不等式卜+3|+k一［＜7

22

、八11“Mi、x+xy+y-0立

2.\^.x=—f=—,y=—f=—，求代数式的值.

V3-2V3+2x+y

.2»2

3.当3。2+4/7—2〃=03工0力70），求⑷―2一幺匕的值.

baab

75-1

4.设工=，求*4+/+21的值.

2

5.化简或计算：

)•白

⑴(V18-4.11

2+V2-V3

⑵2检

6.(1)已知Q+/?+C=O,

求+―)+b(—+—)+c(一+的值.

bccaab

（2）若-4,

求1-1++1

1+yjX—11-y/X—1

8.若—b—2y二\j-b-,贝[|()

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)h<a<0

9.计算4口等于（）

Va

(A)口(B)&(C)-\[-a(D)-4a

10.解方程2(x?H—r)—3(xH—)—1:=0.

XX

I】•计算：±+£+白+i

+9xll

12.试证：对任意的正整数n,有一］--+―1—+11

+-----------<T

1x2x32x3x4n(n+1)(〃+2)4

第二节分解因式

1.公式法

常用的乘法公式：

口]平方差公式：;

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：.

[4](a+b+c)2=

[5]a3+b3=(立方和公式)

[6]a3-b3=(立方差公式)

由于因式分解与整式乘好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式

可以进行因式分解.

2.分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于

四项以上的多项式，如〃也+/泌+w+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，

可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的

关键在于如何分组.

常见题型：(1)分组后能提取公因式(2)分组后能直接运用公式

3.十字相乘法

(1)x2+(p+q)x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之

积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.

:x1+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+〃)+g(x+p)=(x+/?)(%+<y),

.'.X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

(2)一般二次三项式ox?+-+。型的因式分解

2

由ci}a2x+(4G+«2ct)x+c\c2=(a,x+q)(a2x+c2)我们发现，二次项系数a分解成

a}a2,常数项c分解成c&,把4M2，q，G写成:义：；，这里按斜线交叉相乘，再相加，就

得到aj+a2cl加果它正好等于+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bx+c就可以分

解成(4兀+9)(。2彳+。2)，其中4,q位于上一行，%,c?位于下一行.这种借助画十字交叉

线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确

定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添项法

例1(公式法)分解因式：(1)3a7—81/；(2)a'-ab6

例2(分组分解法)分解因式:(1)ab(c2-d2)-(a2-b2)cd

(2)2x2+4xy+2y2-8z2

例3(十字相乘法)把下列各式因式分解：

⑴JC+5x—24(2)x2—2x—15

(3)x2+xy-6y2(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：⑴12/一5%一2;⑵5x2+6xy-8y2

例5（拆项法）分解因式/—+4

【巩固练习】

把下列各式分解因式：

(1)ab(c2-d2)+cd(a2-b~)(2)x2-4mx+Smn-4/72

(3)X4+64(4)d-4孙2-2/y+8y

柘展练习：

1分解因式（1）m4-3w2-4(2)4/_3742b2+9/

(3)X-a1+2ab-b2(4)4x2+4xy+y2-10%―5y+6

(5)X3-3X+2

第三节不等式解法

1.一元二次不等式解的各种情形

ax2+bx+c>0或内？+/?x+c<0(a>Q)图象解法：

判别式一元二次方程的二次函数图象不等式的解

解

A=/?2—4acax2+hx+c=0y=ax1+bx+cax2+hx+c>0ax2+bx+c<0

A>0

修、乙是两根且X<X]或X>工2X]<x<x2

阳<x2

A=0bxw—2两条射

x,=x=-----无解0

22a2a

线

A<00

无解全体实数R

注：。<0的情形由学生行讨论

例1：解下列不等式：(1)2X2-3X-2>0;(2)-3%2+6x>2;

(3)4%2-4X+1>0;(4)—+2,x—3>0;

练习：(1)3X2-7X+12<0;(2)—6厂—x+2<0;

(3)4X2+4X+1<0;(4)x2-3x+5>0;

2.分式不等式

Y—32x-\

例2:解不等式：（1）--<0(2)>0

x+7x+4

练习：解下列不等式：

(l)|3x+2|<W；⑵三f>。；...X-\[...1,

⑶一-<1；(4)--<1；

x+2%+2

30(7)2x+Vx>3;

⑸Q1；：,。；⑹炉一凶―6<。；

(8)2X4-3X2-5>0;(9)2X4-7%2+5<0

例3:(1)不等式这2+笈+2>0的解为一,<%<，，求/+/的值；

23

(2)函数y=62+41_+4(1)x+3的图像在x轴上方，求&的值;

5)X2

(3)函数y=7(m2-l)x2+(/n+l)x+3的自变量x取值围是全体实数R,求加的

围；

⑷不等式（根—1）尤2+如+320恒成立，求〃?的围；

3.解高次不等式：

例1解下列不等式Q)(x+2)(Y-X—12)>0;(2)(x-l)(x+5)(x-6)>0;

(3)(x-l)(x+5)2(x-6)3>0;

2

r-3r-102尤2一3X-5

例2:解下列不等式：(1)"；"”<0.(2)—；~~->1

X-131-13x+4

(3)(x+1)(/-2X-3)(X2-X+2)>0

4.解含参数的不等式:

22

(l)56x-ax-a<0;(2)/面+0»+储>0；

2,21

(3)ax-(Q+l)x+1<0;(4)x-(tz+-)x+l<0;

a

拓展练习：

1.解下列不等式:

(1)2%2+%<0(2)%2-3X-18<0

(3)—%2+xN3x+1(4)x(x+9)>3(x-3)

2.解下列不等式：

Y4-]3x4-12

(1)—>0(2)^-<2(3)->-1(4)

x—12x—1x

2x?—X4-1

------------->0

2x+l

3.解下列不等式：

(1)x2—2x>2J24-2(2)—%2—x+—20

235

4.解关于1的不等式（加一2）x>l—加.

5.已知关于x的不等式蛆2_犬+机<0的解是一切实数,求”的取值围.

v।ovq

6.若不等式号>1+营的解是x>3,求k的值.

kK

7.a取何值时，代数式（。+1）2+2（即2）-2的值不小于0?

8.已知函数y=x2-2ax+\（a为常数）在-2<%<1上的最小值为n,试将,用a表示出

来.

9.解关于〉的不等式*+2〉+1-于40（3为常数）.

10.不等式以2++c<0(〃w0)的解是x<2,或x>3求不等式bx2+ax+c>0的解.

第四节一元二次方程及韦达定理

一、知识点

1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程a*+bx+c=0(a/0),用配方法可以将其变形为

因为axO,所以，4接>0.于是

(1)当勿-4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

-b±y/b2-4ac

Xi,2=------------------；

2a

(2)当〃-4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

b

X1=X2=-----；

2a

b,

(3)当〃-4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x+丁)一一定大于

2a

或等于零，因此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程aK+bx+c=0(arO)的根的情况可以由*-4ac来判定，我们

把5-4ac叫做一元二次方程a/+6x+c=(X弗0的根的判别式，通常用符号来表示.

综上所述，对于一元二次方程aA2+6x+c=0(a#0),有

(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根

一♦±“2-4ac

M,2=------------------；

2a

(2)当△=0时，方程有两个相等的实数根

h

xi=x=--;

22a

(3)当A<0时，方程没有实数根.

注：(1)使用判别式△时要保证二次项系数4Ho；

(2)一元二次方程有实数根=△20;

(3)二次三项式ax2+bx+c为完全平方式oA=0;

(4)二次三项式ax2+"+c恒正6">°财"="=°；

LA<0^-c>0

2.根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程aK+bx+c=0(arO)有两个实数根

一b+db1-4ac-b->Jb2-4ac

X=^7，X]~—，

2a2a

则有

-b+\lb2-4ac-b-ylb2-4ac-2bb

X,+=-------------------1---------------------------=--------=—i

2a2a2aa

_一人+\[b2-4ac-b-\jb2-4ac_b2-(b2-4ac)_4ac_c

122a2a4/4a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

bc

如果a*+bx+c=0(awO)的两根分别是Xi,x,那么xi+x=——,xx=一.这

22ar2a

一关系也被称为韦达定理.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程/+N+夕=0,若M,总是其两根，由韦达

定理可知

Xl+X2=-P,X1・X2=q,

即p=-（Ai+至），q-XYX2,

所以，方程〃+px+q=0可化为必-（的+就x+xrx2=0,由于Ai,X2是一元二次方程

*+px+g=0的两根，所以，所，及也是一元二次方程乂-（用+及）x+XyX2=0.因此有

以两介数X、,及为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

-（X1+X2）x+X1*X2=0.

二、例题讲解

例1判定下列关于X的方程的根的情况（其中a为常数）

(1)x2-%+1=0(2)-5x2-6x+2

(3)2x2-5x-3=O(4)4-2x+a-0.

练习：L当上为何值时，直线y=与抛物线y=--6x+5,

①有两个交点；②有一个交点；③无交点；

2.若关于x的一元二次方程0c2-2x+l=0有两个不相等实数根，求的围；

3.m取何值时，多项式x2-(2m+2)x+m2+5是一个完全平方式；

2

例2.若方程2%+4x+1=0两根分别为为与x2,求下列各式的值：

3

⑴石+x；;(2)---1---；(3)lx]—x2|；(4)%1+%2；

x}x2

例3.二次函数y=x2+(a-2)x-2a(a21)与x轴交于A、B两点，求|的最小值；

练习：求二次函数y=x2+(a-2)x-2a与直线y=x+1截得弦长的最小值；

27

例4:已知：实数a、b、c满足a+6+c=0,Mc=—，求c的围；

4

例5:设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程/+2(机-2)x+机？-3加+3=0有两

个不相等的实根毛、与，

(1)若x；+x；=6，求”的值；⑵求旦+粤的最大值；

1一玉l-x2

,5

例6:关于的一元二次方程x2-ax+a+-=O,

4

(1)两根同号，求。的围；(2)两根异号，求a的围；

例7:是否存在常数k,使关于x的方程9--（4左-7）x-6&2=0的两个实根和/满

足土=』，如果存在，试求出所有满足条件的左值，如果不存在，请说明理由。

x22

柘展练习：

•>11

1•若/X,是方程2》2—6x+3=o的两个根，则—+一的值为()

X]x2

19

A.2B.-2C.-D.-

22

2.若才是一元二次方程数2+区+。=0的根，则判别式A=/_4ac和完全平方式

加=(2"+。)2的关系是()

A.A=MB.\>MC.\<MD.大小关系不能确定

3.若关于x的方程mW+(2/77+l)x+/n=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值围是

()

A.m<—B.m>-—

44

D.m>-L且m/0

C.m<—,且

44

4.设玉,%是方程Y+px+q=0的两实根，+1是关于x的方程V+/+〃=0的两实

根，则〃=,q=.

5.已知实数a,dc满足。=6-方储=时-9,则a=,h=

6.已知关于x的方程f+3x-〃?=0的两个实数根的平方和等于11,求证：关于x的方程

(k-3)x2+kiwc-m~+6m-4=0有实数根.

7.若外,々是关于x的方程¥-(2Z+l)x+^+i=o的两个实数根，且与马都大于1.

(1)数攵的取值围；

⑵若;3,求女的值•

第五节一元二次方程实根分布问题

一元二次方程实根的分布情况有很多，常见的有6种，见下表。表中的图像是

/(占)•/(&)<()或△=()

1m----e(勺,22)或

A>02a

,b,7(^)>0了g)=0

4<一五<”

充要条件«/伏2)<。V,bK+及,或

k.<----<」_N

M)>o,/(^3)>0「2“2

[/伏2)>°

7a2)=o

Vb,

———-<—

[2la-

例1:已知二次方程x2+(2m-3)无+4=0有且只有一根在(0,1)，且x=0,x=1都不

是方程的解数〃?的取值围；

例2:已知方程2x2-2(2根-l)x+(m+2)=0两根在(—1,1)之间，求m的取值围；

例3:已知二次方程x2+2(m-1)x-(5m+2)=0的一根小于，另一根大于1,求〃?的

取值围；

例4:已知：方程x2-(3m+2)x+2(m+l)=0的两实根都大于1,求”的取值围；

练习：

1.已知方程X2-2mx+(m-i)=0有且仅有一个根属于(1,2),且x=1,x=2都不

是方程的解，求，"的围；

2.已知：方程x2+(3m-2)x+2/M-2+0有一个大于一2的负根，一个小于2的正

根，求〃?的围；

3.已知方程x2+(3m+4)x+3(m+1)=0两个根都属于(-2,2),求m的围;

4.已知方程2，+（3加+1）%+（相+4）=0两根都大于—1,求加的围；

5.已知方程2/+(3m+l)x+(加+4)=0一根小于1,一根大于1,求m的围；

第六节二次函数在闭区间上的最值

知识要点：

1•次函数在自变量X取任意实数时的最值情况(当a>0时，函数在x=-2处取得最小值

2a

4ac—-b4-ac—b~

——，无最大值；当。<0时，函数在》=-2处取得最大值*—，无最小值.

4a2a4a

2.介绍区间；

3.值域；

例1:在以下条件下，求函数/(%)=犬-2x-3的值域：

Q)xeR;(2)XG[-3,-2];(3)xe[2,3]；(4)xe[o,4]；⑸XW[0,M);

例2:求函数/(x)=/+2以在xe[-1,1]时的最大值和最小值；

例3:求函数y=/一©-5在［0,司上的最大值和最小值；

练习：

1.求函数y=2/-3x+5在［—2,2］上的最大值;

,13

2.求函数y=-4/-10在-53上的最小值；

3.函数y=2—J—+5x—2的最大值是_____________最小值是

4.求二次函数y=-4x+1在［0,1］上的最值；

5.求函数y=x2-2bx+3在区间［-1,1］上的最大值和最小值；

6.求函数y=Y-2x+3在区间［0,4上的最值；

22

7.求函数y=(2x-x)+3(21-%)-l的最大值或最小值;

8.求函数y=/+2/+6X2+5X-7的最小值；

9.求函数y=2x-J1Z的值域；

柘展练习：

1.抛物线y=f-（机-4）x+2根-3，当“=时，图象的顶点在y轴上；当加=

时，图象的顶点在X轴上；当，〃=时，图象过原点.

2.用一长度为/米的铁丝围成一个矩形，则其所围成的最大面积为一

3.设。＞0，当一IWXWI时，函数y=-V-ax+6+l的最小值是-4，最大值是0，求

的值.

4.已知函数旷=/+2办+1在-1WXW2上的最大值为4,求a的值.

5.求函数y=3—，5x-3x2—2的最大值和最小值.

6.已知关于x的函数y=/+（2f+l）x+/一1,当/取何值时，y的最小值为0?

第七节集合

7.1集合的含义和表示

-•什么是集合

在数学语言里，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合（set）,给这

些对象的总的名称，就是这个集合的的名称，就是这个集合的名字，这些对象中的每一个,

都叫作这个集合的一个元素（element）.

约定（1课合用大写字母表示，元素用小写字母表示。如:集合A,B,M,N,元素民…

（2）同一集合中的元素互不相同的也与顺序无关

二.集合与元素的关系

只有属于和不属于两种关系。

设S是集合，a是元素。若a是S的一个元素，则a属于（belongto）S,记作aeS。

若。不是S的一个元素，则不a属于S，记作a史S。

三.常见集合

1.全体整数组成的集合叫整数集（setofinteger），记作Z

2.全体有理数组成的集合叫有理数集（set。尸rationalnumber）记KQ

3.全体实数组成的集合叫实数集（set。，rea/number）,记作R

4.全体自然数数组成的集合叫自然数数集（set。尸natural,记作

N,OeN

用R+,R.分别表示正实数和负实数，类似地有Q,,Q.,N,,N_…

有时也可临时取一个,如一副扑克牌有54,组成一个集合，这个集合不妨叫PK

12种生肖属相，组成一个集合，这个集合不妨叫SX

四.集合的分类

1.有限集：元素个数有限。2无限集：元素个数无限多个。

2.全集（empty54）：没有元素的集合,记作。，如一元二次方程/+%+1=0的

解组成的集合

五.集合的表示方法

1.列举法：把集合中的元素一个一个地列举出来，元素之间用逗号隔开，写在大括号

表示集合的方法叫列举法。如：小于10的正偶数组成的集合｛2,4,6,8｝或｛8,2,4,6｝

无穷集一般不能用列举表示.特殊的可以如自然数集z={0,1,2,3,…}

2.描述法：把集合中元素共有的，也只有该集合才有的属性描述出来，写在大括号表

示集合的方法。

基本格式为{p|/(p)}P:代表元素；/(P)：公共属性。或卜eA/(x)}

如(1)一元二次方程_2x-3=()的解组成的集合向/_2%_3=0}={-1,3}

(2)一元二次不等式X2-2%-3>0的解组成的集合向％2_2%_320}=[-1,3]

(3)一元二次函数y=/-2x-3的图象上所有的点组成的集合

{(%，#=%2-2x-3)

运用举例：

例1.用e或任填空

(1)0N;V3Z；-1N;V3+2Q;-Q;nR

--------------------3——

(2)A={'y=炉+1,%eN};B-{(x,y^y-x2-2x+?]

0_A;3_A;3.5_A10_A(1,2)A

(0,0)B;(1,1)_B;2_B

例2.用列举法表示下列集合.

(1)不大于10的非负偶数集；

(2)自然数中不大于10的质数集；

(3)《f小,=山？Ml卜

ab

例3.用描述法表示下列集合

(1)使y=—―有意义的实数x的集合；

(2)坐标平面上第一，三象限上的点；

(3)函数y=a/+bx+c(a丰0)的图象上所有的点的集合;

2

(4)方程x+(m+2)x+m+l=0(，〃GZ)的解集.

例4.用列举法表示下列集合

(1)P=(2)\-^—eNxeN-

[1+xJ[1+x

例5.设5为满足下列两个条件的实数所构成的集合：①S不含1;②若aeS,则一匚eS

i-a

(1)若2€S很！IS中必有其他两个数，求出这两个数。

(2)求证：若aeS,则1—^eS;

a

(3)集合5中元素的个数能否只有一个？请说B月理由。

练习:1ahc为非零实数，则"=@+@+邑+田的所有值组成的集合为

abcabc

2.已知集合A=｛xjizx2-3X-4=O,XG7?｝

(1)若A中有两个元素，数a的取值围；

(2)若A中至多有一个元素，数a的取值围；

3.是否存在实数q和d,使集合｛a,a+d,a+2d｝与｛。，的,。/｝的元素完全相同。

4.由正整数组成的集合A满足：(1)若xeA,则6-xeA；(2)A中有三个元素.试用列举

法表示集合A.

7.2集合与集合的关系

-.集合的子集和真子集

子集真子集相等

=

B^ABuA

符w

号

文如果集合B的每个元素都是集如果B是A的子集，若集合A是集合B的子集，

字合A的元素，就说B包含于但A不是B的子集，且B也是A的子集则称A

语A,或者说A包含B,记作就说B是A的真子集，与B相等

言87A（或A卫8,符号1读作记作BuA

"包含于"，符号?读作"包

含,，

符若由xeA，贝（J若AqB且AwB,

BeA

号则8uA

工

语

言

图