2021-2022学年重庆市万州某中学高二年级上册期末（B卷）数学试题

2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二上学期期末（B卷）数

学试题

一、单选题

1.已知椭圆长+5=1的一个焦点坐标为（°，2），则氏的值为（）

A.1B.3C.9D.81

答案：A

根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长短半轴长从半焦距c的关系列式计算即得.

由椭圆出+方=1的一个焦点坐标为（0,2）,则半焦距c=2,

于是得。+2）+22=7,解得上=1,

所以女的值为1.

故选：A

2.在等差数列｛七｝中，5“为前”项和，2%=%+5,则配=

A.55B.11C.50D.60

答案：A

由2%=%+5,%=5，S”=（%+；"）11=］以=55.

故选：A.

3.“a=-1”是"直线X+ay+6=0和直线（a—2）x+3y+2。=0平行”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

根据题意，若h〃b,则有lx3=ax（a-2）,解得a=-l或3,当a=-l时，，直线h：x-y+6=0,其斜率

为1,直线12：-3x+3y-2=0,其斜率为1,即h与12不重合，则h〃12,

当a=3时,直线h：x+3y+6=0,直线L：x+3y+6=0,h与I2重合，此时h与L不平行，

所以h〃120a=—1,即“。=-1”是“直线x+〃y+6=0和直线（a-2）x+3y+2a=0平行”的充要条件

故选：C.

4.如图，E为正方体的棱4A上一点，且%=）,/为棱4）上一点，且NGEF=90。，则A尸：尸。=

AAJ

()

A.2:7B.2:6C.1:3D.2:5

答案：A

以。为坐标原点，射线OA,DC,。。的方向分别为元轴，丁轴，z轴正方向建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为2“，分别求得取=(2”,-2凡-|’，丽=(x-2a,0,-f,然后根据

ZC,£F=90°,由麻.瓯=0求解.

如下图，以O为坐标原点，射线D4,DC,。。的方向分别为*轴，＞轴，z轴正方向建立空间直

角坐标系，

设正方体棱长为2a,则£(2。,0悔，，G(0,2a,2a),尸(x,0,0),

/.C、E=(2a,-24,-ga),EF-,

,?ZC,EF=90°,

AQEA.EF,即酝乔=0,

8,

**•-2a)+=0,

14

解得工=本-〃，

9

14144

：.FD=—aAF=2a——a=-a,

9999

:.AF:FD=2:7.

故选：A

本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.

5.设等比数列｛%｝的前及项和为S,,,若儿：5$=1:2,则胃内()

7997

A.-B.C.-D.--

2222

答案：B

根据题意，可知$°=；S5,设等比数列｛%｝的首项为卬，公比/可知qfl,由S“,：Ss=l：2并根

据等比数列的前〃项和公式得出进而得出&5=；邑，从而可求出5:，5的结果.

$10$5

解：由题可知，几：$5=1:2,则&=gs5，

设等比数列｛q｝的首项为6,公比4,可知qwl,

因为卜「5、-；%-1+八；，所以八-；，

Ss4(1-4)1-q22

l-q

MY),y.f_iY

则九一1-4一[2)一3

则《一互))]_川-4，

3

所以几=广5，

139

Ss+兀+S”S5+2S5+4S5J=9

故q_q11

D

io052%—5S-S——2%S乙

故选：B.

6.在直三棱柱ABC—A4G中，AB=AC=AAi=lfABVAC，点E为棱A4的中点，则点G到

平面HEC的距离等于

A.|B.—C.迈

D.1

223

答案：C

根据三棱锥等体积法得到：三棱锥匕/由几何图形的特点分别

求出相应的底面积和高，代入上式得到距离.

连接CE,设点G到平面瓦EC的距离为d,

根据三棱锥等体积法得到：三棱锥SB,CCJh

A8=AC=1,在由AB_LAC,得至l18C=&，三角形B<G面积为gCG=；xlx&,点4到Bg的

距离即棱锥E-ACG的高为/?=_LBG=Y2；三角形4EC,B、E=CE=旦,4c=6,则三角形

222

的高为卜时-（竿J=冬面积为:X氐当,

根据等体积公式代入得到-3=%1cG=泊（/，

a=——.

3

故答案为C.

本题涉及到点面距离的求法，点面距可以通过寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点

面距离不好求时，还可以等体积转化.

7.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长

安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；鸳马初日行九十七里，日减半里：良

马先至齐，复还迎鸳马，二马相逢.问相逢时弩马行（）日？

A.8B.9C.10D.II

答案：B

结合等差数列，将良马和鸳马日行里程表示为等差数列，结合等差数列前“项和即可求解.

由题，不妨设q=103,4=13,贝lJS,,=103"+£"（"-l）,伪=97,4=-；,?；=97〃一与力，令S,+%=2250,

即/+31〃-360=0,解得〃=YO（舍去）或”=9,故9日相逢.

故选：B

8.己知双曲线心,卓=1（">°8>°）的左、右焦点分别为尸2,点P在双曲线C的右支上，过工

作与。尸（点0为坐标原点）垂直的直线交线段可尸于点“，若满足1KMi=2|MP|=与，则该双曲线的

离心率为（）

A.0B.2C.亚D.20

答案：B

根据题意作出图形，然后根据平面几何性质得到内。的关系，进而求出离心率.

解析过点。作。片//鸟”，交KP于点E,设0P与6M的交点为N.

因为|O娟=|。国，所以但周=|目0|=四尸|=3，所以M为叱的中点，

从而N为。户的中点，鸟”是线段0P的中垂线，从而归闾=|。闾=，，则

\PFt\=4a=c+2a,所以c=2a,离心率为2.

故选：B.

二、多选题

9.直线a的方向向量为Z，平面a,4的法向量分别为入m，则下列命题为真命题的是（）

A.若2_LG,则直线a〃平面a；

B.若加后，则直线aJ■平面a；

C.若cosGW）=g，则直线a与平面a所成角的大小为2；

D.若cos（而则平面a,夕的夹角为

答案：BCD

【解析】根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论.

若£，/；,则直线a〃平面a或在平面a内，故选项A不正确；

若苏启，贝丘也是平面a的一个法向量，所以直线aL平面a；故选项B正确;

直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos,,同=g,则

直线“与平面a所成角的大小为故选项C正确；

两个平面夹角与他们法向量所成的不大于90的角相等，故选项D正确，

故选：BCD

10.已知数列也｝的前〃项和为S“，6=1,%=2,且+a„=0（〃eN*）.记

…则下列说法正确的是（）

M52s“

A.｛%｝为等差数列B.a„=n+\

答案：ACD

由4+2-2a,用+q=0可得数列｛凡｝为等差数列，进而求得a”,S“，由裂项求和法可求，.

由限-2a„tl+a„=0变形得an+2-an+]=a„+1-an,即｛4｝为等差数列,

因为q=l,4=2,所以4,=〃，邑=&誓

2n

所以7；=—+—+•+—=

4J，n+\

故ACD正确.

故选：ACD

11.己知直线/：（G"?+l卜-叼-1=0,圆C：Y+V=4X,则下列结论正确的是（）

A.直线/与圆C恒有两个公共点

B.当〃?=-立时，直线/与圆C相切

2

C.存在一个加值，使直线/经过圆心C

D.若直线/与圆C相交的弦长为26，则机=-走

4

答案：BC

根据直线/方程求出直线/过定点（1,右），而定点（1，石）在圆C：V+y2=4x上，从而可判断直线/

与圆C的位置关系，即可判断A选项；当机=_#时，设圆心C（2,o）到直线/：-lx+^y-1=0

的距离为d,利用点到直线的距离公式求出d,并与「比较，即可得出直线/与圆C的位置关系,

即可判断B选项；将圆心C（2,0）代入直线/的方程求出〃?的值，即可判断C选项；由直线/与圆C

相交的弦长为2g,根据直线与圆的弦长公式求出d=l,再利用点到直线的距离公式求出d,进

而可求出机的值，即可判断D选项.

解：由于直线/：+即（JIr-y）机+工一1=0,

令£;二;°'解得：则直线/过定点（1,石），

而定点（1,6）在圆C：J+y2=4x上，

所以直线/与圆C有1个或2个公共点，故A错误；

当机=一立B寸，直线/：-~x+—y-\=O,

222'

而圆C：x2+y2=4x,即（x-2『+y2=4,可知圆心C（2,0）,半径r=2,

X2+0-1

设圆心C（2,0）到直线/的距离为d,则"=

73

所以直线/与圆C相切，故B正确;

若直线/：（6〃+1卜-妆-1=0经过圆心。（2,0）,

x2-m-0-l=0,解得：机=_走

6

所以存在一个加值，使直线/经过圆心C,故C正确;

若直线/与圆C相交的弦长为26，

设圆心C（2,0）到直线/：（6m+l）x-"?y-l=0的距离为4,

则2,产一加=2百，即2,4一解=2G＞解得：d=l,

X2-0-1

而"=

\j4rn2+2石机+1

解得:加=0或"?=——-,故D错误.

故选：BC.

12.已知点P，,；），O为坐标原点，A,B为曲线C上的两点，F为其焦点.下列说法正

确的是（）

A.点F的坐标为（g,0

B.△PAG周长的最小值为9+5

8

C.若P为线段4B的中点，则直线AB的斜率为-2

D.若直线4B过点F,且|「。|是|A目与忸目等比中项，则|A8|=10

答案：BD

由曲线方程可判断A,利用抛物线的定义可判断B,利用点差法可判断C,利用焦点弦公式及韦达

定理可判断D.

由曲线C：则焦点为噌0）,故A错误；

由曲线C：y2=^-x,可知其准线为/：X=-：,设A到准线的距离为“，则d=|AF|,

28

所以△必产周长为|PF|+|B4|+d,当PAJJ时，|玄|+"取得最小值=ARA尸周长取得

的最小值为\=怨区，故B正确;

若尸为线段48的中点，设4（1%）,8（4,为），则=；》4，靖=gxp,%+）l=1,

所以心%2=卜-9，所以加=W=屐而6,故C错误；

若直线A3过点F,且忙。|是|A耳与忸目等比中项，则|A百忸F|=|PO「

设A（X1,y）,8（X2，%）,则|M=X|+J，|阴=々+：,

OO

.•.1+{|卜+{|"31+动+专号

设=代入>2=gx,得％意=0,所以占匕=1，

；.」+：（%+工2）+47=[，即%+工2=孚，•••|4川=玉+%2+!=孚+!=10,故D正确.

64864441444

故选：BD.

三、填空题

13.已知数列｛。,,｝的前”项和为S,,,且S“=”2,则4+4>+40=.

答案：51

根据题意，可知当”=1时，卬=£=1,当“22时，根据a“=S“-S,i求出a”

,再检验〃=1,从而得出通项公式％,即可求出4+%+%）的结果.

解：由题可知，当”=1时，4=S1=1,

22

当“22时，an=S„=/?-（n-1）=2n-\,

可知〃=1时上式成立，所以%=2〃-1（〃21）,

则“8=15,%=17,4（）=19,

所以4+%+%o=15+17+19=51.

故答案为：51.

14.已知空间向量:二（1,0,1）,万=（2,-1,2）,则向量£在向量坂上的投影向量的坐标是.

答案：与堂）

根据投影向量的计算公式，计算出正确答案.

abb4（2,-1,2）<848]

=，-,

向量分在向量坂上的投影向量的坐标是下=§---3-|<999/

故答案为：自（8，一4.，以8、

22

15.已知双曲线C:；■-与■=1（4>0,/?>0）,直线/:y=-\/5工+Jia与。的右支分别交于点A、

a~b~

B,与y轴交于点".若丽=-2丽，则c的渐近线方程为.

答案：y=±-^-x

2

利用三角形相似求出点3的坐标，代入双曲线方程可得〃力的关系，由此可得渐近线方程.

本题考查双曲线方程与几何性质.如图，作轴，垂足为。，直线y="（x-。）过A（a,0）,

即过C的右顶点，直线/的倾斜角为夸，则NMAO=NBAO=(,在中，|。4|=。，则

\AM\^2a,\OM\^y/3a,又因为|A邳=2|AM|,△M4O〜△BAD,所以|明=2a,忸4=2区,

则B(3a,-26a),所以/-竽=1,解得则C的渐近线方程为y=士*x.

故答案为：y=+^-x

2

四、双空题

16.如图所示的平行六面体ABC£)-AB|GR中，已知A8=A4(=A。，ZBAD=^DAA,=60°,

ZBA4,=30°,N为AR上一点，且AN=/L4Q1.若8OL4V,则4的值为_；若M为棱。R的中

点，3"//平面48以，则，的值为_.

答案：\/3-1-

【解析】①BD1AN,不妨取AB=AA,=AD=],利用

BD.AN=(AD-AB).(A^+AAD)=AD»AA^+2AD.AD-丽♦丽-AAD^AB=0,即可得出4.

②连接A3与A片交于点E.连接AM,交AN于点F,连接£尸.BM//平面AB^N,可得

HM//EF.根据E点为4田的中点，可得尸点为A例的中点.延长AN交线段。。的延长线于点

P.利用平行线的性质即可得出.

解：®BD±AN,不妨取4B=AA=A/)=1,

BD.AN=(AD-AB)»(AA^+AAD)=AD-X\+AAD»AD-通.鬲'-AAD»AB=cos600+2-cos300-Acos60°=1--+^2=0

A=>/3—1.

②连接AB,与AB1交于点E.连接AM,交.AN于点、F,连接EF.

•.•^///平面4与汽,，.〃".

•.•£点为AB的中点，.•.厂点为AM的中点.

延长AN交线段DD,的延长线于点p.

rAAJIDD、,"=FM.

:.AAi=MP=2D,P.

,到=空=2

"ND,D、P，

而爸而.

则彳=(2.

故答案为：6-1,—.

本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理

能力与计算能力，属于中档题.

五、解答题

17.已知数列｛4｝是公差为2的等差数列，其前”项和为S“，4，%,生成等比数列.

(D求数列｛《,｝的通项公式；

s

(2)令数列2=与，它的前〃项和为，，求7“的最小值.

n

答案：⑴，=2〃-11

(2)-45

(1)根据q,%,4成等比数列，求得％,从而可得答案；

(2)利用等差数列前"项和公式求得5“，从而可求得么,，再根据等差数列前〃项和的函数性质即

可得解.

(1)

解：因为4，4，死成等比数列，

所以即(q+6)2=4(q+8),解得q=-9,

所以=2〃-11；

(2)

..(-9+2〃-11)〃/、

解T：S„=-----------=n(n-10),

则2=一4=19,

n

E(-9+rt-10)n1/,2\

则Tn=--------乙=-(«-19/7),

所以当〃=9或10时・，刀,取最小值-45,

所以7“的最小值为-45.

18.已知直线/：kx-y+\+2k=0(keR).

(1)已知尸(1,5),若点P到直线的距离为"，求”最大时直线的方程.

(2)若直线/交x轴负半轴于点4,交y轴正半轴于点B,求AAQB面积的最小值.

答案：⑴3x+4y+2=0

(2)4

(1)将直线化成点斜式，由垂直关系可求出左值，进而得解；

(2)由直线方程分别求出A8,表示出具.3，结合基本不等式可求“108面积的最小值.

(1)

由依-y+l+2Z=0变形得y=A:(x+2)+l,则设直线过用要使点到直线距离最大，则满足

4333

kk=-\kMp=<贝|左=一:，直线方程为一•x_y+]_=0,即3x+4y+2=0；

MP93447：2；

(2)

由题知,k>0,…(x+2)+。令x=0得『二]",即3(0,24+1),令y=o得x=_：-2,即

则%'8=4《+2)(2左+1)=((4+生+4„.(4+24)=4,当且仅当时等号成

立，故1,”阳的最小值为4.

19.已知焦点在)'轴上的抛物线过P(2,2)

(1)求抛物线的标准方程及准线方程；

(2)已知直线/:)，=X+6(6H0)与抛物线交于点A,B,若以A8为直径的圆过原点。，求直线/的方

程.

答案：⑴f=2y；》=-；；

(2)y=%+2

(1)根据题意可设抛物线的方程为代入点尸(2,2)求得参数值，即可得出答案；

(2)设冬.乂),矶々,％),联立利用韦达定理求得用+*2，*/，根据以AB为直径的

圆过原点。，可得。4LC®,则西.丽=0,求得参数6,即可得解.

(1)

解：根据题意可设抛物线的方程为x2=2py(p>0),

代入点P(2,2)得4=4小解得°=1,

所以抛物线的标准方程f=2y,

准线方程为y=-；；

(2)

解:设A(X|，x),5(毛,%),

2=2v

联立<x」消>得：x2-2x-2b=0,

y=X+b

△=4+8b>0,则方>一,，

2

x}+x2=2,x}x2=-2b,

因为以A3为直径的圆过原点0,

所以Q4_LO8,则次.丽=0,

即中2+乂％=°，

1

即x,x,+(%+/?)(x,+6)=2为W+/?(%,+x2)+b=0,

所以4-从=0,解得匕=±2,

又b>—g,所以b=2,

所以直线/的方程为y=*+2.

20.1.如图所示，已知平行四边形ABC£>中，45=2,CD=41,ZAOC=45°,AE±BC,垂足

为E,沿直线AE将AS4£翻折成AB'A£,使得平面现4E_L平面AEC3；连接用。，尸是上的

点.

(1)当笈「=田时，求证：CP_L平面A3'。；

(2)当8尸=2尸。时，求二面角P-AC-3'的余弦值.

答案：(1)证明见解析

⑵原

'J33

(1)由面面垂直可直接建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，证明向量垂直即可;

(2)通过建立空间直角坐标系，分别求出其法向量，代入公式即可.

(1)

AELBC,平面B'AE_L平面AECD,：.B'E_L平面AECD,

以E为原点，EC为x轴，E4为y轴，E3'为z轴，建立空间直角坐标系,

B'

E（o）

则4(0,1,0),9(0,0,1),C(l,0,0),0(2,1,0),£(0,0,0),

府=(0,-1,1),AD=(2,0,0),CP=(0,^3

VCPAB7=-1+1=0,CPAD=0,

：.CPA-AB',CPLAD.

又，CPJ_平面8'AD.

⑵

设P(x,y,z),则坪=(x,y,z-l),PD=(2-x,\-y,-z)

x=4-2x

由前=2而得：Jy=2-2y,解得x=54，y=52，z=§1

z-l=-2z

唁咎],丽=信,-*],/=(1,-1,0).

1333J(333)

万丽=乞」+兔=0

设面PAC的法向量为“=(%,%,z，，则｛_333.

n-AC=X]-*=0

取X|=x=1,Z1=-3,则5=(1,1,-3),

设平面AC9的法向量为正=(入2，〉2*2),

tn-AB'=—y,+2,=0一

则｛_____,取七=1，平面ACB'的法向量为m=(1,1,1),

tn-AC=x2—y2=0

由题可知，二面角尸-4。-？为锐二面角，

局国1-11J33

设二面角P-AC-B'的大小为。，则cos6=同用=c拒=.

所以cos0=整3.

33

21.数列｛凡｝和｛■｝满足:4=4=1,%=q川-an9%=3bn.

⑴求数列｛q｝,也｝的通项公式；

⑵若%=2♦log?（2%+1）求数列｛%｝的前八项和.

答案：（l）a“=U，2=3”T

⑵伽-1）3+1

4

（1）由2*1=32易求｛〃,｝的通项公式，再结合2M=4川-4,,由累加法可求｛%｝的通项公式；

（2）化简得c"=”-3"T,结合错位相减法可求｛c,,｝的前”项和.

（1）

由题可知，4=々=1,伪=%-4也=3么，所以低｝为等比数列，4=1,4=3,〃,=3"T,由

aa1

b“H=tt+i~n可得%=an—a,,.,=3",

2

a„~a„.｝=3"-',a„_t-a„_2=3"-,--；a2-at=3',

邛一RV—1

累加得4-q=3、32+L3,T=F上，即可=不一,

所以q=亨，d=3*

⑵

（3n-1、

,,

c„=/>„-log3（2a„+l）=3--log32-^—+1=〃.3"\设｛%｝的前〃项和为S“，

I乙）

S“=L3°+2・3'+3・32+…〃Ji

niii”

,2n,/,

3Sn=l-3+2-3+...（H-l）-3-+n-3,

两式作差得-2S“=1•30+1・31+…+1・化简得S“=（2"手'+1'

故｛%｝的前"项和为（2":3"+l.

22.已知椭圆氏W+£=l（a＞匕＞0）的离心率为且，椭圆E的长轴长为2遍.

ab~3

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)设A(0,-1),3(0,2),过A且斜率为尢的动直线