2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第12章余弦定理、正弦定理的应用

第2课时复数的乘除运算

1.常握复数的乘法、除法运算.

::2.理解共扼复数的概念.

标准

3.能在复数集内解简单的一元二次方程.

》基础认知-自主学习④

【概念认知】

1.复数乘法的运算法则和运算律

⑴复数乘法的运算法则

设Z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)是任意两个复数,

贝!!Z1Z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数Z1,Z2,Z3£C，有

交换律ZiZ2=Z2Z|

结合律（Z1Z2）Z3=Z1（Z2Z3）

乘法对加法的分配律Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3

(3)复数的乘方

复数的乘方是相同复数的积，即对任何Z,Z1,Z2^C及m,n£N*,

则有:

mnmnn

ZZ=zm+nf(z)=,(Z]Z2)=zfZ,.

2.复数除法的运算法则

(1)共扼复数的概念

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数,那么称这两个复数为

共辗复数，Z的共犯复数用]一表示.即z=a+bi,则5=a-bi.

⑵复数除法运算法则

设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR,Sc+di/)),

z.a+biac+bdbe-ad

贝7=；一一土；Q(c++网).

Z2C+dlC2+d?—C2+d]

3.iYn£N*)的周期性

计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方，产⑺金年)有如下性质：

i1=i,i2=-1,i3=ii2=-i,i4=Pi=-i2=1,从而对于任何n£N”,

有i"=1,i4n+1=i,同理可证i4n+2=-1,i4n+3=二j,i4n+4=].上述

公式中，说明『(n£N*)具有周期性，且最小正周期是4,n可以推广

到整数集.

【自我小测】

r1-A2

i.i为虚数单位，-=（）

v+v

A.-1B.1C.-iD.i

0i)2(1-i)2-2i

选A.----------；=~1.

",(1+i)221

2.（教材练习改编）复数2十（i为虚数单位）的共辗复数是（）

1-1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

22(l+i)

选B.化简可得z二七二号官…j,

所以z的共钝复数为1-i.

3.若---;=a+bi(i为虚数单位，a,b£R,则a+b=

22(1+i)

因为上=---------------=l+i,

1-i(1-i)(1+i)

所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,所以a+b=2.

答案：2

4.（2020・江苏高考）已知i是虚数单位，则复数z=(l+i)(2-i)的实

部是

Z=1+i2-i=3+i,则实部为3.

答案：3

5.若复数z满足i.z=1+2i,其中i是虚数单位，则z的实部为

1+2i

因为i-z=1+2i,所以z==2-i,故z的实部为2.

答案：2

6.定义运算d:=ad-be,则符合条件21=1+i的复数z

cdzZi

1+i

根据题中条件可有，2zi+z=1+i,z=------分子分母上下同时

2i+1

i-331

乘以(2i-1)得二不，所以化简为日-1i.

分案----i

口木-55

—15-5i

7.已知复数zi=2-3i,z=7；一V.求：

2(2+1)2

(1)Z1+Z2；(2)Z|-Z2；(3)?.

15-5i15-5i5(3-i)(3-4i)

<7---------------------------------------------------------

'(2+i)2-3+4i-(3+4i)(3-4i)

5-15i

-5-=1-3i.

(l)zi+z2=(2-3i)+(l+3i)=3.

(2)zi-Z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i.

2-3i(2-3i)(1+3i)2+9+3i口3

1-3i-(1-3i)(1+3i)-10.10+10「

份学情诊断•课时测评《

【基础全面练】

一、单选题

1.(2021•全国乙卷)设iz=4+3i,则z=()

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

选C.在等式iz=4+3i两边同时乘i得，-z=4i-3,所以z=3-4i.

2.已知复数z满足z(l+i)=1-i(i为虚数单位),则z的虚部为()

A.-iB.iC.1D.-1

选D.因为复数z满足z(l+i)=1-i,

1-i1-i2

所以z=诟

所以z的虚部为-1.

3.(2020•全国in卷)复数z-(1+i)=1-i,则z=()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

_1-i(1-i)2-2i

选D.因为z-i,所以z=i.

(1+i)(1-i)2

4.复数z=¥-ai,a£R,且z2=g-坐i,则a的值为()

A.1B.2C.1D.1

选C.由z=^-ai,a£R,得z2=(坐)-2x2xai+(ai)2=-

因为Z2=1一坐i，

「3,_1

所[4他-a-2，

解得a=；.

5.若a+i=2+bi(a,beR),则(a+bi>=()

A.5-4iI3.5+4i

C.3-4iD.3+4i

选D.因为a+i=2+bi,所以a=2,b=1,所以(z+i>=3+4i.

(l+>

6.、一()

(1-i)2

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

、「(l+i)[2

选D.原式=(1+0=i2(l+i)=-1-i.

_(1-i)_

二、填空题

5-i

7.设复数z-3(i是虚数单位),则z的共车厄复数z-

IT'

5-i5-i(5-i)(1-i)

因为复数==(E)(­)=2%所以z的共

期复数Z=2+3i.

答案：2+3i

8.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x23+mx+n=0的一

个根，

则m+n等于.

因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，所以(2+

i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,

[2m+n+3=0,[m=-4,

所以《所以，m+n=L

[4+m=0,[n=5,

答案：1

9.若复数z满足i-z=1+2z，则z=.

fa=-2b,

设z=a+bi,则ai-b=1+2(a-bi),所以J所以a=-

[-b=1+2a,

2121

3,b=^,所以z=-w+§i.

答案：441

10.已知复数Z1=4+3i,Z2=1+2i,则ZrZ2=；~7=

z.4+3i

Z1.Z2=(4+3i)(i+2i)=4+8i+3i-6=-2+lli,

(4+3i)(1-2i)10-5i

(1+2i)(1-2i)-5

答案：-2+lli2-i

三、解答题

11.计算：(l)(2+i)(2-i)；

fl+A也+小i

(2)(1+2i>;(3)——6+-}=F.

-v小-的

(l)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.

(2)(1+2评=1+4i+(2i)2=l+4i+4i2=-3+4i.

(1+i)2]-也i)

⑶原式=[—>+小2f

fi+A，+i)26+A3■+i)10

12.计算：—□

v-v

1+i

因为--=i,所以原式—..i-+2+3+…+K)=i55=i3=

1-i

【综合突破练】

一、选择题

1.已知z是Z的共犯复数，若z-zi+2=2z,则z=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

选A.设z=a+bi(a,b£R),则z=a-bi,代入z-zi+2=2z中得,

(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),

所以2+(a2+b2)i=2a+2bi,

⑵=2,

由复数相等的条件得｛

[a2+b2=2b,

fa=1,

所以

〔b=l.

所以z=1+i.

小+i

2.已知复数z=-r~-,z是z的共轨复数则z.z等于（）

(1-V3i)2

11

-

AB-

42C.1D.2

V3+i

选A.方法一：因为z=—厂，

(1-V3i)2

-V3i2+ii(1-V3i)ii(1+小i)

(1-^3i)2-(1-V3i)2-1-小i

=-半+点,所以z=-乎-,所以z-z=1.

y/3+i

方法二：因为z=77E

y/3+i巾+”_2_1

所以|Z|二

(1-4)2|(l-V3i)2|"4~2

一——1

所以z-z=4.

3.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复

数’.已知z=+bi(a,beR)为“理想复数"则()

1-21

A.a-5b=0B.3a-5b=0

C.a+5b=0D.3a+5b=0

a(1+2i)a2a

选D.因为z=+bi=----+--b--i--=--5----+---l-T----+--bJL

1-21(1-2i)(1+2i)5

o2a

由题意知，g=-y-b,贝！]3a+5b=0.

【误区警示】解此题时，一定要特别注意“理想复数”与共犯复数的区

别，注意共钝复数的思维定式.

4.（多选）已知集合M={m|m=P,n£N},其中i为虚数单位，则下

列元素属于集合M的是（）

1-i

A.")(1+i)B.-----

1+i

1+i

C.——D.(1-i)2

1-i

选BC.根据题意M=

|m|m=in,nG]^[n=4k(k£N)时，心=1；

n=4k+l(k^N)时，in=i;n=4k+2(k£N)时，F=-1;n=4k+

3(kGN)时，产二

所以M=|-1,1,i,-i}.

选项A中(1-i)(1+i)=2建M；

1-i(1-i)2

选项B中，77；^二一》”；

l+i1+i2

选项C中，m=不！百^小；

选项D中(1_i)2=_2/M.

二、填空题

7+ai

5.若复数z=—的实部为3,则z的虚部为

2-1

7+ai(7+ai)(2+i)(14-a)+(7+2a)i

Z=-------=--------------------------=----------------7----------------

2-i(2-i)(2+i)5

14-a7+2a

14-a一一

由题意知一一=3,所以a=-1,所以z=3+i.

所以z的虚部为1.

答案：1

6.已知：复数z=(l+i)2+且；，其中i为虚数单位.考

z2+az+b

1-1

=2+3i,则实数a=,b=

z=(1+i)2+—^―=2i+i(l+i)=-1+3i,由z?+az+b=2+3i得

1-i

(-1+3i)2+a(-1-3i)+b=2+3i,

即(-8-a+b)+(-6-3a)i=2+3i

f-8-a+b=2,fa=-3,

所以解得

[-6-3a=3,[b=7.

答案：-37

7.已知z为复数，且z+2i和£都为实数，则z=.

设z=a+bi(a,b£R),则z+2i=a+(b+2)i为实数，所以b+2=0,

a+bi(a+bi)(2+i)2a-b

所以b=-2,又一一===

2-iT715

a+2ba+2b

—i为实数，所以三一二0,所以a=-2b,所以a=4,所以z

=4-2i.

答案：4-2i

8.已知复数z满足(1+i)z=1-3i(i是虚数单位),若复数(1+ai)z是

纯虚数，则实数a的值为；若复数z的共犯复数为z，则复

数比二——

解得z=-1-2i,因为复数(1+ai)z是纯虚数,则(1+ai)(-1-2i)=

-l+2a+(-a-2)i,所以-l+2a=0,且-a-2R0,所以实数a的

值为;•因为z的共辗复数为z=-1+2i,所以复数看=-14L

答案:；-1-11

三、解答题

z-1z

9.已知z为复数，丁为实数，—为纯虚数，求复数z.

11-1

z-1a-1+bi

设z=a+bi(a,b£R),贝!]-：—=---------=(a-1+bi)-(-i)

=b-(a-l)i.

z-1

因为丁为实数，所以a-1=0,即a=1.

(a+bi)(1+i)

又因为干

1-i(1-i)(1+i)

(a-b)+(a+b)i

=-----------2-----------为纯虚数，所以a-b=0,且a+b邦，所以

b=1.故复数2=1+i.

10.设z是虚数,co=z+1是实数，且-l<co<2.

⑴求z的实部的取值范围.

1-Z

(2)设口一，求证：口为纯虚数;

1+z

（3）求（D-|12的最小值.

⑴因为Z是虚数，所以可设2=*+）4,X,y£R,且y/）,

、11x-yix

所以3=z+：=x+yi+-----=x+yi+-...;=x+----;+

z

Lx+yix+yx+y

»+y"i，

y-^7=0，

可得Jx-+y-^x2+y2=l,

*0，

此时,co=2x=-；<X<1；

1-z1-(x+yi)1-y2-x2-2yi

⑵因为F

1+(x+yi)1+2x+x2+y2

，因为y和，4

<x<l,所以N为纯虚数；

y)2

⑶3-M=2X-J]+J,然后化简和计算得到3-「=2(X+1)

+7h⑸

2

2（X+】）K-3=1.

当且仅当x=0时等号成立，所以co-1的最小值为1.

后素养培优练《

（60分钟100分）

一、选择题（每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得2分，有选错的得0分）

fi-A

1.设i是虚数单位，则二二2022二（）

U+V

A.iB.-iC.1D.-1

1-i(1-i)2-2i

选D.由于一

1+i(1+i)(1-i)

6-A2022

所以——二(一1)2。22=(-1严05+2=(_评=_J

U+iJ

1+2i

2.复数z=丁的实部为（）

A.-2B.-iC.iD.-1

1+2i(1+2i)i

选A.因为Z=T=-F—=-2+i,所以实部为-2.

-1+i

3.复数z—的虚部为（）

3.33.3

A.-iB.-gC.iD.5

-1+i(-1+i)(2-i)i3

选D.Vz=--------5+5i,复数z=

2+i(2+i)(2-i)

-1+i3

的虚部为^.

2+i

4.已知复数z满足一R=2-i其中i是虚数单位则复数7是()

1+21

A.4-3iB.4+3i

C.-4iD.4

z一一，

选B.因为=2-i,所以z=(2-i)(l+2i)=4+3i.

1+2i

5.复数i(l+i)2=()

A.2B.-2C.2iD.-2i

选B.i(l+ip=i・2i=-2.

6.复数z满足z-1=(z+l)i,则z的值是()

A.1+iB.1-i

C.iD.-i

1+i(1+i)2

选D.因为z-1=(z+l)i,所以z=;­；=——.、/,—~=

1-i(l-i)(l+i)

1+2i+i2_

-'一丁=i,所以z=-i.

1-1

2

7.(多选)下面关于复数：z=——:的叙述中正确的是()

-1+1

A.z的虚部为-iB.|z|=V2

C.z的共钝复数为1+iD.z2=2i

22(-1-i)

选BD.z=——=——z——=-1-i,则其虚部为-1,A错误；

-1+1z

|z|=N(-1)2+(-1)2=V2,B正确；z的共粗复数为-1+i；

z12=(-1-i)2=2i,D正确.

8.(多选)已知复数Z=」£，则以下说法正确的是()

A.复数z的虚部为当

8」的共朝复数一2=2fi

c.忆1=9

D.复数z的的实部是-f2

ii(1+2i)21

选CD.因为z=-=-f+],所以复数

1-2i(1-2i)(1+2i)33

12—

z的虚部为玄，实部是，所以A错误，D正确.z的共辗复数z

=~|-1,B错误.

izi=AJ(-l2+©2建，故c正确.

2

9.(多选)若复数z=-，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是

1+1

()

A.z的虚部为-1B.z=1-i

C.Z?为纯虚数D.z的共粒复数为-1-i

22(1-i)2-2i

选ABC.因为z=-~;=-...—―=—^~=1-i,B正确；

1+1(1+1)(1-i)z

z的虚部为-1,A正确；

因为z2=(1-i)2=-2i,故z2为纯虚数,C正确；z的共犯复数为1

+i,D错误.

二、填空题(每小题5分，共15分)

2+i

10.复数——的共犯复数是_______.

1-21

2+i)(l+2i)5i

ETTF*二匕故其共舸复数为…

答案：-i

11.若i为虚数单位，则复数/、,=________

(I-)

333i3.

77

由题意亦1-2i+i2--2i薪=21

3

答案：Ii

12.若zi=l-3i/2=6-8i,星+'U，则z的值为

l+3i

由zi=1-3i,得,=--―13.

(1-3i)(1+3i)-10+10i'

Z]i.3i

6+8i6+8i3

又由Z2=6-8i,得;=J—

Z26-8i(6-8i)(6+8i)10