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文档简介
第2课时复数的乘除运算
1.常握复数的乘法、除法运算.
::2.理解共扼复数的概念.
标准
3.能在复数集内解简单的一元二次方程.
》基础认知-自主学习④
【概念认知】
1.复数乘法的运算法则和运算律
⑴复数乘法的运算法则
设Z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)是任意两个复数,
贝!!Z1Z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数Z1,Z2,Z3£C,有
交换律ZiZ2=Z2Z|
结合律(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)
乘法对加法的分配律Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3
(3)复数的乘方
复数的乘方是相同复数的积,即对任何Z,Z1,Z2^C及m,n£N*,
则有:
mnmnn
ZZ=zm+nf(z)=,(Z]Z2)=zfZ,.
2.复数除法的运算法则
(1)共扼复数的概念
如果两个复数满足实部相等,虚部互为相反数,那么称这两个复数为
共辗复数,Z的共犯复数用]一表示.即z=a+bi,则5=a-bi.
⑵复数除法运算法则
设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR,Sc+di/)),
z.a+biac+bdbe-ad
贝7=;一一土;Q(c++网).
Z2C+dlC2+d?—C2+d]
3.iYn£N*)的周期性
计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方,产⑺金年)有如下性质:
i1=i,i2=-1,i3=ii2=-i,i4=Pi=-i2=1,从而对于任何n£N”,
有i"=1,i4n+1=i,同理可证i4n+2=-1,i4n+3=二j,i4n+4=].上述
公式中,说明『(n£N*)具有周期性,且最小正周期是4,n可以推广
到整数集.
【自我小测】
r1-A2
i.i为虚数单位,-=()
v+v
A.-1B.1C.-iD.i
0i)2(1-i)2-2i
选A.----------;=~1.
",(1+i)221
2.(教材练习改编)复数2十(i为虚数单位)的共辗复数是()
1-1
A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i
22(l+i)
选B.化简可得z二七二号官…j,
所以z的共钝复数为1-i.
3.若---;=a+bi(i为虚数单位,a,b£R,则a+b=
22(1+i)
因为上=---------------=l+i,
1-i(1-i)(1+i)
所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,所以a+b=2.
答案:2
4.(2020・江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z=(l+i)(2-i)的实
部是
Z=1+i2-i=3+i,则实部为3.
答案:3
5.若复数z满足i.z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为
1+2i
因为i-z=1+2i,所以z==2-i,故z的实部为2.
答案:2
6.定义运算d:=ad-be,则符合条件21=1+i的复数z
cdzZi
1+i
根据题中条件可有,2zi+z=1+i,z=------分子分母上下同时
2i+1
i-331
乘以(2i-1)得二不,所以化简为日-1i.
分案----i
口木-55
—15-5i
7.已知复数zi=2-3i,z=7;一V.求:
2(2+1)2
(1)Z1+Z2;(2)Z|-Z2;(3)?.
15-5i15-5i5(3-i)(3-4i)
<7---------------------------------------------------------
'(2+i)2-3+4i-(3+4i)(3-4i)
5-15i
-5-=1-3i.
(l)zi+z2=(2-3i)+(l+3i)=3.
(2)zi-Z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i.
2-3i(2-3i)(1+3i)2+9+3i口3
1-3i-(1-3i)(1+3i)-10.10+10「
份学情诊断•课时测评《
【基础全面练】
一、单选题
1.(2021•全国乙卷)设iz=4+3i,则z=()
A.-3-4iB.-3+4i
C.3-4iD.3+4i
选C.在等式iz=4+3i两边同时乘i得,-z=4i-3,所以z=3-4i.
2.已知复数z满足z(l+i)=1-i(i为虚数单位),则z的虚部为()
A.-iB.iC.1D.-1
选D.因为复数z满足z(l+i)=1-i,
1-i1-i2
所以z=诟
所以z的虚部为-1.
3.(2020•全国in卷)复数z-(1+i)=1-i,则z=()
A.1-iB.1+iC.-iD.i
_1-i(1-i)2-2i
选D.因为z-i,所以z=i.
(1+i)(1-i)2
4.复数z=¥-ai,a£R,且z2=g-坐i,则a的值为()
A.1B.2C.1D.1
选C.由z=^-ai,a£R,得z2=(坐)-2x2xai+(ai)2=-
因为Z2=1一坐i,
「3,_1
所[4他-a-2,
解得a=;.
5.若a+i=2+bi(a,beR),则(a+bi>=()
A.5-4iI3.5+4i
C.3-4iD.3+4i
选D.因为a+i=2+bi,所以a=2,b=1,所以(z+i>=3+4i.
(l+>
6.、一()
(1-i)2
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
、「(l+i)[2
选D.原式=(1+0=i2(l+i)=-1-i.
_(1-i)_
二、填空题
5-i
7.设复数z-3(i是虚数单位),则z的共车厄复数z-
IT'
5-i5-i(5-i)(1-i)
因为复数==(E)()=2%所以z的共
期复数Z=2+3i.
答案:2+3i
8.若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x23+mx+n=0的一
个根,
则m+n等于.
因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+
i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,
[2m+n+3=0,[m=-4,
所以《所以,m+n=L
[4+m=0,[n=5,
答案:1
9.若复数z满足i-z=1+2z,则z=.
fa=-2b,
设z=a+bi,则ai-b=1+2(a-bi),所以J所以a=-
[-b=1+2a,
2121
3,b=^,所以z=-w+§i.
答案:441
10.已知复数Z1=4+3i,Z2=1+2i,则ZrZ2=;~7=
z.4+3i
Z1.Z2=(4+3i)(i+2i)=4+8i+3i-6=-2+lli,
(4+3i)(1-2i)10-5i
(1+2i)(1-2i)-5
答案:-2+lli2-i
三、解答题
11.计算:(l)(2+i)(2-i);
fl+A也+小i
(2)(1+2i>;(3)——6+-}=F.
-v小-的
(l)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.
(2)(1+2评=1+4i+(2i)2=l+4i+4i2=-3+4i.
(1+i)2]-也i)
⑶原式=[—>+小2f
fi+A,+i)26+A3■+i)10
12.计算:—□
v-v
1+i
因为--=i,所以原式—..i-+2+3+…+K)=i55=i3=
1-i
【综合突破练】
一、选择题
1.已知z是Z的共犯复数,若z-zi+2=2z,则z=()
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
选A.设z=a+bi(a,b£R),则z=a-bi,代入z-zi+2=2z中得,
(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),
所以2+(a2+b2)i=2a+2bi,
⑵=2,
由复数相等的条件得{
[a2+b2=2b,
fa=1,
所以
〔b=l.
所以z=1+i.
小+i
2.已知复数z=-r~-,z是z的共轨复数则z.z等于()
(1-V3i)2
11
-
AB-
42C.1D.2
V3+i
选A.方法一:因为z=—厂,
(1-V3i)2
-V3i2+ii(1-V3i)ii(1+小i)
(1-^3i)2-(1-V3i)2-1-小i
=-半+点,所以z=-乎-,所以z-z=1.
y/3+i
方法二:因为z=77E
y/3+i巾+”_2_1
所以|Z|二
(1-4)2|(l-V3i)2|"4~2
一——1
所以z-z=4.
3.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复
数’.已知z=+bi(a,beR)为“理想复数"则()
1-21
A.a-5b=0B.3a-5b=0
C.a+5b=0D.3a+5b=0
a(1+2i)a2a
选D.因为z=+bi=----+--b--i--=--5----+---l-T----+--bJL
1-21(1-2i)(1+2i)5
o2a
由题意知,g=-y-b,贝!]3a+5b=0.
【误区警示】解此题时,一定要特别注意“理想复数”与共犯复数的区
别,注意共钝复数的思维定式.
4.(多选)已知集合M={m|m=P,n£N},其中i为虚数单位,则下
列元素属于集合M的是()
1-i
A.")(1+i)B.-----
1+i
1+i
C.——D.(1-i)2
1-i
选BC.根据题意M=
|m|m=in,nG]^[n=4k(k£N)时,心=1;
n=4k+l(k^N)时,in=i;n=4k+2(k£N)时,F=-1;n=4k+
3(kGN)时,产二
所以M=|-1,1,i,-i}.
选项A中(1-i)(1+i)=2建M;
1-i(1-i)2
选项B中,77;^二一》”;
l+i1+i2
选项C中,m=不!百^小;
选项D中(1_i)2=_2/M.
二、填空题
7+ai
5.若复数z=—的实部为3,则z的虚部为
2-1
7+ai(7+ai)(2+i)(14-a)+(7+2a)i
Z=-------=--------------------------=----------------7----------------
2-i(2-i)(2+i)5
14-a7+2a
14-a一一
由题意知一一=3,所以a=-1,所以z=3+i.
所以z的虚部为1.
答案:1
6.已知:复数z=(l+i)2+且;,其中i为虚数单位.考
z2+az+b
1-1
=2+3i,则实数a=,b=
z=(1+i)2+—^―=2i+i(l+i)=-1+3i,由z?+az+b=2+3i得
1-i
(-1+3i)2+a(-1-3i)+b=2+3i,
即(-8-a+b)+(-6-3a)i=2+3i
f-8-a+b=2,fa=-3,
所以解得
[-6-3a=3,[b=7.
答案:-37
7.已知z为复数,且z+2i和£都为实数,则z=.
设z=a+bi(a,b£R),则z+2i=a+(b+2)i为实数,所以b+2=0,
a+bi(a+bi)(2+i)2a-b
所以b=-2,又一一===
2-iT715
a+2ba+2b
—i为实数,所以三一二0,所以a=-2b,所以a=4,所以z
=4-2i.
答案:4-2i
8.已知复数z满足(1+i)z=1-3i(i是虚数单位),若复数(1+ai)z是
纯虚数,则实数a的值为;若复数z的共犯复数为z,则复
数比二——
解得z=-1-2i,因为复数(1+ai)z是纯虚数,则(1+ai)(-1-2i)=
-l+2a+(-a-2)i,所以-l+2a=0,且-a-2R0,所以实数a的
值为;•因为z的共辗复数为z=-1+2i,所以复数看=-14L
答案:;-1-11
三、解答题
z-1z
9.已知z为复数,丁为实数,—为纯虚数,求复数z.
11-1
z-1a-1+bi
设z=a+bi(a,b£R),贝!]-:—=---------=(a-1+bi)-(-i)
=b-(a-l)i.
z-1
因为丁为实数,所以a-1=0,即a=1.
(a+bi)(1+i)
又因为干
1-i(1-i)(1+i)
(a-b)+(a+b)i
=-----------2-----------为纯虚数,所以a-b=0,且a+b邦,所以
b=1.故复数2=1+i.
10.设z是虚数,co=z+1是实数,且-l<co<2.
⑴求z的实部的取值范围.
1-Z
(2)设口一,求证:口为纯虚数;
1+z
(3)求(D-|12的最小值.
⑴因为Z是虚数,所以可设2=*+)4,X,y£R,且y/),
、11x-yix
所以3=z+:=x+yi+-----=x+yi+-...;=x+----;+
z
Lx+yix+yx+y
»+y"i,
y-^7=0,
可得Jx-+y-^x2+y2=l,
*0,
此时,co=2x=-;<X<1;
1-z1-(x+yi)1-y2-x2-2yi
⑵因为F
1+(x+yi)1+2x+x2+y2
,因为y和,4
<x<l,所以N为纯虚数;
y)2
⑶3-M=2X-J]+J,然后化简和计算得到3-「=2(X+1)
+7h⑸
2
2(X+】)K-3=1.
当且仅当x=0时等号成立,所以co-1的最小值为1.
后素养培优练《
(60分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共45分,多选题全部选对的得5分,选对
但不全的得2分,有选错的得0分)
fi-A
1.设i是虚数单位,则二二2022二()
U+V
A.iB.-iC.1D.-1
1-i(1-i)2-2i
选D.由于一
1+i(1+i)(1-i)
6-A2022
所以——二(一1)2。22=(-1严05+2=(_评=_J
U+iJ
1+2i
2.复数z=丁的实部为()
A.-2B.-iC.iD.-1
1+2i(1+2i)i
选A.因为Z=T=-F—=-2+i,所以实部为-2.
-1+i
3.复数z—的虚部为()
3.33.3
A.-iB.-gC.iD.5
-1+i(-1+i)(2-i)i3
选D.Vz=--------5+5i,复数z=
2+i(2+i)(2-i)
-1+i3
的虚部为^.
2+i
4.已知复数z满足一R=2-i其中i是虚数单位则复数7是()
1+21
A.4-3iB.4+3i
C.-4iD.4
z一一,
选B.因为=2-i,所以z=(2-i)(l+2i)=4+3i.
1+2i
5.复数i(l+i)2=()
A.2B.-2C.2iD.-2i
选B.i(l+ip=i・2i=-2.
6.复数z满足z-1=(z+l)i,则z的值是()
A.1+iB.1-i
C.iD.-i
1+i(1+i)2
选D.因为z-1=(z+l)i,所以z=;;=——.、/,—~=
1-i(l-i)(l+i)
1+2i+i2_
-'一丁=i,所以z=-i.
1-1
2
7.(多选)下面关于复数:z=——:的叙述中正确的是()
-1+1
A.z的虚部为-iB.|z|=V2
C.z的共钝复数为1+iD.z2=2i
22(-1-i)
选BD.z=——=——z——=-1-i,则其虚部为-1,A错误;
-1+1z
|z|=N(-1)2+(-1)2=V2,B正确;z的共粗复数为-1+i;
z12=(-1-i)2=2i,D正确.
8.(多选)已知复数Z=」£,则以下说法正确的是()
A.复数z的虚部为当
8」的共朝复数一2=2fi
c.忆1=9
D.复数z的的实部是-f2
ii(1+2i)21
选CD.因为z=-=-f+],所以复数
1-2i(1-2i)(1+2i)33
12—
z的虚部为玄,实部是,所以A错误,D正确.z的共辗复数z
=~|-1,B错误.
izi=AJ(-l2+©2建,故c正确.
2
9.(多选)若复数z=-,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是
1+1
()
A.z的虚部为-1B.z=1-i
C.Z?为纯虚数D.z的共粒复数为-1-i
22(1-i)2-2i
选ABC.因为z=-~;=-...—―=—^~=1-i,B正确;
1+1(1+1)(1-i)z
z的虚部为-1,A正确;
因为z2=(1-i)2=-2i,故z2为纯虚数,C正确;z的共犯复数为1
+i,D错误.
二、填空题(每小题5分,共15分)
2+i
10.复数——的共犯复数是_______.
1-21
2+i)(l+2i)5i
ETTF*二匕故其共舸复数为…
答案:-i
11.若i为虚数单位,则复数/、,=________
(I-)
333i3.
77
由题意亦1-2i+i2--2i薪=21
3
答案:Ii
12.若zi=l-3i/2=6-8i,星+'U,则z的值为
l+3i
由zi=1-3i,得,=--―13.
(1-3i)(1+3i)-10+10i'
Z]i.3i
6+8i6+8i3
又由Z2=6-8i,得;=J—
Z26-8i(6-8i)(6+8i)10
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