人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义第39讲 5.4.3正切函数的性质与图象（原卷版）

第07讲5.4.3正切函数的性质与图象课程标准学习目标①理解与掌握正切函数的性质，并能运用正切函数的性质解决与正切函数相关的周期性、奇偶性，定义域、值域、单调性等问题。②掌握正切函数的图象的画法，会运用正切函数的图象研究正切函数的性质，并能解决与正切函数有关的相关量问题。会运用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的周期、奇偶性、单调性及值域等问题.知识点01：正切函数的图象【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）函数SKIPIF1<0在一个周期内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】由正切函数的图象与性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，图象为A，故选：A知识点02：正切（型）函数的性质正切函数SKIPIF1<0正切型函数SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<0由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0周期性SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函数当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0是奇函数单调性在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解出单调增区间对称性对称中心：SKIPIF1<0SKIPIF1<0；无对称轴令：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，对称中心为：SKIPIF1<0，无对称轴【即学即练2】（多选）（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）下列说法中正确的是（

）A．对于定义在实数SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0中满足SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是以2为周期的函数B．函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．函数SKIPIF1<0为奇函数D．角SKIPIF1<0的终边上一点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AB【详解】A.若对SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是以2为周期的函数，故A正确；B.令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确；C.SKIPIF1<0为偶函数，故C错误；D.角SKIPIF1<0的终边上一点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D错误.故选：AB题型01正切函数的定义域【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）函数SKIPIF1<0的定义域为．【典例2】（2023秋·山西朔州·高一统考期末）函数SKIPIF1<0的定义域为.【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）函数SKIPIF1<0的定义域为．【变式2】（2023春·上海奉贤·高一校考期中）函数SKIPIF1<0的定义域是．题型02正切函数的值域【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域为．【典例3】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的值域为.【变式1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的值域为．【变式2】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的值域为.【变式3】（2023秋·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的值域为题型03求正切函数的单调区间【典例1】（2023春·高一单元测试）函数SKIPIF1<0的单调区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0的单调递减区间为.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为严格减函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为．题型04正切函数单调性的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递减，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是严格减函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是减函数，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·高一课时练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则实数a的取值范围是．题型05正切函数的周期性与奇偶性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的最小正周期为．【典例2】（2023秋·广西贵港·高三平南县中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0），如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．5【变式1】（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．4【变式2】（2023秋·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．π【变式3】（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题型06正切函数图象的对称性【典例1】（2023·全国·高二专题练习）以点SKIPIF1<0为对称中心的函数是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，其图像的一个对称中心的坐标为SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0的对称中心坐标为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例3】（2023春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的图象的对称中心为.【变式1】（2023春·河南平顶山·高一校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0图象的对称中心可能是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）（2023春·安徽芜湖·高一校联考期中）下列坐标所表示的点是函数SKIPIF1<0的图像的对称中心的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则下列叙述中，正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称 B．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增C．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称 D．函数SKIPIF1<0是偶函数题型07与正切（型）函数有关的值域（最值）问题【典例1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的值域为．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象都在SKIPIF1<0轴上方，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的值域是【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型08正切函数图象与性质的综合应用【典例1】（2023秋·高一课时练习）画出函数SKIPIF1<0的图象．(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．【典例2】（2023春·上海虹口·高一上外附中校考期末）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上是严格增函数，求正实数SKIPIF1<0的取值范围.【变式1】（2023春·四川南充·高一校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0的定义域、最小正周期．(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．【变式2】（2023秋·高一校考课时练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小正周期与函数图像的对称中心；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是严格增函数，求SKIPIF1<0的取值范围；(3)若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求SKIPIF1<0的取值范围．【变式3】（2023秋·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最小正周期及单调区间；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．42．（2023秋·陕西汉中·高二西乡县第一中学校考开学考试）函数SKIPIF1<0的定义域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·全国·高一专题练习）函数SKIPIF1<0的单调区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<04．（2023·全国·高一假期作业）下列各式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023春·北京·高一北京师大附中校考期中）函数SKIPIF1<0|在区间（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）内的图象是（

）A． B．C． D．6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.则下列结论正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称B．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0的最小正周期为2D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<07．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）函数SKIPIF1<0的图像如图所示，图中阴影部分的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0C．把SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0可以得到函数SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增10．（2023·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则下列描述中正确的是（

）．A．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称B．函数SKIPIF1<0的最小正周期为2C．函数SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．函数SKIPIF1<0的图象没有对称轴三、填空题11．（2023春·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）已知SKIPIF1<0，请写出一个满足条件的角SKIPIF1<0．12．（2023春·辽宁锦州·高一校考期中）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．四、解答题13．（2023·全国·高一课堂例题）画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的简图．14．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0图象的对称中心；(2)求不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解集．15．（2023秋·高一单元测试）已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的最小正周期；（2）若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0应满足什么条件？并求出满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0值.B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．SKIPIF1<02．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0