广东省珠海市紫荆中学2025届九年级数学第一学期期末监测模拟试题含解析

广东省珠海市紫荆中学2025届九年级数学第一学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为()A．1 B．-8 C．-7 D．72．从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是A．盖面朝下的频数是55B．盖面朝下的频率是0.55C．盖面朝下的概率不一定是0.55D．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．圆 C．等边三角形 D．正五边形4．已知Rt△ABC中，∠C=90º，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB=5．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（）A．120°，60° B．95°，105° C．30°，60° D．90°，90°6．计算的结果是（）A．－3 B．9 C．3 D．－97．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是()A． B． C．2 D．8．若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（）A．a<1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥19．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个10．某学校组织创城知识竞赛，共设有20道试题，其中有：社会主义核心价值观试题3道，文明校园创建标准试题6道，文明礼貌试题11道．学生小宇从中任选一道试题作答，他选中文明校园创建标准试题的概率是（）A． B． C． D．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC＝2，则cosB的值是()A．B．C．D．12．抛物线的顶点在（）A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限二、填空题（每题4分，共24分）13．设，，，设，则S=________________(用含有n的代数式表示，其中n为正整数)．14．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为1．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括1）．15．圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____．16．关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为______．17．如图，若抛物线与轴无交点，则应满足的关系是__________．18．抛物线y＝﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．20．（8分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．21．（8分）（1）计算：4sin260°+tan45°-8cos230°（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，b=5，求a、c．22．（10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为．求：（1）观众区的水平宽度；（2）顶棚的处离地面的高度．（，，结果精确到）23．（10分）如图，已知一个，其中，点分别是边上的点，连结，且．（1）求证：；（2）若求的面积．24．（10分）已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？25．（12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.（1）求的值；（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.26．在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．（1）画树状图或列表，写出点所有可能的坐标；（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的一个根是1，∴1+m−8=0，解得：m=7.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的解.2、D【分析】根据频数，频率及用频率估计概率即可得到答案．【详解】A、盖面朝下的频数是55，此项正确；B、盖面朝下的频率是=0.55，此项正确；C、盖面朝下的概率接近于0.55，但不一定是0.55，此项正确；D、同样的试验做200次，落地后盖面朝下的在110次附近，不一定必须有110次，此项错误；故选：D．【点睛】本题考查了频数，频率及用频率估计概率，掌握知识点是解题关键．3、B【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各项分析判断即可.【详解】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误.故答案为：B.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.4、D【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．【详解】∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，∴AB＝，A、sinA＝，故此选项错误；B、cosA＝，故此选项错误；C、tanA＝，故此选项错误；D、tanB＝，故此选项正确．故选：D．

【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．5、D【分析】根据两个直角互补的定义即可判断．【详解】解：∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，故选：D.考点：本题考查的是两角互补的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．6、C【解析】直接计算平方即可.【详解】故选C.【点睛】本题考查了二次根号的平方，比较简单.7、D【解析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【详解】连接BD，则BD＝，AD＝2，则tanA＝＝＝．故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．8、C【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式求解.【详解】解：∵方程有实数根∴△=4-4a≥0，解得a≤1故选C．【点睛】本题考查一元二次方根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键.9、C【解析】观察图形，两个断开的水平菱形之间最小有2个竖的菱形，之后在此基础上每增加一个也可完整，即可以是2、5、8、11……故选C.点睛：探索规律的题型最关键的是找准规律.10、B【分析】根据概率公式即可得出答案．【详解】解：∵共设有20道试题，其中文明校园创建标准试题6道，∴他选中文明校园创建标准的概率是，故选：B．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．11、B【解析】要求cosB，必须将∠B放在直角三角形中，由图可知∠D＝∠B，而AD是直径，故∠ACD＝90°，所以可进行等角转换，即求cosD．在Rt△ADC中，AC＝2，AD＝2r＝3，根据勾股定理可求得，所以．12、B【分析】将解析式化为顶点式即可得到答案.【详解】=2(x+0)²-4得：对称轴为y轴，则顶点坐标为(0,-4),在y轴上，故选B.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子的理解．14、9或2或3.【解析】分析：共有三种情况：①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为2；②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为3；③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.详解：①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为2．②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为3；③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.故答案为9或2或3．点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15、12πcm【分析】先根据底面半径求出底面周长，即为扇形的弧长，再设出扇形的半径，根据扇形的弧长公式，确定扇形的半径；最后用扇形的面积公式求解即可.【详解】解：∵底面圆的半径为2cm，∴底面周长为4πcm，∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴＝4π，解得：r＝6，∴侧面积为×4π×6＝12πcm，故答案为：12πcm．【点睛】本题考查了圆锥的表面积、扇形的面积以及弧长公式，解答的关键在于对基础知识的牢固掌握和灵活运用.16、－1【详解】设一元二次方程x2+2x+a=0的一个根x1=1，另一根为x2，则，x1+x2=-=-2，解得，x2=-1．故答案为-1．17、【分析】根据抛物线与轴交点个数与的符号关系即可得出结论．【详解】解：∵抛物线与轴无交点∴故答案为：．【点睛】此题考查的是根据抛物线与轴交点个数判断的关系，掌握抛物线与轴交点个数与的符号关系是解决此题的关键．18、（﹣，﹣3）【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点是（h，k），可得答案．【详解】解：y＝﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（﹣，﹣3），故答案为：（﹣，﹣3）．【点睛】本题考查了抛物线顶点坐标的问题，掌握抛物线顶点式解析式是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）t=或；（3）存在面积最大，最大值是，此时点P（，）．【分析】（1）将A（3，0），B（0，3）两点代入y=﹣x2+bx+c，求出b及c即可得到抛物线的解析式，设直线AB的解析式为y=kx+n，将A、B两点坐标代入即可求出解析式；（2）由题意得OE=t，AF=t，AE=OA﹣OE=3﹣t，分两种情况：①若∠AEF=∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AEF得到=，求出t值；②若∠AFE∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AFE，得到=求出t的值；（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），根据，得到，由此得到当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，并求出点P的坐标.【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）由题意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①若∠AEF=∠AOB=90°时，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AEF∴=，∴，∴t=．②若∠AFE∠AOB=90°时，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AFE，∴=，∴，∴t=；综上所述，t=或；（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∵,∴===，∵<0，∴当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，此时点P（，）．【点睛】此题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，函数与动点问题，函数图象与几何图形面积问题.20、(1)抛物线解析式y=x2–x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．【分析】(1)将B、C两点坐标代入二次函数解析式,通过联立方程组可求得b、c的值，进而求出函数解析式;(2)设P（x，0），由△PBC是直角三角形，分∠CBP=90°与∠BPC=90°两种情况讨论，运用勾股定理可得x的值，进而得到P点坐标;(3)假设成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,则对应边成比例，可求出a的值.【详解】(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式y=x2–x+1．(2)设点P坐标为（x，0）．∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），∴PB==，CP==，BC==2，若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．∴x2+1+x2–8x+25=20，∴x1=1，x2=3，综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．(3)a=或．∵抛物线解析式y=x2–x+1与x轴交于点D，点E，∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．∵点B（0，1），C（4，3），∴直线BC解析式y=x+1．当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），∴AD=3，AB=．设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，若△APQ∽△ADB，∴，即，∴a=，若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．综上所述：a=或．【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等,难度适中.21、（1）2；（2）a=5，c=1【分析】（1）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；（2）由直角三角形的性质可得c=2a，由勾股定理可求解．【详解】（1）原式=4×()2+1﹣8×()2=3+1﹣6=﹣2；（2）∵∠C=90°，∠A=30°，∴c=2a．∵a2+b2=c2，∴，∴3a2=75，∴a=5(负数舍去)，∴c=1．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答本题的关键．22、（1）20；（2）顶棚的处离地面的高度约为．【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作于，于，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．【详解】（1）∵观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，∴，答：观众区的水平宽度为；（2）如图，作于，于，则四边形、为矩形，∴，，，在中，，则，∴，答：顶棚的处离地面的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据AA即可证明；（2）根据解直角三角形的方法求出AF,EF，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解:，，，，.由得:.在中，，.，.．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与是三角函数的应用．24、（1）S＝﹣x2+20x，0＜x＜40；（2）当x＝20时，菱形的面积最大，最大面积是1．【分析】（1）直接利用菱形面积公式得出S与x之间的关系式；（2）利用配方法求出最值即可．【详解】（1）由题意可得：，∵x为对角线的长，∴x＞0，40﹣x＞0，即0＜x＜40；（2），＝＝＝，即当x＝20时，菱形的面积最大，最大面积是1．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握菱形的性质，建立二次函数模型是解题的关键．25、（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；（3）当点为x轴