人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义第38讲 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（教师版）

第06讲5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课程标准学习目标①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握正、余弦函数的性质。②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会求函数的解析式，并能求出相关的基本量。会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，对称区间，会求两类函数的最值.知识点01：函数的周期性1.周期函数的定义一般地,设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,如果存在一个非零常数SKIPIF1<0,使得对每一个SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0就叫做周期函数.非零常数SKIPIF1<0叫做这个函数的周期.2.最小正周期的定义如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做SKIPIF1<0的最小正周期.

【即学即练1】（2023春·天津红桥·高一统考期末）函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数奇偶性SKIPIF1<0奇函数SKIPIF1<0偶函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为奇函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为奇函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数；【即学即练2】（2023秋·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】12【详解】由于SKIPIF1<0，依题意可知SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期函数最小正周期SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0无周期SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练3】（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由诱导公式可知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不恒相等，故SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象定义域定义域SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0周期性SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函数偶函数单调性在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都单调递增;在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0上都单调递减在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都单调递增;在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都单调递减最值当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;图象的对称性对称中心为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),对称轴为直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)对称中心为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),对称轴为直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）y＝cosSKIPIF1<0的单调递减区间为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即所求单调递减区间为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型01三角函数的周期问题及简单应用【典例1】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故A不符合；函数SKIPIF1<0，其最小正周期为SKIPIF1<0，故B不符合；因为函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故C符合；因为函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故D不符合.故选：C.【典例2】（多选）（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是SKIPIF1<0的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】对于A，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，即SKIPIF1<0是奇函数，且注意到其周期为SKIPIF1<0，故A正确；对于B：函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，所以SKIPIF1<0是偶函数，不是奇函数，故B错误；对于C：SKIPIF1<0，由A选项分析易知SKIPIF1<0是奇函数，同时也是最小正周期是SKIPIF1<0的周期函数，故C正确；对于D：函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，所以SKIPIF1<0是偶函数，不是奇函数，故D错误．故选：AC．【典例3】（2023秋·高一课时练习）求下列函数的最小正周期．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以自变量SKIPIF1<0至少要增加到SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值才能重复出现，所以函数SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0的最小正周期为π，且函数SKIPIF1<0的图象是将函数SKIPIF1<0的图象在x轴下方的部分对折到SKIPIF1<0轴上方，并且保留在SKIPIF1<0轴上方图象而得到的．由此可知所求函数的最小正周期为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】对于A，函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故A不符合题意；对于B，作出函数SKIPIF1<0的图象，

由图可知，函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故B符合题意；对于C，函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故C不符合题意；对于D，函数SKIPIF1<0，其图象如图，

由图可知，函数SKIPIF1<0不是周期函数，故D不符合题意.故选：B.【变式2】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是周期函数的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0；对于D，∵SKIPIF1<0，∴函数图象关于SKIPIF1<0轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的最小正周期．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)最小正周期为SKIPIF1<0．(2)最小正周期为SKIPIF1<0．【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又最小正周期SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0．（2）画出函数SKIPIF1<0的图象，如图所示，

由图象可知，函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0．题型02三角函数的奇偶性及其应用【典例1】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0为奇函数的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，定义域为R，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为奇函数，故充分性成立，而当SKIPIF1<0为奇函数时，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不一定为SKIPIF1<0，故必要性不成立，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0为奇函数的充分不必要条件.故选：B【典例2】（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的取值可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】SKIPIF1<0为偶函数，因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确，故选：SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【典例4】（2023·贵州·校联考模拟预测）若函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的最小正值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函数，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0取最小正值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）使函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的一个值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由函数SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为奇函数，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选：D.【变式2】（多选）（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0的值不可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】由函数SKIPIF1<0是偶函数，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，无论SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0都不可能等于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：ABD．【变式3】（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】2【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0结合奇函数性质有SKIPIF1<0.故答案为：2【变式4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为函数SKIPIF1<0为R上的奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调函数，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小正周期为2.若存在SKIPIF1<0，使得对于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由已知条件可得SKIPIF1<0的最小正周期为4，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，因为存在SKIPIF1<0，使得对于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得到函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选:A.【典例3】（2023秋·山西·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个条件的函数SKIPIF1<0的解析式.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，满足条件即可）【详解】解：由①SKIPIF1<0可知，函数SKIPIF1<0图像关于直线SKIPIF1<0对称；由②SKIPIF1<0可知函数SKIPIF1<0图像关于点SKIPIF1<0对称；所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，故考虑余弦型函数，不妨令SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，满足性质①②，由③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增可得SKIPIF1<0，故不妨取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时满足已知三个条件.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，若SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是单调函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是单调函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：A.【变式2】2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．3或7 C．5 D．7【答案】D【详解】由题意，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一条对称轴，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（不符合题意，舍去）；当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，符合题意，所以SKIPIF1<0.故选：D.【变式3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的值可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，要使SKIPIF1<0为奇函数，因为SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，为奇函数，所以只需使SKIPIF1<0为偶函数即可，所以SKIPIF1<0，故符合题意的有B、D；故选：BD【变式4】（2023·全国·高三专题练习）某函数SKIPIF1<0满足以下三个条件：①SKIPIF1<0是偶函数；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数SKIPIF1<0的解析式．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【详解】因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0的图象关于y轴对称，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，所以4为SKIPIF1<0的一个周期，又SKIPIF1<0的最大值为4，所以SKIPIF1<0满足条件.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）题型04求三角函数的单调区间【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，故单调增区间：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023·高一单元测试）函数SKIPIF1<0单调减区间为【答案】SKIPIF1<0【详解】正弦函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）用“五点法”作出函数SKIPIF1<0的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间.【答案】图象见解析，最小正周期为SKIPIF1<0，最大值为5，最小值为1，减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【详解】①列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<035313②描点.③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得SKIPIF1<0的图象.如图所示.

函数的最小正周期SKIPIF1<0，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递增区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增．故选：B.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）y＝cosSKIPIF1<0的单调递减区间为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即所求单调递减区间为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求函数SKIPIF1<0的单调递增区间．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【详解】SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，函数SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．题型05利用单调性比较三角函数值的大小【典例1】（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由诱导公式知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，A选项错误.由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0，B选项错误.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C选项正确.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，D选项错误.故选：C【典例3】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数的大小.(1)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)cos1与sin2.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；

（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】解：（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【变式1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判断a与b的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．无法判断【答案】B【详解】因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）由于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0．（2）由于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0．【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组数的大小：(1)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）∵函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．利用诱导公式化为同一单调区间上的角．∵函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，∴SKIPIF1<0．（中间值法）又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．题型06已知三角函数的单调情况求参数问题【典例1】（2023秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有最大值，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最大值，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为要求SKIPIF1<0的最大值，所以这里可只考虑SKIPIF1<0的情况，又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选：C.【典例2】（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在区SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最大值，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.【典例3】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意有SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故必有SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.故实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0不单调，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】已知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0对称轴方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0不单调，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足题意.故选：C.【变式2】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减，且最小值为负值，则SKIPIF1<0的值可以是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减，且最小值为负值，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减，且最小值为负值，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上所述SKIPIF1<0.故选：A.【变式3】（多选）（2023春·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则实数SKIPIF1<0的取值可以是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】AB【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0的值可以是SKIPIF1<0．故选：AB．【变式4】（2023春·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为区间SKIPIF1<0的左端点为对称轴，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型07三角函数的对称性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）设函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，则它的一条对称轴方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为的SKIPIF1<0最小正周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的对称轴为直线SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，其它各项均不符合，所以SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的对称轴，故选：A．【典例2】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一条对称轴，且函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一条对称轴，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然此时函数单调递减，符合题意，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，故选：D【典例3】（2023·河南开封·统考三模）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，其图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又因为函数SKIPIF1<0图象关于直线SKIPIF1<0对称，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【典例4】（2023春·北京·高一校考期中）设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的值可以是．（写出一个满足条件的值即可）【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【详解】因为函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，S