2025届河南省开封市名校九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

2025届河南省开封市名校九年级数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（）A．70° B．80° C．90° D．100°2．如图，是的内切圆，切点分别是、，连接，若，则的度数是()A． B． C． D．3．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（）A．1.25米 B．5米 C．6米 D．4米4．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)5．下列说法正确的是（）A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生6．两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发.图中表示两人离地的距离与时间的关系，结合图象，下列结论错误的是（）A．是表示甲离地的距离与时间关系的图象B．乙的速度是C．两人相遇时间在D．当甲到达终点时乙距离终点还有7．一元二次方程的解是（）A．5或0 B．或0 C． D．08．两个相似三角形对应高之比为，那么它们的对应中线之比为（）A． B． C． D．9．如图，抛物线交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m=0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝－1，则b＝4；④抛物线上有两点P(，)和Q(，)，若＜1＜，且＋＞2，则＞．其中结论正确的序号是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④10．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．抛物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为（）A． B．C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知函数，当时，函数的最小值是-4，实数的取值范围是______.14．在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为_____．15．计算：cos245°-tan30°sin60°=______．16．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点．若的面积为8，则的值为________．17．一元二次方程的解是_________.18．已知二次函数的图象经过点，的横坐标分别为，点的位置随的变化而变化，若运动的路线与轴分别相交于点,且（为常数），则线段的长度为_________.三、解答题（共78分）19．（8分）已知二次函数的顶点坐标为A(1，﹣4)，且经过点B(3，0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C(2，﹣3)，D(﹣1，1)是否在该函数图象上，并说明理由．20．（8分）（1）①如图1，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正三角形（按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）.②若的内接正三角形边长为6，求的半径；（2）如图2，的半径就是（1）中所求半径的值.点在上，是的切线，点在射线上，且，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，点是上的点（不与点重合），是的切线.设点运动的时间为（秒），当为何值时，是直角三角形，请你求出满足条件的所有值.21．（8分）如图，已知AB经过圆心O，交⊙O于点C．（1）尺规作图：在AB上方的圆弧上找一点D，使得△ABD是以AB为底边的等腰三角形（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若∠DAB=30°，求证：直线BD与⊙O相切．22．（10分）已知抛物线.（1）若，，，求该抛物线与轴的交点坐标；（2）若，且抛物线在区间上的最小值是-3，求的值.23．（10分）如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点,抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．24．（10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据，，）25．（12分）一个可以自由转动的转盘，其盘面分为等份，分别标上数字.小颖准备转动转盘次，现已转动次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下：次数数字小颖继续自由转动转盘次，判断是否可能发生“这次指针所指数字的平均数不小于且不大于”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)26．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.(1)若a=-1.①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且n≥2时，该函数的最大值是8，求n的值;②当函数自变量的取值范围是时，设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m，求m与n的函数关系式，并写出n的取值范围;（2）若二次函数的图象还过点A（-2，0），横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点，二次函数图象与直线AB围城的区域（不含边界）为T，若区域T内恰有两个整点，直接写出a的取值范围.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】先根据垂直平分线的特点得出∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，然后根据△ABC的内角和及∠DAE的大小，可推导出∠DAB+∠EAC的大小，从而得出∠BAC的大小．【详解】如下图∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，同理∠C＝∠EAC，∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，∵∠DAE=20°∴∠DAB+∠EAC＝80°，∴∠BAC＝100°，故选：D．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题关键是利用整体思想，得出∠DAB+∠EAC＝80°．2、C【分析】由已知中∠A＝100°，∠C＝30°，根据三角形内角和定理，可得∠B的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数．【详解】解：∠B＝180°−∠A−∠C＝180−100°−30°＝50°

∠BDO＋∠BEO＝180°

∴B、D、O、E四点共圆

∴∠DOE＝180°−∠B＝180°−50°＝130°

又∵∠DFE是圆周角，∠DOE是圆心角

∠DFE＝∠DOE＝65°

故选：C．【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E四点共圆，进而求出∠DOE的度数是解答本题的关键．3、B【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．【详解】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，

根据相似三角形的性质可知，即，

解得AM=5m．

则小明的影子AM的长为5米．

故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．4、A【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．5、C【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果数据的个数是偶数，中间两数的平均数就是中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【详解】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；C．一组数据，，，的众数是，中位数是，正确；D．可能性是的事件在一次试验中可能会发生，D错误．故选C．【点睛】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键．6、C【分析】根据图像获取所需信息，再结合行程问题量间的关系进行解答即可.【详解】解：A.是表示甲离地的距离与时间关系的图象是正确的；B.乙用时3小时，乙的速度,90÷3=，故选项B正确；C.设甲对应的函数解析式为y=ax+b，则有：解得：∴甲对应的函数解析式为y=-45x+90，设乙对应的函数解析式为y=cx+d，则有：解得：即乙对应的函数解析式为y=30x-15则有：解得：x=1.4h，故C选项错误；D.当甲到达终点时乙距离终点还有90-40×1.4=45km，故选项D正确；故答案为C.【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意、从图像中获取问题需要的条件以及数形结合的思想的应用是解答本题的关键.7、B【解析】根据因式分解法即可求出答案．【详解】∵5x2=x，∴x(5x﹣1)=0，∴x=0或x．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8、A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．【详解】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，∴它们的相似比是1:2，∴它们对应中线之比为1:2.故选A.【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.9、C【分析】根据二次函数图像的基本性质依次进行判断即可.【详解】①当x=0时，y=m，∴点C的坐标为（0，m），该项正确；②当m=0时，原函数解析式为：，此时对称轴为：，且A点交于原点，∴B点坐标为：（2，0），即AB=2，∴D点坐标为：（1，1），根据勾股定理可得：BD=AD=,∴△ABD为等腰三角形，∵,∴△ABD为等腰直角三角形，该项正确；③由解析式得其对称轴为：，利用其图像对称性，∴当若a＝－1，则b＝3，该项错误；④∵＋＞2，∴，又∵＜1＜，∴-1＜1＜-1，∴Q点离对称轴较远，∴＞，该项正确；综上所述，①②④正确，③错误，故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数图像解析式与其函数图像的性质综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.10、B【详解】解：如图，在中，令x=0，则y=－；令y=0，则x=，∴A（0，－），B（，0）．∴OA=OB=．∴△AOB是等腰直角三角形．∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=AB=×2=1．又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径．∴直线y=x-2与⊙O相切．故选B．11、B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．12、A【分析】设出抛物线顶点式，然后将点代入求解即可.【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入得：，解得：a=1，故该抛物线的解析式为：，故选：A.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】将二次函数化为顶点式，可知当时，函数的最小值为，再结合当时，函数的最小值是-4，可得的取值范围.【详解】∵，∴抛物线开口向上，当，二次函数的最小值为∵当时，函数的最小值是-4∴的取值范围是：.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.14、1．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．【详解】解：根据题意得：，解得：a＝1，经检验：a＝1是分式方程的解，故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是事件的概率问题，弄清题意，根据概率公式列方程求解比较简单.15、0【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】=.故答案为0.【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16、【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．的面积与四边形的面积相等，∴四边形DEAB＝8，设D点的横坐标为x，纵坐标就为∵D为OB的中点．∴∴四边形DEAB的面积可表示为：∴故答案为：【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．17、x1=0，x2=4【分析】用因式分解法求解即可.【详解】∵，∴x(x-4)=0,∴x1=0，x2=4.故答案为x1=0，x2=4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.18、27【分析】先求得点M和点N的纵坐标，于是得到点M和点N运动的路线与字母b的函数关系式，则点A的坐标为(0，)，点B的坐标为(0，)，于是可得到的长度．【详解】∵过点M、N，且即，∴，∴，，∵点A在y轴上，即，把代入，得：，∴点A的坐标为(0，)，∵点B在y轴上，即，∴，把代入，得：，∴点B的坐标为(0，)，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，正确理解题意、求得点A和点B的坐标是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）C在，D不在，见解析【分析】（1）根据点A的坐标设出二次函数的顶点式，再代入B的值即可得出答案；（2）将C和D的值代入函数解析式即可得出答案.【详解】解：（1）设二次函数的解析式是，∵二次函数的顶点坐标为∴又经过点∴代入得：解得：∴函数解析式为：（2）将x=2代入解析式得∴点在该函数图象上将x=-1代入解析式得∴点不在该函数图象上【点睛】本题考查的是待定系数法求函数解析式，解题关键是根据顶点坐标设出顶点式.20、（1）①见解析；②；（2）.【分析】（1）①作半径的垂直平分线与圆交于，再取，则即为正三角形；②连接，设半径为，利用勾股定理即可求得答案；（2）分当，且点在点左侧或右侧，时四种情况讨论，当时，在Rt中利用勾股定理求解即可；当且点在点左侧或右侧时，构造矩形和直角三角形，利用解直角三角形即可求解；当时，构造正方形和直角三角形即可求解.【详解】（1）①等边如图所示；②连接，如图，设半径为，由作图知：，⊥，∴，在中，，即，解得：；（2）当时，连接，如图，∵QG是的切线，∴，∵，∴三点共线，又∵DF是的切线，∴，设点运动的时间为（秒），∴，在中，，，∴，在Rt中，，，，∴，即，解得：；当，且点在点左侧时，连接，过点G作GM⊥OD于M，如图，∵是的切线，∴，∴四边形DFGM为矩形，∴，在Rt中，，，∴，∵，∴，∵QG是的切线，四边形DFGM为矩形，∴，∴在Rt中，，，∴即解得：；当时，连接，如图，∵是的切线，QG是的切线，∴，，∴四边形ODQG为正方形，∴，∴；当，且点在点左侧时，连接，过点O作ON⊥于N，如图，∵是的切线，∴，∴四边形DFNO为矩形，∴，在Rt中，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵QG是的切线，，∴，∴，∴，∴；综上：当、、、时，是直角三角形.【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到的知识有：简单作图，勾股定理，切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，构造合适的辅助线是解题的关键.21、（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作线段AB的垂直一部分线，交AB上方的圆弧上于点D，连接AD，BD，等腰三角形ABD即为所求作；（2）由等腰三角形的性质可求出∠B=30゜，连接OD，利用三角形外角的性质得∠DOB=60゜，再由三角形内角和求得∠ODB=90゜,从而可证得结论．【详解】（1）如图所示；（2）∵△ABD是等腰三角形，且∠DAB=30°，∴∠DBA=30゜，连接OD，∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=30゜∴∠DOB=∠ODA+∠OAD=60゜在△ODB中，∠DOB+∠ODB+∠DBO=180゜∴∠ODB=180゜-∠DOB-∠DBO=90゜，即∴直线BD与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，掌握“连交点，证垂直”是解决这类问题的常用解题思路．22、（1）（-1，0），；（2）b=7或．【分析】（1）将，，代入解析式，然后令y=0，求x的值，使问题得解；（2）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-2，-2＜-b≤2和-b＞2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．【详解】解：（1）当，，时当y=0时，解得：∴该抛物线与x轴的交点为（-1,0），（2）当，时，∴抛物线的对称轴是x==-b．当-b≤-2，即b≥2时，在区间上，y随x增大而增大∴当x=-2时，y最小为解得：b=7；当-2＜-b≤2时，即-2≤b＜2，在区间上当x=-b时，y最小为解得：b=（不合题意）或b=(不合题意)当-b＞2，即b＜-2时，在区间上，y随x增大而减小∴当x=2时，y最小为解得：b=．综上，b=7或．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．23、（1）；（2）当时，线段PC有最大值是2；（3），，【分析】把x=0，y=0分别代入解析式可求点A，点B坐标，由待定系数法可求解析式；设点C,可求PC,由二次函数的性质可求解；设点P的坐标为(x,−x+2)，则点C，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可出点P的坐标．【详解】解：(1)可求得A（0,2），B(4,0)∵抛物线经过点A和点B∴把(0,2),(4,0)分别代入得：解得：∴抛物线的解析式为.（2）设点P的坐标为(x,−x+2)，则C（）∵点P在线段AB上∴∴当时，线段PC有最大值是2（3）设点P的坐标为(x,−x+2)，∵PC⊥x轴，∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，∴点C(x,)①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOPC为平行四边形，则OA=PC=2,即，化简得：，解得x1=x2=2把x=2代入则点P的坐标为(2,1)②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，则OA=PC=2,即，化简得：，解得：把，则点P的坐标为;③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，则OA=PC=2,即，化简得：，解得：把则点P的坐标为综上，使以O、A.

P、C为顶点的四边形是平行四边形，满足的点P的坐标为.【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，最值问题，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的思想解决问题．24、GH的长为10m【分析】首先构造直角三角形，设DE=xm，则CE=（x+2）m，由三角函数得出AE和BE，由AE=BE=AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长【详解】解：延长CD交AH